Một vài cách tính bậc tôpô và ứng dụng vào bài toán phân nhánh toàn cục của bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: MỘT VÀI CÁCH TÍNH BẬC TƠPƠ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TỐN PHÂN NHÁNH TỒN CỤC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết dao động nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch nghiên cứu rầm rộ năm 80 trở lại Càng ngày người ta thấy có nhiều ứng dụng thực tế Đặc biệt lĩnh vực: Vật lý, Sinh học, Sinh lý học, Sinh thái học Đóng góp nhiều cho lĩnh vực phải kể đến Gyori, Ferreira, Arino, Gopalsamy Ladas Các tác giả nghiên cứu dao động nghiệm hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng hệ phương trình vi phân có đối số lệch tuyến tính sở phương trình đặc trưng Từ với hệ phương trình cụ thể thực tế xét dựa vào hệ phương trình tuyến tính hóa (linearized equation) 423 2 Một số kết liên quan Trong toàn luận văn, ký hiệu J(R) Jacobson vành R U (R) tập hợp tất phần tử khả nghịch vành R có đơn vị Trong [?], tác giả định nghĩa vành R gọi U J -vành + J(R) = U (R) Cho S vành, khơng thiết phải có đơn vị, vị nhóm S◦ = (S, ◦) S tập hợp S với phép tốn ◦:S×S →S (x, y) 7→ x ◦ y = x + y − xy Mặt khác, S vành có đơn vị, S◦ đẳng cấu với vị nhóm (S, ) R với đẳng cấu ◦ : (S, ◦) → (S, ) x 7→ − x Cụ thể, y ∈ S khả nghịch vị nhóm S◦ (được gọi phần tử tựa khả nghịch hay phần tử tựa quy) − y phần tử khả nghịch vành S nhóm phần tử khả nghịch U (S) S đẳng cấu với nhóm U◦ (S) phần tử tựa khả nghịch S Phần tử nghịch đảo y S◦ gọi tựa nghịch đảo y Ta biết I = J(S) iđêan lớn S thỏa mãn U◦ (I) = I Bổ đề ([?], Bổ đề 1.1) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) U (R) = + J(R), hay R U J -vành; (2) U (R/J(R)) = {1}; (3) C(R) iđêan R (khi C(R) = J(R)), với C(R) tập phần tử tựa quy R; (4) rb − cr ∈ J(R), r ∈ R b, c ∈ C(R); (5) ru − vr ∈ J(R), u, v ∈ U (R) r ∈ R; (6) U (R) + U (R) ⊆ J(R) (khi U (R) + U (R) = J(R)) Một vành gọi hữu hạn Dedekind ab = ba = với a, b hai phần tử vành Mệnh đề ([?], Mệnh đề 1.3) Cho R U J -vành Khi (1) ∈ J(R); (2) Nếu R thể, R ∼ = F2 ; (3) R rút gọn (khơng có phần tử lũy linh khác khơng) R giao hốn; (4) Nếu x, y ∈ R thỏa mãn xy ∈ J(R) yx ∈ J(R) xRy, yRx ⊆ J(R); (5) Giả sử I ⊆ J(R) iđêan R Khi R U J -vành R/I U J -vành; (6) R hữu hạn Dedekind; Y (7) Vành Ri U J -vành vành Ri U J -vành với i∈I i ∈ I Một vành R gọi nửa địa phương vành thương R/J(R) tổng trực tiếp iđêan phải cực tiểu Mệnh đề ([?], Mệnh đề 1.4) Vành nửa địa phương R U J -vành R/J(R) ≃ F2 × × F2 Cho R vành có đơn vị Ta ký hiệu Mn (R) vành ma trận cấp n × n R Định lý ([?], Định lý 3) Cho R vành tùy ý, có đơn vị n > Khi đó, phần tử Mn (R) tổng ba phần tử khả nghịch Mn (R) Cho R vành có đơn vị, phần tử a ∈ R gọi clean a có biểu diễn a = e + u e phần tử lũy đẳng R, u phần tử khả nghịch R Ta ký hiệu Cl(R) tập tất phần tử clean vành R Một vành R gọi clean R = Cl(R) Hệ ([?], Hệ 1.7) Cho R vành Khi đó, điều kiện sau tương đương (i) R vành rút gọn; (ii) U (R[x]) = U (R); (iii) Cl(R[x]) = Cl(R) Cho R vành M song môđun vành R Một mở rộng tầm thường R M T (R, M ) = {(r, m) : r ∈ R m ∈ M }, với phép cộng theo thành phần phép nhân định nghĩa (r, m)(s, n) = (rs, rn + ms) Mệnh đề ([?], Mệnh đề 4.9 (2)) Cho R vành M song môđun R Gọi T (R, M ) mở rộng tầm thường Khi tập phần tử khả nghịch T (R, M ) U (T (R, M )) = T (U (R), M ) Một vành R gọi I -vành iđêan phải lũy linh khác không chứa phần tử lũy đẳng khác không Một hệ n2 phần tử {eij } vành R gọi hệ ma trận khả nghịch ( j ̸= j ′ eij ej ′ k = ejk j = j ′ Định lý ([?], Định lý 2.1) Cho R I -vành Nếu a phần tử lũy linh cấp n (nghĩa an = 0, an−1 ̸= 0) an−1 ∈ / J(R) iđêan (a) sinh a chứa hệ n ma trận khả nghịch ĐỊNH LÍ FUBINI Định lý (G.Fubini - L.Tonelli) Cho F : R2n → [0, ∞] hàm đo (đối với M2n ) Khi (i) Hàm Rn ∋ y 7→ F (x, y) đo (đối với Mn ) với Ln hầu khắp nơi x ∈ Rn (ii) Hàm Z n R ∋ x 7→ F (x, y)dy Rn đo (đối với Mn ) (ii) Z Z Z F (x, y)dxdy = R2n dx  F (x, y)dy Rn Rn Z Z = dy Rn  F (x, y)dx Rn Bổ đề Cho f ∈ C0 (Rn ) Khi ϱ ∗ f → f tập compact Rn Chứng minh Cho K ⊂ Rn tập compact cho K ′ := K + B(0, 1) Theo tính liên tục f tập compact K ′ , ∀ϵ > tồn < δ = δ(ϵ, K ′ ) < thỏa mãn |f (x − y) − f (x)| ≤ ϵ, ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ) Mặt khác, h ∈ N thỏa 1/h < δ x ∈ K , theo (66), Z X X X ν(Eh ) = ϕ(χE ) − ϕ(χEh ) =