Một vài tính chất định tính của bao hàm thức vi phân

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC:

MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦABAO HÀM THỨC VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trang 3

1PHẦN MỞ ĐẦU

Trang 4

2Biểu diễn ∆(R) và các tính chất

Bổ đề 1 Cho R là vành bất kỳ, ta có

(1) ∆(R) = {r ∈ R | ru + 1 ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)} = {r ∈ R | ur + 1 ∈U (R), ∀u ∈ U (R)};

(2) Với mỗi r ∈ ∆(R) và u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R);(3) ∆(R) là vành con của vành R;

(4) ∆(R) là iđêan của R khi và chỉ khi ∆(R) = J (R);(5) Với họ vành Ri, i ∈ I, ∆(Y

i∈I

Ri) =Y

i∈I

∆(Ri).

Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) và u bất kỳ thuộc U (R), khi đó r + u ∈U (R) khi và chỉ khi ru−1+ 1 ∈ U (R) khi và chỉ khi u−1r + 1 ∈ U (R).

(2) Ta có ruu′+ 1 ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R)do r ∈ ∆(R), suy ra ru ∈ ∆(R).Tương tự ur ∈ ∆(R).

(3) Lấy r, s ∈ ∆(R) Khi đó −r + s + U (R) ⊆ −r + U (R) = −r −U (R) ⊆ U (R), hay ∆(R) là nhóm con với phép cộng của R Hơn nữars = r(s + 1) − r ∈ ∆(R) do r(s + 1) ∈ ∆(R) theo (2).

(4) Rõ ràng J (R) ⊆ ∆(R) Ta giả sử ∆(R) là iđêan của R và r ∈ R.Khi đó rx + 1 ∈ U (R), với x bất kỳ thuộc ∆(R) suy ra ∆(R) ⊆ J (R) hay∆(R) = J (R) Chiều ngược lại là hiển nhiên.

(5) Lấy Yi∈Iri ∈ ∆(Yi∈IRi) Khi đó Yi∈Iri + U (Yi∈IRi) ⊆ U (Yi∈IRi) VìU (Yi∈IRi) = Yi∈IU (Ri) nên Yi∈Iri + Yi∈IU (Ri) ⊆ Yi∈IU (Ri) hay Yi∈I(ri +U (Ri)) ⊆Yi∈I

U (Ri), suy rari+U (Ri) ⊆ U (Ri), ∀i ∈ I nênY

i∈I

ri∈Y

i∈I

∆(Ri).Chiều ngược lại tương tự.

Cho e là phần tử lũy đẳng của vành R Khi đó phần tử 1 − 2e là khảnghịch trong R Từ Bổ đề 6 (2) ta suy ra hệ quả sau.

Hệ quả 1 Cho R là một vành

Trang 5

(2) Nếu 2 ∈ U (R), khi đó ∆(R) đóng với phép nhân các phần tử lũyđẳng.

Định lý 1 Cho R là một vành có đơn vị và T là vành con của R đượcsinh bởi U (R) Khi đó

(1) ∆(R) = J (T ) và ∆(S) = ∆(R), với S là vành con tùy ý của R thỏamãn T ⊆ S;

(2) ∆(R) là căn Jacobson lớn nhất chứa trong R và đóng với phép nhâncác phần tử khả nghịch của R.

Chứng minh (1) T là vành con sinh bởi U (R) nên mỗi phần tử của Tđều có thể viết thành tổng hữu hạn các phần tử khả nghịch của R Dođó, theo Bổ đề 6 (2) suy ra ∆(T ) là iđêan của T Theo Bổ đề 6 (4) suyra ∆(T ) = J (T ) Hơn nữa ∆(T ) = ∆(R) nên ∆(R) = J (T ).

Nếu r ∈ ∆(R), khi đó r + U (R) ⊆ U (R) Điều này có nghĩa là r biểudiễn được thành tổng của hai phần tử khả nghịch Do đó r ∈ T, suy ra∆(R) ⊆ T.

Giả sử S là vành con của R thỏa mãn T ⊆ S Khi đó U (S) = U (R),do đó ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} =S ∩ ∆(R) = ∆(R), vì ∆(R) ⊆ T ⊆ S.

(2) Theo (1),∆(R)là căn Jacobson củaR và theo Bổ đề 6(2) thì∆(R)đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch trái và phải trong R.

Bây giờ, ta giả sử S là căn Jacobson bất kỳ chứa trong R và đóngvới phép nhân các phần tử khả nghịch Ta phải chỉ ra S ⊆ ∆(R) Thậtvậy, nếu s ∈ S và u ∈ U (R), khi đó su ∈ S = J (S) Do su là tựa khảnghịch trong S nên 1 + su ∈ U (R) Theo Bổ đề 6 (1) thì s ∈ ∆(R) hayS ⊆ ∆(R).

Từ đặt trưng của ∆(R) trong Định lý 39 (2) ta có ngay hệ quả sau.Hệ quả 2 Giả sử R là một vành mà mỗi phần tử đều biểu diễn thànhtổng của các phần tử khả nghịch Khi đó ∆(R) = J (R).

Trang 6

Hệ quả 3 Giả sửRlà một vành đại số trên trường F NếudimFR < |F |,khi đó ∆(R) là vành lũy linh.

Cho R là một vành không nhất thiết phải có đơn vị S là vành concủa R, ta ký hiệu Sˆ là vành con của R được sinh bởi S ∪ {1}.

Mệnh đề 1 Giả sử R là vành có đơn vị Khi đó

(1) ChoS là vành con của R thỏa mãnU (S) = U (R) ∩ S Khi đó ∆(R) ∩S ⊆ ∆(S);

(2) U (∆(R)) = U (R) ∩[ ∆(R)[;

(3) Cho I là iđêan của R thỏa mãn I ⊆ J (R) Khi đó ∆(R/I) = ∆(R)/I.Chứng minh (1) được suy ra từ định nghĩa của∆.

(2) Nếu r ∈ ∆(R), khi đó v = 1 + r ∈ U (R) và v−1 = 1 − rv−1 ∈[

∆(R) ∩ U (R), do −rv−1 ∈ ∆(R), Bổ đề 6.

Lấy u = r + k · 1 ∈∆(R) ∩ U (R)[ , trong đór ∈ ∆(R) và k ∈Z Ta sẽ chỉrak = k · 1 ∈ U (R)¯ Ta có u − ¯k = r ∈ ∆(R), do đó1 − ¯ku−1= (u − ¯k)u−1=ru−1 ∈ ∆(R) theo Bổ đề 6 (2) Khi đó ¯ku−1 = 1 − (1 − ¯ku−1) ∈ U (R), suyrak ∈ U (R)¯ Vì ∆(R)là đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch nênta áp dụng phần đầu tiên của chứng minh chỉ ra v = u¯k−1 = 1 + r¯k−1 thìu−1k = v¯ −1 ∈∆(R)[, nghĩa là u−1¯k = s + ¯l, với s ∈ ∆(R) và l ∈Z Suy ras¯k−1 ∈ ∆(R), u−1 = s¯k−1+ ¯k−1¯l ∈∆(R)[, do đó U (R) ∩∆(R) ⊆ U ([ ∆(R))[ Chiều ngược lại U (∆(R)) ⊆ U (R) ∩[ ∆(R)[ là dễ thấy.

(3) Ta ký hiệu¯là phép chiếu từ R lên R/I Lưu ý, I ⊆ J (R), U ( ¯R) =U (R).

Lấy r ∈ ∆( ¯¯R) và u ∈ U (R) Khi đó r + ¯¯u ∈ U ( ¯R) và có các phần tửv ∈ U (R) và j ∈ I thỏa mãn r + u = v + j Hơn nữa v + j ∈ U (R), doI ⊆ J (R) Suy ra ∆( ¯R) = ∆(R) Vì U ( ¯R) = U (R) nên chiều ngược lại làdễ thấy.

Áp dụng mệnh đề trên ta có hệ quả sau.

Trang 7

Chứng minh ∆(R) là căn Jacobson của T =∆(R)[, do đó ∆(R) ⊆ T.Vì ∆(R) chứa tất cả các phần tử lũy linh nên T /∆(R) đẳng cấu vớiZ hoặc Zn:= Z/nZ, với n > 1 và là nhân tử bình phương Theo Mệnhđề 19 (3) và Hệ quả 17 ta có ∆(T )/∆(R) = ∆(T /∆(R)) = J (T /∆(R)) = 0hay ∆(T ) = ∆(R).

Từ Mệnh đề 19 (1), áp dụng choS = Z(R) là tâm của R, ta có hệ quảsau.Hệ quả 5 ∆(R) ∩ Z(R) ⊆ ∆(Z(R)).Ký hiệuR[[x]] = {a0+ a1x + a2x2+ · · · |ai∈ R} =( ∞Xi=0aixi|ai ∈ R).Mỗi phần tử f ∈ R[[x]], f =∞Xi=0

aixi với x0 = 1 được gọi là chuỗi lũythừa hình thức của biến x với hệ tử thuộc R Ta định nghĩa phép cộngvà phép nhân, lấy f, g ∈ R[[x]], khi đó f =

∞Xi=0aixi, g =∞Xi=0bixi Ta địnhnghĩa f = g khi và chỉ khi ai= bi với mọi i = 0, 1, và

f + g =∞Xi=0(ai+ bi)xi, f g =∞Xi=0iXj=0ai−jbj!xi.

Với các phép tốn như trên thì R[[x]] là một vành giao hốn có đơn vị.Cho vành R, ký hiệu Tn(R) là tập tất cả các ma trận tam giác trêncấpn trên vành R, Jn(R) là iđêan củaTn(R) bao gồm tất cả các ma trậntam giác trên cấp n thực sự Dn(R) là vành các ma trận đường chéo cấpn Từ Mệnh đề 19 (3) ta suy ra trực tiếp hệ quả sau.

Hệ quả 6 Cho R là một vành tùy ý Khi đó, các khẳng định sau làđúng

Trang 8

(3) ∆(R[[x]]) = ∆(R)[[x]].

Hệ quả 7 Cho R là một vành Khi đó, ∆(R) = J (R) nếu và chỉ nếu∆(R/J (R)) = 0.

Một vành R có hạng ổn định 1 nếu bất kỳ a, x, b ∈ R và thỏa mãnax + b = 1, thì tồn tại y ∈ R sao cho a + by là khả nghịch trong R.

Định lý sau đây chỉ ra một vài lớp vành mà ở đó ∆(R) = J (R).Định lý 2 ∆(R) = J (R) nếu R thỏa mãn một trong các điều kiện sau

(1) R/J (R) là đẳng cấu với tích của vành các ma trận và thể.(2) R là một vành nửa địa phương.

(3) R là vành clean thỏa mãn 2 ∈ U (R).(4) R là U J-vành, nghĩa là U (R) = 1 + J (R).(5) R có hạng ổn định 1.

(6) R = F G là nhóm đại số trên trường F.

Chứng minh (1) Giả sử R đẳng cấu với tích của vành các ma trận vàthể Theo Hệ quả 22 thì ta cần chỉ ra ∆(R/J (R)) = 0 Để làm điều này,ta giả sử J (R) = 0, nghĩa là R là tích của vành các ma trận và thể NếuR là vành ma trận Mn(S), với S là vành chứa đơn vị và n ≥ 2 TheoĐịnh lý ??, mỗi phần tử của R là tổng của ba phần tử khả nghịch, theoHệ quả 17 ∆(R) = J (R) = 0 Khi đó S là thể và rõ ràng ∆(S) = 0 Do đó(1) được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 6 (5).

(2) Là trường hợp đặc biệt của (1).

(3) Giả sử R là vành clean thỏa mãn 2 ∈ U (R) Nếu e ∈ R là lũy đẳngkhi đó1 − 2e ∈ U (R)và e =1

2− 1

2(1 − 2e)

là tổng của hai phần tử khảnghịch Điều đó có nghĩa là mỗi phần tử của R đều là tổng của ba phầntử khả nghịch Theo Hệ quả 17 ta suy ra ∆(R) = J (R).

(4) Giả sửU (R) = 1+U (R) Giả sử RlàU J-vành Khi đó, nếur ∈ ∆(R)ta có r + U (R) ⊆ U (R), nghĩa làr + 1 + J (R) ⊆ 1 + J (R) Suy ra r ∈ J (R)và do đó ∆(R) = J (R).

Trang 9

tại x ∈ Rsao cho r + x(1 − sr) ∈ U (R), suy rax(1 − sr) ∈ r + U (R) ⊆ U (R),và vì vậy (1 − sr) khả nghịch hay r ∈ J (R).

(6) Giả sử R = F G là nhóm đại số trên trường F Khi đó, mỗi phầntử của R là tổng của các phần tử khả nghịch Theo Hệ quả 17 ta suy ra∆(R) = J (R).

Ta đã biết vành nửa địa phương có hạng ổn định 1, do đó điều kiện(2) và (5) ở trên tương đương nhau.

Bổ đề 2 Giả sử G là nhóm con của nhóm R đối với phép tốn cộng.Khi đó G đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch khi và chỉ khi nóđóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịch của R.

Chứng minh Lấy r ∈ R và G là nhóm cộng, rG ⊆ G khi và chỉ khi(1 − r)G ⊆ G.

Định lý 3 Giả sử R là một vành có đơn vị và G là nhóm con đối vớiphép cộng của R Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương

(1) G = ∆(R);

(2) G là căn Jacobson lớn nhất đóng với phép nhân các phần tử tựa khảnghịch của R;

(3) G là nhóm con lớn nhất của R đối với phép cộng bao gồm các phầntử tựa khả nghịch và đóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịchcủa R.

Chứng minh Theo Định lý 39(2)và Bổ đề 7 chỉ ra∆(R)là căn Jacobsoncủa R đóng với phép nhân bởi các phần tử tựa khả nghịch Giả sử G lànhóm cộng bao gồm các phần tử tựa khả nghịch và đóng với phép nhâncác phần tử tựa khả nghịch của R Cụ thể, G là căn Jacobson khơngchứa đơn vị củaR, theo Bổ đề 7,G đóng với phép nhân các phần tử khảnghịch của R Do đó theo Định lý 39 (2) ta được G ⊆ ∆(R).

3ĐẠI SỐ VÀ SIGMA ĐẠI SỐ

Trang 10

là một đại số các tập con của X nếu A∗ thỏa ba tiên đề sau:1 X ∈ A∗

2 ∀A ∈ A∗⇒ Ac ∈ A∗ (Đóng kín với phép tốn lấy phần bù)3 ∀A, B ∈ A∗, A ∪ B ∈ A∗ (Đóng kín với phép tốn hợp)

Định nghĩa 2 Cho tập X tùy ý khác rỗng Ta gọi P (X) là tập hợp tấtcả các tập con của X Gọi A∗ là một họ các tập con của X A∗ được gọilà một σ - đại số các tập con của X nếu A∗ thỏa mãn ba tiên đề sau:1 X ∈ A∗

2 ∀A ∈ A∗⇒ Ac ∈ A∗ (Đóng kín với phép tốn lấy phần bù)3 ∀A1, A2, , An, ∈ A∗ ⇒[

i≥1

Ai ∈ A∗

Dựa vào hai định nghĩa trên ta có nhận xét

Nhận xét 1 Khái niệm "đại số các tập con của tập X" và khái niệm"σ - đại số các tập con của X" rất gần với nhau Điều đó thể hiện quasự giống nhau giữa hai tiên đề đầu tiên Sự khác biệt cơ bản giữa haikhái niệm này là ở tiên đề số 3 Đối với "đại số các tập con của X thìhợp "HỮU HẠN" các phần tử thuộc A∗ là một phần tử thuộc A∗ Còn"σ - đại số các tập con của X" hợp "VÔ HẠN" các phần tử của A∗ làmột phần tử thuộc A∗

Mệnh đề 2 Cho X là một tập tùy ý khác rỗng Gọi A∗ là một "đại sốcác tập con của X" Khi đó:

1 ∅ ∈ A∗

2 Hợp hữu hạn các phần tử thuộc A∗ là một phần tử thuộc A∗Hay A1, A2, , An ∈ A∗ ⇒

n

[

i=1

Ai ∈ A∗

3 Giao hữu hạn các phần tử thuộc A∗ là một phần tử thuộc A∗ (Đóngkín với phép tốn giao)

Hay A1, A2, , An ∈ A∗ ⇒

n

\

i=1

Ai ∈ A∗

4 Đóng kín với phép tốn hiệu nghĩa là: ∀A, B ∈ A∗ ⇒ A\B ∈ A∗

Trang 11

Định lý 4 Cho tập X bất kỳ khác rỗng Giả sử trên X có một phéptốn α Phép tốn α được gọi là đóng kín với tập X nếu ta lấy hai phầntử bất kỳ thuộc X, thao tác qua phép toán ta được một phần tử mới vàphần tử này cũng thuộc X.

Để dễ hiểu ta lấy một ví dụ đơn giản Trên tập N có phép tốn cộngthơng thường Ta lấy hai phần tử bất kỳ thuộc N (lấy hai số tự nhiên).Dễ thấy rằng cộng hai số tự nhiên là một số tự nhiên và số tự nhiên nàycũng thuộc N Như vậy ta nói N đóng kín với phép cộng.

Trong trường hợp tổng qt thì nó sẽ là một tập X bất kỳ.Tiếp theo ta sẽ chứng minh từng ý trong mệnh đề 1.Chứng minh:

1 Vì X ∈ A∗ (Tiên đề 1) nên Xc = ∅ ∈ A∗ (Tiên đề 2)

2 Ta quy nạp dựa theo tiên đề 2 sẽ có điều phải chứng minh.

3.∀A, B ∈ A∗ ta có Ac, Bc ∈ A∗ Khi đó(Ac∪ Bc) ∈ A∗ ⇒ [(Ac∪ Bc)]c∈ A∗hay A ∩ B ∈ A∗

Từ đây ta quy nạp lên giao hữu hạn phần tử sẽ có điều phải chứng minh.4 Chưa chứng minh

5 Chưa chứng minh

4Một số kiến thức cơ bản về nhóm

Một nhóm (G, ·) là một tập hợp G ̸= ∅ trên đó đã trang bị một phéptốn hai ngơi · thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) a · (b · c) = (a · b) · c với mọi a, b, c ∈ G,

Trang 12

Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G Ta gọi H là mộtnhóm con củaG, ký hiệu là H⩽ G, nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:(i) Phép toán trên G hạn chế lên H cảm sinh một phép tốn trên H,(ii) H là một nhóm với phép tốn cảm sinh.

Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G ta ký hiệu ⟨S⟩ lànhóm con bé nhất của G chứa S, và gọi S là một tập sinh của ⟨S⟩ Đặcbiệt, một nhóm có tập sinh chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm xiclíc.Mệnh đề 3 (Định lý Lagrange) Cho G là một nhóm hữu hạn, và Hlà một nhóm con của G Khi đó |H| là một ước của |G|.

Với Glà một nhóm hữu hạn, và H ⩽G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|,và gọi là chỉ số của nhóm con H đối với G.

Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm, và A, B là hai nhóm con hữu hạn củaG Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi đó

|AB| = |A||B||A ∩ B|.

Cho Glà một nhóm, và alà một phần tử của G Vớiu là một phần tửcủaG, liên hợp củaubởia, ký hiệu làua, được định nghĩa làua = a−1ua.Với H là một nhóm con củaG, ta gọi H là một nhóm con chuẩn tắc củaG, ký hiệu là H◁G, nếu ha ∈ H với mọi a ∈ G, h ∈ H.

Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của G Ký hiệuG/N = {aN | a ∈ G}.

Khi đó G/N là một nhóm với phép tốn xác định như sau Với a, b ∈ G(aN )(bN ) = abN.

Nhóm G/N được gọi là nhóm thương của G bởi N.

Với S là một tập con của G, tâm hóa củaS trong G, ký hiệu làCG(S),được định nghĩa là

CG(S) = {a ∈ G | ua = uvới mọi u ∈ S}.

Trang 13

Mệnh đề 5 ChoG là một nhóm khơng giao hốn Khi đó, nhóm thươngG/Z(G) khơng là nhóm xiclíc.

Cho G là một nhóm Với x và y là hai phần tử của G, giao hoán tửcủa x và y, ký hiệu là [x, y], được định nghĩa là

[x, y] = x−1y−1xy.

Nhóm con giao hốn tử của G, ký hiệu là G′, được định nghĩa là nhómcon sinh bởi tập tất cả các giao hoán tử

{[x, y] | x, y ∈ G}.

Cho hai nhóm G và H Một ánh xạ f : G → H được gọi là một đồngcấu nhóm nếu với mọi a, b ∈ G

f (ab) = f (a)f (b).

Nếu đồng cấu f là một đơn ánh (tương ứng, tốn ánh, song ánh) thìta gọi f là một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Ta ký hiệuAut(G) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G.

Cho N và H là hai nhóm bất kỳ, và cho θ : H → Aut(N ) là một đồngcấu nhóm Khi đó, tập hợp

G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H}

là một nhóm với phép toán xác định như sau Với mọi (x1, h1), (x2, h2) ∈G,

(x1, h1)(x2, h2) = (x1θ(h1)(x2), h1h2).

Nhóm G được xác định như trên được gọi là tích nửa trực tiếp củaN bởi H ứng với tác động θ, và ký hiệu là G = N ×θ H Trong trườnghợp đặc biệt khi θ là đồng cấu tầm thường thì tích nửa trực tiếp chínhlà tích trực tiếp.

Sau đây là một số kiến thức về p-nhóm và nhóm abel hữu hạn Chop là một số nguyên tố Một nhóm G được gọi là một p-nhóm nếu |G| làmơt lũy thừa của p Ta thấy rằng một nhóm con, một nhóm thương củamột p-nhóm cũng là một p-nhóm.

Trang 14

(i) Mọi nhóm có cấp p đều là nhóm xiclíc.(ii) Mọi nhóm có cấp p2 đều là nhóm abel.

Mệnh đề 7 Mọi nhóm abel hữu hạn G đều có thể biểu diễn được mộtcách duy nhất thành tích trực tiếp các nhóm xiclíc

G ∼= Cn1× Cn2 × · · · × Cnktrong đó ni⩾ 2, i = 1, 2, k, và n1| n2| · · · | nk.

Sau đây là một số kiến thức về nhóm đối xứng và nhóm thay phiên.ChoX là một tập hợp Một song ánh từ tập X đến chính nó được gọi làmột phép thế trên tập X Ký hiệu S(X) là tập tất cả các phép thế trêntập X Khi đó S(X) là một nhóm với phép tốn hợp thành ánh xạ Tagọi S(X) là nhóm đối xứng trên tập X Ta dùng ký hiệu Sn để chỉ nhómđối xứng trên tập X = {1, 2, , n} và gọi Sn là nhóm đối xứng bậc n.Định lý 5 Mọi phép thế π ∈ Sn với n ⩾ 1 đều được phân tích đượcthành một tích các xích rời nhau Phân tích này là duy nhất nếu khôngkể đến thứ tự các nhân tử.

Cho π ∈ Sn với n ⩾ 1 Khi đó, theo Định lý ??, ta có phân tích πthành tích các xích rời nhau

π = (a11a12· · · a1k1)(a21a22· · · a2k2) · · · (as1as2· · · asks)

trong đó ta có thể giả thiết k1 ⩾k2 ⩾ · · ·⩾ ks. Ta gọi (k1, k2, , ks) làkiểu của phép thế π.

Mệnh đề 8 Hai phép thế trong nhóm đối xứng Sn với n ⩾1 là liên hợpvới nhau khi và chỉ khi chúng có cùng kiểu.

Cho σ ∈ Sn với n ⩾ 2. Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) là một nghịch thế của σnếu i < j và σ(i) > σ(j). Dấu của phép thế σ, ký hiệu là sign(σ), đượcxác định bởi công thức

sign(σ) = (−1)t

Trang 15

Mệnh đề 9 Cho σ, τ ∈ Sn với n⩾1. Khi đó(i) sign(στ ) =sign(σ)sign(τ ).

(ii) Nếu σ là một xích độ dài k thì sign(σ) = (−1)k+1.

Với n⩾2 ta ký hiệu An là tập các phép thế chẵn bậcn. Khi đóAn làmột nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2 của Sn. Ta gọi An là nhóm thay phiênbậc n.

Cuối cùng trong mục này là một kết quả về độ giao hốn của mộtnhóm.

Định nghĩa 3 Cho G là một nhóm Ký hiệuC = {(x, y) ∈ G × G | xy = yx}.

Độ giao hoán của G, ký hiệu là Pr(G), được định nghĩa như sauPr(G) =|C|

|G|2.

Mệnh đề 10 Nếu G là một nhóm khơng giao hốn thì Pr(G)⩽ 58.

5Định lý sự tồn tại và duy nhất cho hệ thống tuyến

tính

Định lý 6 (Định lý sự tồn tại và duy nhất cho hệ thống tuyến tính) ChoI là một đoạn thực bất kỳ và giả sử rằng A ∈ C(I, Mn(F )), B ∈ C(I, Fn).Cho mọi τ ∈ I, ξ ∈ Fn tồn tại một giải pháp duy nhất X của (IV P) trênđoạn I.

Chứng minh Cho bất kỳ t ∈ I, giả sử J = [c; d] là bất kỳ đoạn con bịchặn của I sao cho τ, π ∈ J, Bởi định lý 7.3 tồn tại một hàm Xj khácbiệt duy nhất trên đoạn con [a, b] sao cho

XJt(s) = A(s)XJ(s) + B(s),XJ(τ ) = ξ,s ∈ J

Trang 16

nhất áp dụng cho đoạn này cho thấy rằng XJ1(s) = XJ(s), s ∈ J1∩ JĐặc biệt, XJ1(t) = XJ(t) Để định nghĩa của chúng ta vềX(t) không phụthuộc vào J được chọn Vì X có tính khả vi trên [a, b] và thỏa mãn

X′(t) = A(t)X(t) + B(t),X(τ ) = ξ,t ∈ I

Nó là một giải pháp của (IV P) trên đoạn I Nó là duy nhất, vì nếu Ycũng là mơt giải pháp trên I thì đối với mọi t thuộc I có một đoạn connhỏ J chứa τ, t và kết quả duy nhất cho J ngụ ý rằng X(t) = Y (t).

Trước khi tiếp tục phát triển lý thuyết, chúng ta xem xét một ví dụkhác Xét bài toán với n = 1 :

x′= 3t2x,x(0) = 1,t ∈ RPhương trình tích phân tương ứng là

x(t) = 1 +Z t03s2x(s)ds = (T x)(t),t ∈ R.Nếu x0(t) = 1, thìxm+1(t) = 1 +Z t03s2xm(s)ds,m = 0, 1, 2 Do đóx1(t) = 1 +Z t03s2ds = 1 + t3,x2(t) = 1 +Z t03s2[1 + s3]ds = 1 + t3+ t6/2,x3(t)1 +Z t03s2[1 + s3+ s6/2]ds = 1 + t3+ t6/2 + t9/6,Và một quy nạp cho thấy rằng

Trang 17

Chúng ta nhận raxm(i) là môt tổng riêng cho việc triển khai dãy số củahàm x(t) = et3.

Dãy số này hội tụ đến x(t) cho mọi t thuộc R, và hàm x(t) là kết quảcủa vấn đề.

Nhìn lại phương pháp chứng minh định lý 7.3, khơng khó để nhận thấyrằng bất kỳ sự lựa chọn nào của hàm liên tục ban đầu X0(t)cũng sẽ dầnđến cùng một giải pháp X(t) Thực sự, bất đẳng thức cơ bản đó sẽ đượcáp dụng

|Xm+1(t) − Xm| ≤ ∥A∥∞Z t

τ

|Xm(s) − Xm−1(s)|ds,m ≥ 1, t ∈ I.Sự khác biệt duy nhất phát sinh do sự khác biệt ban đầu giữa Xi(t) −X0(t) Ước lượng thu được từ lập luận quy nạp sau đó trở thành

|Xm+1(t) − Xm| ≤ ∥X1− X0∥∞h∥A∥∞[t − τ ]i

m

/m!

Phần còn lại của lập luận diễn ra như trước đây, đưa ra giải pháp duynhất X(t) của (7.2) Nếu (IV P) được xem xét trên bất kỳ đoạn I nào,ta cũng có thể ước lượng khoảng cách giữa Xm(t) và X(t) trên bất kỳđoạn con nhỏ J = [a, b] nằm trong I chứa τ Với mọi k > m

∥X − Xm∥∞,J ≤ ∥X − Xk∥∞,J + ∥Xk− Xm∥∞,J

≤ ∥X − Xk∥∞,J + ∥(Xk− Xk−1) + (Xk−1− Xk−2) + · · · + (Xm+1− Xm)∥∞,JVà sử dụng bất đẳng thức tam giác và lấy giới hạn khi (7.10) ngụ ý rằng

∥X − Xm∥∞,J ≤∞Xk=m∥Xk+1− Xk∥∞,J,(7.11)≤ ∥X1− X0∥∞,J∞Xk=mh∥A∥∞,J[b − τ ]im/m!.

Tất nhiên, chuỗi cuối cùng này lại là phần còn lại của chuỗi cho hàm mũ(∥A∥∞,J[b − τ ]).

Trang 18

Định lý 7 (Định nghĩa các xấp xỉ liên tiếp bởi).Xm+1(t) = ξ +

Z t

τ

[A(s)Xm(s) + B(s)]ds,t ∈ I

Tại X0∈ C(I, Fn) là tùy ý Nếu X(t) là giải pháp của (IV P) trên I, thìXm→ X đồng đều

∥X − Xm∥∞,J → 0,k → ∞Trên mỗi đoạn con nhỏ J ⊂ I chứa τ

6Tính liên tục của các giải pháp

Trở lại tình huống trong Định lý 7.3, trong đó [a, b] là một đoạn đóng,giải pháp X(t) của bài toán giá trị ban đầu.

X′= A(t)X + B(t),X(τ ) = ξ,t ∈ I,IV P

Rõ ràng phụ thuộc vào τ ∈ I, ξ ∈ Fn, A ∈ C(I, Mn(F )) và B ∈ C(I, Fn).Kết quả chính của phần này khẳng định rằng đối với mọi t ∈ I Giá trịX(t) à một hàm liên tục của các biến này Phân tích sự phụ thuộc nàybắt đầu bằng một ước lượng cho ∥X∥∞ điều này được suy ra bằng cáchsử dụng phương pháp chứng minh Định lý 7.3

Bắt đầu với việc xấp xỉ kế tiếp từX0(t) = ξ +Z tτB(s)ds,Kết quảX(t) = limk→∞Xk(t)Sau đó đáp ứng ước lượng

Trang 19

Bây giờ có thể áp dụng bất đẳng thức (7.8), cho kết quả là∥X∥∞≤ ∥X0∥∞+ ∥X0∥∞∞Xm=0∥A∥m+1∞ [b − τ ]m+1(m + 1)!= ∥X0(t)∥∞exp(∥A∥∞[b − τ ]).Từ∥X0(t)∥∞ =ξ +Z tτB(s)ds∞≤ |ξ| + |b − a|∥B∥∞,Ước lượng mong muốn cho ∥X∥∞ là

∥X∥∞≤

|ξ| + |b − a|∥B∥∞

exp(∥A∥∞[b − a]).(7.12)

Ước lượng đơn giản (7.12) có thể được sử dụng để chỉ ra bằng X là mộthàm liên tục chung trong tất cả các biến này Do đó, một sự thay đổinhỏ trong t, A, b, τ, ξ sẽ tạo ra một sự thay đổi nhỏ trong X Nếu chúngta ký hiệu giải pháp của (IV P) tại thời điểm t bằng X(t, A, B, τ, ξ), sauđó, định lý 7.6 cung cấp ý nghĩa chính xác cho phát biểu rằng

X(s, C, D, σ, η) → X(t, A, B, τ, ξ),tại

(s, C, D, σ, η) → (t, A, B, τ, ξ).Đó là, X là liên tục tại (t, A, B, τ, ξ).

Định lý 8 Đặt I là một đoạn [a, b] bị chặn, A, C ∈ C(I, Mn(F )), B, D ∈C(I, Fn), τ, σ ∈ I, ξη ∈ Fn Giả định X là kết quả của

X′ = A(t)X + B(t),X(τ ) = ξ,t ∈ I

Trang 20

Chứng minh Hiệu hai phương trình cho X(t) và Y (t) ta được(Y − X)′ = C(t)(Y − X) + (C(t) − A(t))X + D(t) − B(t).Do đó nếu Z = Y − X thì Z đáp ứng giá trị bài toán ban đầu

Z′ = C(t)Z + E(t),Z(σ) = η − X(σ)Nơi

E(t) = (C(t) − A(t))X(t) + D(t) − B(t).Chúng ta có thể áp dụng đánh giá (7.12) cho Z và thu được

∥Y − X∥∞= ∥Z∥∞ ≤|Z(σ)| + (b − a)∥E∥∞exp(∥C∥∞[b − a])(7.15)Đặt e > 0 được cho Ta thấy

|Y (s) − X(t)| < |Y (s) − X(s)| + |X(s) − X(t)|≤ ∥Y − X∥∞+ |X(s) − X(t)|(7.16)

Từ X là liên tục tại t, cho mọi e > 0 có ϵ > 0 như vậy |s − t| < δ1 Ngụ ý|X(s) − X(t)| < ϵ

3Mà còn

|Z(σ)| = |η − X(σ)| ≤ |η − ξ| + |X(τ ) − X(σ)|Từ X là liên tục tại t, cho mọi e > 0có ϵ2> 0 như vậy

|η − ξ| < δ2,|τ − σ| < δ2Ngụ ý|Z(σ)| exp(∥C∥∞[b − a]) < ϵ3.Cuối cùng, từE(t) = (C(t) − A(t))X(t) + D(t) − B(t)Có ϵ3 như vậy∥C − A∥∞< ϵ3,∥D − B∥∞< ϵ3Ngụ ý

|b − a|∥E∥∞exp(∥C∥[b − a]) < ϵ3.

Trang 21

7Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 4 Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phéptoán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm Abel vớiphép tốn cộng, R là nửa nhóm với phép toán nhân và phép toán nhânphân phối với phép toán cộng, nghĩa là

x(y + z) = xy + xz,(x + y)z = zx + yzvới mọi x, y, z ∈ R.

Phần tử trung hòa của phép cộng được ký hiệu bởi 0 (thường gọi làphần tử không) Phần tử đơn vị của phép nhân nếu có được ký hiệu bởi1 Nếu vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị thì 1 ̸= 0.

Định nghĩa 5 Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếuA là vành đối với hai phép tốn cộng và nhân trên R (bao gồm cả tínhđóng của hai phép toán trên A).

Định nghĩa 6 Ideal trái (phải) của một vành R là một vành con Athỏa mãn điều kiện

ra ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R.

Vành con I củaR vừa là ideal trái, vừa là ideal phải được gọi là idealcủa vành R.

Cho I là một ideal của vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} đượcgọi là tập thương của R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng haiphép toán

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I,(x + I)(y + I) = (xy) + Ivới mọi x, y ∈ R.

Trang 22

7.0.1Định lý đồng cấu vành

Định nghĩa 8 Cho R, R′ là hai vành Ánh xạ f : R → R′ được gọi làmột đồng cấu vành nếu f bảo tồn hai phép tốn cộng và nhân trong R,nghĩa là

f (x + y) = f (x) + f (y),f (xy) = f (x)f (x),với mọi x, y ∈ R.

7.0.2Một số kết quả liên quan

8ĐỊNH LÝ CAUCHY

Định lý 9 (Định lý Cauchy) Giả sử các hàm số f và g liên tục trên[a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và g′(x) ̸= 0 với mọi x ∈ (a, b) Khi đó tồntại c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f (a)g(b) − g(a) =

f′(c)g′(c)Chứng minh

Trước hết ta nhận xét rằng g(a) ̸= g(b) Nghĩa là công thức trong kếtluận của định lý ln ln có nghĩa Thật vậy, giả sử g(a) = g(b) Khiđó theo định lý Rolle, tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho g′(ξ) = 0 Điều này mâuthuẫn với giả thiết g′(x) ̸= 0 với mọi x ∈ (a, b).

Xét hàm số

F (x) = [f (a) − f (b)]g(x) − [g(a) − g(b)]f (x)

Do các hàmf (x), g(x)liên tục trên đoạn[a, b]và khả vi trên khoảng (a, b)nên hàm số F (x) cũng có những tính chất đó Mặt khác, F (a) = F (b).Theo định lý Rolle, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho F′(c) = 0 Nhưng ta có

F′(x) = [f (a) − f (b)]g′(x) − [g(a) − g(b)]f′(x)Suy ra

Trang 23

Nhận xét 2 Định lý Lagrange là một trường hợp riêng của định lýCauchy khi g(x)=x.

Chú ý: Các định lý Rolle, Lagrange, Cauchy sẽ khơng cịn đúng nữanếu một trong các điều kiện của giả thiết không được thỏa mãn Nghĩalà nếu các hàm f và g không khả vi trên khoảng (a, b) hay không liêntục trên đoạn [a, b] thì các định lý sẽ không đúng.

9Mở rộng Dorroh và mở rộng tail ring của các ∆U -vành

Mệnh đề 11 Cho R là một vành, các điều kiện sau là tương đương(1) R là ∆U-vành.

(2) ∆(R) = U◦(R).

(3) Ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) được cho bởi ε(x) = 1 − x là mộtđẳng cấu nhóm.

Định lý 10 Cho R là một vành có đơn vị Khi đó các điều kiện sau làtương đương

(1) Mở rộng Dorroh Z⊕ R là ∆U-vành.(2) R là ∆U-vành.

Mệnh đề 12 R[D, C] là ∆U-vành khi và chỉ khi D và C là ∆U-vành.9.1Các nhóm vành

Định lý 11 Cho G là nhóm hữu hạn với cấp 1 + 2n và R là ∆U-vành.Khi đó RG là ∆U-vành khi và chỉ khi agumentation iđêan ∇(RG) là∆U-vành.

Bổ đề 3 Nếu G là locally finite 2-group và R là ∆U-vành với ∆(R) lũylinh, khi đó ∇(RG) ⊆ ∆(RG).

Định lý 12 ChoR là∆U-vành và G là locally finite 2-group Nếu∆(R)là lũy linh, khi đó RG là ∆U-vành.

Trang 24

10ĐỊNH LÍ FUBINI

Định lý 13 (G.Fubini - L.Tonelli) Cho F :R2n → [0, ∞] là hàm đo được(đối với M2n) Khi đó

(i) Hàm

Rn ∋ y 7→ F (x, y)

là đo được (đối với Mn) với Ln hầu khắp nơi x ∈Rn.(ii) Hàm

Rn ∋ x 7→Z

Rn

F (x, y)dylà đo được (đối với Mn).

(ii)ZR2nF (x, y)dxdy =ZRndxZRnF (x, y)dy=ZRndyZRnF (x, y)dxBổ đề 4 Cho f ∈C0(Rn) Khi đó

ϱ ∗ f → f đều trên tập compact của Rn.

Chứng minh Cho K ⊂ Rn là tập compact và cho K′ := K + B(0, 1).Theo tính liên tục đều của f trên tập compact K′, ∀ϵ > 0 tồn tại 0 <δ = δ(ϵ, K′) < 1 thỏa mãn

Trang 25

Mặt khác, nếu h ∈N thỏa 1/h < δ và x ∈ K, theo (??),|(f ∗ ϱh)(x) − f (x)| = ZRnf (x − y)ϱh(y)dy − f (x)= ZRnf (x − y)ϱh(y)dy −ZRnf (x)ϱ(y)dy=