Ve căn jacobson, js căn và các l p căn của nửa vành

ĐẠIHOCHUE TRƯNGĐẠIHOCSƯPHẠM -oOo- LÊHOÀNGMAI VECĂNJACOBSON, J SCĂNVÀCÁCLPCĂNCỦANỬAV ÀNH Chuyênngành:ĐạisovàlýthuyetsoMã so:624601 04 TĨMTATLUNÁNTIENSĨTỐNHOC HUE- NĂ M 20 Cơngtrìnhđưchồnthànhtại:Khoa Tốn,Trường Đại hoc SưphạmĐạihocHue Ngưihưng dȁn khoa hoc:PGS.TSKH.NguyenXuânTuyen Phảnbin1: Phảnbin2: Phảnbin3: Lu n án đưc bảo vtạiH iđong cham lu n án cap Đại hoc Huehopt i : Vàohoi .giờ ngày tháng năm Cóthetìm hieulun ántạithưvin : MĐ A U Lýdochonđetài Khái ni m nghiên cáu lan đau tiên Cartan cho đại so Liehǎu hạn chieu trường đóng đại so Căn m®t đại so Lie hǎu hạnchieuAl iđêangiảiđượclớn nhatcủa Av nóđạtđượcbangcáchlaytőn gtatcảcáciđêangiảiđượccủaA Đại so LieAđược goi nảa đơn neu củanó bang0 Cartan rang đại so Lie nảa đơn tőng trực tiep hǎu hạn đại so Lie đơn Hơn nǎa, ơng cịn mơ tả đại so Lie đơn hǎu hạnchieu trường đóng đại so Do đó, cau trúc đại so Lie nảa đơnhǎuhạnchieulàhồntồnđượcxácđịnh Wedderburn mở r®ng ket nói cho đại so ket hợp hǎu hạnchieu trường Ông định nghĩa m®t đại so Anhư v y, kí hiurad(A),làiđêanlũylinhlớnnhatcủa Avà nócũngbangtőngtatcảcáciđêanl ũylinhcủaA Tương tự Cartan, Wedderburn goi m®t đại so hǎu hạn chieu Alà nảa đơn neurad(A) = Ông cháng minh rang đại so hǎu hạnchieuAlà nảa đơn neu neu tőng trực tiep hǎu hạn đại sođơn hǎu hạn chieuAi,trong moiAilà m®t đại so matr ntrên m®t đại sochiađượchǎuhạnchieu Artin mở r®ng định lý Wedderburn cho vành thỏa mãn đieu ki ncựcti e u ( g o i l v n h A r ti n ) V i c c v n h R n h v y , t ő n g c ủ a c c i đ ê a n l ũ y linht r o n g R l l ũ y l i n h , d o đ ó R c ó m ® t i đ ê a n l ũ y l i n h l n n h a t r a d (R),đ ợ c goilàcănWedderburncủaR Như v y, định lý Wedderburn cho đại sođơn nảa đơn mở r®ng thành cơng cho vành Artin m®t phía Tuynhiên,đoivớivànhkhơngArtinm®tphía R ,tőngcủacáciđêanlũylinhtrong Rkhơng cịn lũy linh v y, Rkhơng có iđêan lũy linh lớn nhat, đóchúngtakhơngcókháinimcănchocácvànhbatkỳ Năm 1945, Jacobson [25] đe xuat khái ni m (được goi làcăn Jacobson)chovànhkethợpbatkỳlàtőngcủatatcảcáciđêanphảitựachínhqu yphải.Đ cbi t,khiRlàvànhArtinm®tphíathìkháini mcănJacobsonvàcănWedderburn Rlà trùng Ke tà đây, khái ni m Jacobson trở thànhm®t nhǎng cơng cụ hǎu dụng đe nghiên cáu cau trúc vành Căn Jacobsoncủalýt h uyet vàn h cá c van đ e liên q ua n đãđư ợc tr ình bà y t ươn gđ oiđayđủvàcóhthong tài li u như: Gardner-Wiegandt [11], Lam [36] vàAnderson-Fuller[6] Khái ni m nảa vành giới thi u Vandiver [56] vào năm 1934, tőngquát hóa khái ni m vành ket hợp theo nghĩa khơng địi hỏi tính đoi xáng củaphép c®ng Trong th p niên 30 thek20, khái ni m nảa vành chưa đượcc®ng đong tốn hoc quan tâm nhieu Tam quan ca na vnh lýthuyetkhoahocmỏytớnh,autiờnccụngnhnbiSchuătzenberger[52].Ngy nay, na vnh phát trien ve phương di n lý thuyet lan dụng.Cáctính cha t ,á n g dụ ng n ảa vành cá c vanđ eliê n quan đư ợ c t r ình bàytrongcáctàiliunhư:Golan[13],BerstelReutenauer[8]vàPolák[18] Ganđây,nảavànhc®nglũyđȁng(cịnđượcgoilànảavànhlũyđȁngbởim®tsotácgiả)đượccác nhà toán hoc quan tâm như: Gathmann [12] IzhakianRowen[23] v ìn ả a v n h c ® n g lũ y đ ȁ n g t â mđ ie mc ủ a cá c đ oi t ợ n gt n g đoimớinhưhìnhhoctropicalvàđạisotropical.Cùngvớiđó,kháinimnảamơđun trái đơn nảa vành c®ng lũy đȁng quan tâm nghiên cáunhư: Izhakian-Rhodes-Steinberg [24] mô tả tat lớp nảa mơđun tráiđơn m®t đại so na nhúm hu hn ly ngBS(Sl mđt na nhúm huhn),KendziorraZumbrăagel[32]chraluụntontinamụuntrỏintrờnlpcỏcnavnhcúnvhuh ncđnglyngvKatsov-Nam-Zumbrăagel [29]chraluụnt o n tina mụuntrỏi ntrờnl pcỏcna vnh đayđ ủchỉcó tươngđȁngtamthườngvới RR 0.Tuynhiên,sựtontạinảamơđuntráiđơn trongt rường h ợp nả av n hn ó i c l m ® t v an đ e c hưa c ó l ời gi ải Tà nhǎng van đe gợi ý nghiên cáu cau trúc nảa vành.Tương tự vành, lu n án chúng tơi sả dụng m®t nhǎng cơngcụ hǎu dụng đe nghiên cáu cau trúc nảa vành cơng cụ Nói chung,căn nảa vành m®t iđêan cô l p gom tat phan tả “xau” nảavànhsaochonảavànhthươngtheocăncủanókhơngcóphantảxau Căn nảa vành bat đau quan tâm m®t so nhà tốn hoc tà th pniên5 c ủ a t h e k Đ cb i t,n ă m B o u r n e [ ] đ ã g i i t h i uk h i n i mc ănJacobson (hayJ-căn) nảa vành theo iđêan nảa quy m®t phía.Ngồi ra, Bourne cháng minh moi iđêan trái (phải) lũy linh củanảavànhcháatrong J -căn[9,Theorem7]vàtínhđược J căncủanảavànhmatrntrênnảavànhcóđơnvị[9,Theorem9].Năm1958,Bounnev àZassenhaus [10] giới thi u m®t lớp iđêan đ c biêt nảa vành mà goi làiđêancơl¾p( h a y k -iđêan)vàchángminhđược J căncủanảavànhlàm®tiđêancơ lp CănJ a c ob s on c ủ a c c n ả a n h ti e p t ụ cđ ợ c n g h i ê n c u b i I i z u k a t h e o quanđiemlýthuyetbieudien.Trong[21],Iizukađãsảdụnglớpcácnảamôđun trái bat khả quy đe đ c trưng J-căn nảa vành [21, Theorem 8] Ông cũnggiớithiukháinimiđêannguyênthủycôlpmạnhcủanảavànhvàđctrưngJcănlàgiaocủatatcảcáciđêannguyênthủycôlpmạnh[21,Theorem6],vàchỉramoiliênhgiǎaJcăn nảa vành Jacobson vành sai phân củanó[21,p.420].Ngồira,ơnggiớithium®tlớpiđêanđcbitcủanảavànhmàđượcgoilàh -iđêanvàchángminhJ-căncủacácnảavànhlàm®th-iđêan Trong[38],LaTorređãchángminhJ-căncủanảavànhlàk-iđêan(h-iđêan)phải sinh bởitptat cáck-iđêan (h-iđêan) phải nảa quy phải [38,Theorem 3.1] neuRlà m®t vành hai khái ni m Jacobson vànhvà nảa vành trùng [38, Theorem 3.2] Ngồi ra, ơng thiet l p m®tso tính chat quen thu®c liên quan đen Jacobson lý thuyet vành chotrường hợp nảa vành Đ c bi t, LaTorre mô tả cau trúc nảa vành c®ng chínhquyJ-nảa đơn [38, Theorem 3.4] Tuy nhiên, ket liên quan đen J-căn nảa vành đen thời điem rat khiêm ton so với ket liênquanđencănJacobsontronglýthuyetvành Ganđ â y , K a t s o v - N a m đ ã n h nđ ợ c m ® t s o k e t q u ả l i ê n q u a n đ e n J cănđoi với nảa vành [26, Section 4], đ c bi t ket liên quan đencaut r ú c c ủ a c c n ả a v n h t h ô n g q u a J cănn h đ ị n h l ý c ủ a H o p k i n s đ o i v i nảavànhArtin[26,Corollary4.4]vàđịnhlýcautrúcđoivớinảa vànhnguyênthủy [26, Theorem 4.5] Tuy nhiên, m®t hạn che J-căn nảa vành c®nglũy đȁng thu®c ve lớp cảm sinh nó, tác là, neu Rlà nảa vành c®ng lũyđȁng thìJ(R) =R([26, Example 3.7] ho c [53, M nh đe 2.5]) Đe khac phục vanđe này, Katsov-Nam giới thi u khái ni m Js-căn (m®t dạng tőng qt hóa cănJacobson lý thuyet vành) nảa vành bang cách sả dụng lớp nảamơđuntráiđơn[26,p.5076]vànhnđượcđịnhlýmơtảcautrúccủanảavànhc®nglũyđȁnghǎuhạn Jsnảa đơn thơng qua [26, Theorem 3.11] Đongthời,h o c ũ n g c h ỉ r a r a n g J -cănv J scănl t r ù n g n h a u đ o i v i l p t a t c ả c c vànhnhưngtrongtrườnghợpchungcủanả avànhthìkhácnhau,chȁnghạnlớpcácnảavànhc®nglũyđȁng[26,Example3.7],vàchỉramoiquanhgiǎa chúngcho nảa vành c®ng quy nảa vành giao hoán [26, Proposition 4.8].Tuyn h i ê n , m o i q u a n h g i ǎ a J -cănv J scănc ủ a c c n ả a v n h t r o n g t r n g hợptőngqtthìchưabiet.Đelàmsángtỏđi eunày,m®tvanđetựnhiênđượcđtralàxétmoiquanhg i ǎ a cáccănnày Bàitốn[26,Problem1]Mơtảlớpcácnảavành R saocho J s(R)⊆J(R), trongtrườnghợpđcbit J s(R)=J(R) Tronglunánnày,chúngtôitiep tụcsảdụngcôngcụ J -cănvà J s-cănđe nghiên cáu cau trúc m®t so lớp nảa vành, thiet l p m®t so ket quantrongliênquanđencănJacobsontronglýthuyetvànhchotrườnghợpnảavành,mơt ả m o i q u a n h g i ǎ a J -cănv J scănđ o i v i m ® t s o l p c c n ả a n h , q u a đótrảlờim®tphanBàitốn[26,Pro blem1] Ngồi ra, lu n án quan tâm nảa vành theo quan điemKurosh-Amitsur Đau th p niên 50 thek20, Amitsur [2, 3, 4] Kurosh [34]là nhǎng nhà tốn hoc đau tiên đ®c l p khám phá rang tat cő điencó tính chat chung ho sả dụng tính chat đại so đe tiênđe hóa định nghĩa lớp tràu tượng Năm 1988, Kurosh-Amitsur cho m®tphạmtrùđạisochungđượcđexuatbởiMárki-Mlitz-Wiegandt[46].Năm2004,căn củavànhtheoquanđiemKurosh-Amitsurvàcácketquảliênquanđãđượctrình bày m®t cách có h thong Gardner-Wiegandt [11] Trong đó,áng vớimoi lớp cănγcho trước ta ln xác định m®t tốn tả hay phép laycăn (goi làγ-căn hay KuroshAmitsur) ngược lại với moi tốn tả cănρchotrướctalnxácđịnhđượcm®tlớpcăn Năm 1983, Olson-Jenkins [48] tőng qt hóa khái ni m lớp lýthuyetvànhchotrườnghợpnảavànhvàsauđóm®tsovanđeliênquanđenlớpcăn cácnảa vànhđượcOlsonvàcácc®ngsựcủngtrìnhbàytrongm®tloạt cơng trình [49, 50, 51] Ngồi ra, Kurosh-Amitsur cho phạm trùnảatrườngđượcnghiêncáubởiWeinertWiegandt[59,60,61],phạmtrùnhómđượcnghiêncáubởiKrempaMalinawska[33]vàLi-Zhang[42] Gan đây, Kurosh-Amitsur nảa vành tiep tục nghiên cáu.Trong[15,p.652],Hebisch-Weinertđãxâydựngđượccáclớpcăntàcáclớpđcbitvàđc bityeu.Morak[47]đãxâydựngbatrục®tcủacănKurosh-Amitsurcủa nảa vành m®t cách đ®c l p là: Lớp căn, lớp nảa đơn toán tả vàHebisch-Weinert [17, Theorem 3.6] tương 1-1 giǎa ba trục®tđó.Trong[16,Theorem3.4],Hebisch-Weinertđãcháng minhđượctàm®tlớp theo quan điem lý thuyet vành ln xây dựng m®t lớp theoquan điem lý thuyet nảa vành Ngoài ra, Morak [47, Theorem 5.3] xâydựng m®t lớp tà m®t lớp quy nảa vành cho trước goilàlớpcăntrên Trong [11, p 28], lớp m®t lớp δcác vành giao tat lớpcăn cháaδvà lớp nhỏ nhat cháa δ, kí hi uLδ Có m®t vài phươngpháp xây dựng lớp m®t lớp δcủa vành phương pháp củaWatters [58], phương pháp Kurosh [34] phương pháp Lee [40] Lớpcăndướicủam®tlớpcácnảavànhthìđượcđịnhnghĩatươngtựnhưtronglý thuyet vành lớp m®t lớpAcác nảa vành kí hi u làLA.Trong[63,Theorem2.6],Zulfiqarđãxâydựnglớpcăndướicủam®tlớpcácnảa vành theophươngpháptươngtựcủaWatters.Ngồira,Zulfiqar[62,64]cũng tőng qt hóa khái ni m tőng hai lớp giao m®t lớp cănvớitőngcủahailớpcăntronglýthuyetvànhđượcxâydựngbởiLee-Propes[11]chotrường hợp nảavành.Tínhchatditruyen củalớp căncác vành thìđượcnghiên cáu Anderson-DivinskySulínski [5] Morak [47, Section 6] tőngqthóacáctínhchatnàychotrườnghợplớpcăncủacácnảavành Tuynhiên,nhǎngketquảliênquancănKurosh-Amitsurcủanảavànhchođen thời điem hi n khiêm ton so với ket tương cănKurosh-Amitsurtronglýthuyetvành Với lý trên, chon đe tài“VecănJacobson,Js-căn vàcácl pcăn nfia vành”làm đe tài lu n án Nhǎng van đe sau đe tàiđượctptrungnghiêncáu (1) Sảd ụ n g c ô n g c ụ J -cănv J scănđ e n g h i ê n c u c a u t r ú c c ủ a m ® t s o lớpcácnảavànhvàthietlpm®tvàiketquảquantrong liênquanđencănJacobsontronglýthuyetvànhchotrườnghợpnảavành (2) Thiet l p moi quan hgiǎaJ-căn vàJs-căn m®t so lớp nảa vành(qua trả lời m®t phan Bài tốn [26, Problem 1]) Mơ tả m®t so lớp nảa vànhmànólàV-nảa vànht rái (phải) J snảađơn(quađó trả lờim®tpha nBà i tốn[1,Problem1]) (3) Nghiên cáu van đe liên quan đen lớp nảa vành như: Đe xuatkháinimnảavànhconchap nh n đ c trưng lớp theo khái ni mnảa vành chap nh n đong cau, xây dựng lớp tà m®t lớp chotrướccácnảavànhvànghiêncáutínhdi truyencủalớpcăncácnảavành Mncđ í c h n g h i ê n c fí u Mơ tả đay đủ cau trúc nảa vànhJ-nảa đơn ho cJs-nảa đơn thiet l pm®t vài ket quan liên quan đen Jacobson lý thuyet vànhcho trường hợp nảa vành So sánh Js-căn Nil lớp nảa vành cóđơn vị giao hốn phi khả đoi Thiet l p đieu ki n can đủ đe J-căn vàJs-căntrùng lớp nảa vành nảa đơn, lớp nảa vành c®ng π-chính quy,lớp nảa vành phản bị ch n lớp V-nảa vành Mơ tả m®t so lớp nảavànhm n ó l V - n ả a v n h t r i ( p h ả i ) J snảađ n Đ ct r n g l p c ă n c ủ a n ả a vànhtheokháinimnảavànhconchapnhnđược,xâydựnglớp căndướicủam®t lớp nảa vành thiet l p đieu ki n can đủ đe lớp m®tlớpchínhquycácnảavànhlàditruyen Đoitưngvàphạmvinghiêncfíu 3.1 Đoitưngnghiêncfíu: - J-căn,J s-căncủanảavành - Lớpcăncủanảavành 3.2 Phạmvinghiêncfíu: Đạisokethợp.Lýthuyetnảavànhvànảamơđun Phươngphápnghiêncfíu - Phương pháp nghiên cáu tốn lý thuyet phương pháp đ c thù lýthuyetnảavànhvànảamôđun - Sả dụng công cụ như:J-căn,Js-căn lớp đe nghiên cáu cau trúccácnảavànhvàcácvanđeliênquan Ýnghĩakhoahocvàthfictien Mô tả đay đủ cau trúc nảa vành c®ng π-chính quyJ-nảa đơn Cháng tỏ sựton nảa mơđun trái đơn lớp nảa vành c®ng lũy đȁng, cháng minh Js-căn trùng với Nil lớp nảa vành có đơn vị giao hốn phi khả đoi,thiet l p m®t ket tương tự Snapper ve Jacobson vành đa tháctrong lý thuyet vành cho trường hợp nảa vành có đơn vị giao hốn phi khả đoivàchom®t mơtả đa yđủ cautrú c cácnảa vành cóđơnvịgiaohố n phikh ảđoiJ snảađơn Trả lờ i m®tp n cácB it oán [26,P r oblem 1] [1, Pr ob lem 1] Đ c trưnglớpcăncủacácnảavànhtheonảavànhconchapnhnđượcvàđong cau Xây dựng lớp m®t lớp nảa vành, m®t lớp nảavành đóng đong cau Thiet l p đieu ki n can đủ đe lớp m®t lớpchính quy nảa vành di truyen Cháng tỏ lớp m®t lớp chínhquycácnảavànhcóđơnvịlnditruyen Tongquanvàcautrúccủalunán Chương1 KIENTHỨCCHUAN B±VENỬAVÀNH VÀNỬAMÔĐUN Trongc h n g n y , s ả d ụ n g c c t i l i uthamkhảo[9],[13], [ ] v [ ] đe trình bày lại m®t so khái ni m tính chat liên quan đen nảa vành nảamơđun.Đieunàylàcanthietđetrìnhbàycácchươngchínhcủalunán(Chương2vàChư ơng3).N®idungchươngnàyđượcchialàmbontietgom:Nảa vànhvànảamơđun; Quan htương đȁng, nảa vành thương nảa mơđun thương;Đongcaunảavànhvàđongcaunảamơđun;KetlunChương1 1.1 Nfiavànhvànfia mơđun Tiet chúng tơi trình bày lại m®t so khái ni m cho ví dụ liên quannảa vành nảa mơđun như: Khái ni m nảa vành, nảa vành con, iđêan, nảamôđun,nảamôđuncon, 1.2 Quanht n g đang,nfiavànhthươngvànfiamôđunthương tiet này, giới thi u lại khái ni m tương đȁng nảa vành vànảa môđun, cách xây dựng nảa vành thương nảa mơđun thương Ngồi ra,chúngtơichom®tvàivídụvà nhnxétchocáckháinimnày 1.3 Đongcaunfiavành vàđongcaunfia mơđun Trong tiet này, chúng tơi trình bày lại m®t so khái ni m ket liên quanđen đong cau nảa vành nảa môđun Chúng cho ví dụ nh n xét đenh n thay khác bi t đong cau nảa vành nảa môđun với đong cau vànhvàmôđun 1.4 KetlunChương1 Chương2 VECĂNJACOBSON,JS-CĂNCỦANỬAVÀNH Trong chương này, sả dụng Jacobson ( J-căn) vàJs-căn đe mơ tả cautrúc nảa vành c®ng π-chính quy, nảa vành có đơn vị giao hốn phi khả đoi.Đ c bi t, nghiên cáu moi quan hgiǎa Jacobson Js-căn trênlớp nảa vành nảa đơn, lớp nảa vành c®ng π-chính quy, lớp nảa vànhphảnbịchnArtintráivàlớpcácV-nảavànhtráiArtintrái;nghiêncáumoiquan hgiǎaJs-căn Nil lớp nảa vành có đơn vị giao hốn phikhảđoi.Mơtảm®tsolớpcácnảavànhmànólàV-nảavànhtrái(phải)Js-nảađơn Thiet l p ket tương tự định lý Hopkins ve Jacobson lũylinhvàđịnhlýcủaSnappervecănJacobsoncủavànhđatháctronglýthuyetvành cho trườnghợpnảavành.N®idungchươngnàyđượcchialàmnămtietgom: Ve Jacobson nảa vành, VeJs-căn nảa vành, Ve moi quan hgiǎa Jacobson vàJs-căn nảa vành, Ve V-nảa vành trái (phải) Js-nảađơn Ket lu n Chương Các ket chương tríchtàcácketquảtrongcácbàibáo[53], [43],[44]và[45] 2.1 Vec ă n J a c o b s o n c ủ a n fi a v n h Năm1951,Bourne[9]sảdụnglớpcáciđêannảachínhquym®tphíađeđịnhnghĩacănJac obsoncủacácnảavành Địnhnghĩa2.1.1.([9,Definition3])ChoRlàm®tnảavànhvàIlàm®tiđêan phải củaR IđêanIđược goi làiđêan nủa quy phảicủaRneu vớimoicpi1,i2∈Ith ìtontại j 1,j2∈Isaocho: i1+ j1+ i1j1+ i2j2= i2+ j2+ i1j2+ i2j1 Iđêan nủa quy tráicủa nảa vành định nghĩa tương tự M®t iđêancủa nảa vành goi làiđêan nủa quyneu vàa iđêan nảa chínhquytráivàalànảachính quyphải Địnhnghĩa 2.1.4.([9,Definition4vàTheorem4])ChoRlàm®tnảavành 2.2 VeJ s-căncủanfiavành Trước tiên, giới thi u lại khái ni m nảa môđun trái đơn m®tnảa vành Khái ni m c mđt so nhúm tỏc gi nghiờn cỏu thigianganõynh:Zumbrăagel[65],Izhakian-Rh odesSteinberg[24],Kendziorra- Zumbragel[32],Katsov-Nam[26],Katsov-NamZumbrăagel[29],Kepka-Nemec [30]vKepka-Kortelainen-Nemec[31] nhngha 2.2.1.([65, Definition 3.7] ho c [26, p 5074]) Cho Rlà m®tnảa vành M®tR-nảa mơđun tráiMđược goi làđơnneu đieu ki n sau đượcthỏamãn: (1)RM/ =0; (2) Ml cựctieu; (3) Mchỉcót ươngđ ȁng t amt hường Ví dn 2.2.3.(1) Tà Nh n xét 2.2.2(2), neuRlà m®t vành khái ni mRnảa mơđuntrái đơn trùng với khái ni m R-mơđun trái đơn lý thuyetvành (2) ChoRlàm®tnảavànhngunphikhảđoi.Khiđó,Blàm ® t R -nảamôđun trái đơn.Th tvy, ánh xạf:R −→Bxác định bởif(0) = 0vàf(x) = 1vớimoi0=/ x∈R,làm®tnảađȁngcaucácnảavành.VìBlàB-nảamơđuntráiđơn nê n B cũnglà R nảamôđ un t rái đơn v ới phép nhân vôhướngx ác đị nh bởi:V ới moi r ∈R,moib ∈B rb:= f(r)b (3) Cho( M, +,0)làm ® t v ị n h ó m g i a o h o n v E n d (M)làn ả a v n h t ự đ o n g cau(xemVídụ1.1.2(6)) Khi đó,Mlà m®tEnd(M)-nảa mơđun trái với phépnhânvơhướngxácđịnhbởi:Vớimoi m∈M,moi f∈End(M) fm :=f(m) Theo[ , P r o p o s i ti o n ] , n e u ( M, +,0)là m ® t v ị n h ó m k h c k h ô n g g i a o h o n lũyđȁngthì Ml m®t End(M)nảamơđuntráiđơn TàN h nx é t ( ) , t o n t i n ả a m ô đ u n t r i c ự c ti e u n h n g k h ô n g đ n Tuy nhiên, m nh đe rang có the tạo nảa mơđun tráiđơntànảamơđuntráicựctieu Mnhđ e Cho R l m® t n ủ a v n h v M l R -nủam ô đ u n t r i c ự c tieu.K h i đ ó , t o n t i m ® tt n g đ ȁ n g c ự c đ i ρ trênM s a o c h o M : = M /ρ ρ l R-nủamơđuntráiđơn Kháinimnảamơđuntráiđơntrênm®tnảavànhđượcm®tsonhàtốnhocquant â m n g h i ê n c u N ă m 1 , I z h a k i a n - R h o d e s - S t e i n b e r g đ ã m ô t ả t a t c ả lớp nảa mơđun trái đơn m®t i so na nhúm hu hn ly ng BS(Slmđtnanhúmhuhn) [24,Theorem4.4].Nm2013,Kendziorra-Zumbrăagelch ton nảa môđun trái đơn lớp cỏc na vnh cú n v hu hncđnglyng[32,Pro position2.17].Nm2014,Katsov-NamZumbrăagelchraluụntontinamụuntrỏintrờnlpcỏcnavnhaychcútng ngtam thường vớiRR/= 0[29, Proposition 4.5] Tiep theo, cháng minhluônton nảa môđun trái đơn lớp nảa vành có đơn vị c®ng lũyđȁng Địnhlj2.2.5.ChoRlà m®t nủa vành có đơn v đó,tontạim®t R -nủamơđuntráiđơn c®ng lũy đȁng Khi Năm 2014, Katsov-Nam [26] sả dụng lớp nảa môđun trái đơn nảavànhRđ e địnhnghĩa J s-căncủanảavành R Địnhnghĩa2.2.7 ([26,p.5076])Cho R làm®tnảavành (1) Iđêan l pJs(R) :=∩{(0:M)R|M∈JJ}của nảa vànhR, đóJJlà lớptat nảa mơđun tráiđơntrên nảa vànhR,đượcgoi làJsJ căncủanảavành R Neu J =∅thìquyước J s(R)=R (2) Nảavà nh R đ ợ c go il J s-nủađ n n e u J s(R)=0 Theo [21, Theorem 2],J(I)=I∩J(R)với moi iđêanIcủa nảa vànhR Tieptheo,chúngtơichángminhm®tketquảtươngtựnhưvy đoivới J s-căn Mnhđe2.2.10.GiảsủIlàm®tiđêancủanủavànhR.Khiđó, Js(I)=I∩Js(R) Phanti ep t heo, c h ú n g t ôi mô tả J scăncủa nả a v n h có đ n vị g i a o h ố n phikhảđoitheophantảlũylinhcủanó Nhac lại rang,căn Nilcủa nảa vành có đơn vịRlà giao tat iđêannguyênt o c ủ a R ,k í h i u N i l (R) [13,p ] K í hiu P r (R)và P r m(R)lanl ợ t l tptatcảcáciđêannguyêntovàiđêannguyêntocực tieu nảa vành có đơnvịR TheoMnhđe1.1.11và[13,Proposition7.28],neu R lànảavànhcóđơnvị g i a o h o n t h ì N i l (R)=∩P∈Pr(R)P= ∩P∈Prm(R)P= {r∈R| ∃n≥1:r n= 0} Mnhđe2.2.11.NeuR làm®tnủavànhcóđơnvg i a o hốnthì Nil(R)⊆Js(R) Địnhlj2.2.12.Cho R làm®tnủavànhcóđơnvgiaohốnphikhảđoi Khiđ ó , J s(R)=Nil(R) Trong lý thuyet vành, Snapper tínhđược Jacobson vành đa tháctrên vành có đơn vị giao hốn sau [36, Theorem 5.1]: Giả sả Rlà m®t vànhcóđơnvịgiaohốnvàR[x]làm®tvànhđatháctrênR.Khiđó, J(R[x])=N il(R[x])=N il(R)[x] Ápd ụ n g Đ ị n h l ý , c h ú n g t ô i t h i e t l pm ® t k e t q u ả t n g t ự đ ị n h l ý củaSnapperchotrườnghợpnảavànhđatháctrênnảavànhcóđơnvịgiaohốnphikhảđoi Hquả 2.2.15.Giả sủRlà m®t nủa vành có đơn v giao hốn phi khả đoivàR[x]lànủavànhđathúctrênR.Khiđó,J s (R[x])=N il(R[x])=N il(R)[x] KatsovNamc h o m ® t m ô t ả đ a y đ ủ c a u t r ú c c c n ả a v n h c ® n g l ũ y đ ȁ n g hǎu hạnJsnảa đơn [26, Theorem 3.11] Áp dụng Định lý 2.2.12, chúng tơi chom®t mơ tả đay đủ cau trúc nảa vành có đơn vị giao hốn phi khả đoi Js-nảađơn Hquả2.2.18.ChoRlàm®tnủavànhcóđơnvgiaohốnphikhảđoi Khiđó,cácđieukinsauđâylàtươngđương: (1) RlàJs-nủađơn; (2) Rlàtựadương; (3) Rn ủ a đ ȁ n g c a u v i m ® t tí c h t r ự c ti e p c o n c ủ a c c t h n g n g u y ê n c ự c đạic ủ a n ó 2.3 Vem o i q u a n h g i fi a c ă n J a c o b s o n v J scănc ủ a nfiavành Tietn y c h ú n g t ô i t h i e t l pđ i e u k i nc a n v đ ủ đ e J -cănt r ù n g v i J scntrờnmđtsolpcỏcnavnh.CỏcketqunytrlimđtphanBitoỏn[26,Problem1] ã Trctiờn,trờnlpcỏcnavnhnan Định nghĩa 2.3.1.([27, p 417]) M®t nảa vành có đơn vị Rđược goi lànủađơn tráineu nảa môđun tráiRRlà tőng trực tiep iđêan trái cực tieucủaR Địnhl j Cho R l m® tn ủ a v n h n ủ a đ ơn tr i K h i đ ó, J s(R)=J(R) neuv c h í n e u Z (R)=0 ã Trờn lp cỏc na vnh cđng π-chính quy Nảa vành c®ngπ-chính quy đãđược đe c p Định nghĩa 2.1.12 M nh đe sau m®t mở r®ng [26,Proposition4.8]củaKatsov-Nam Mnhđ e Neu R l nủavà nh c®ng π -chínhquythì J s(R)⊆J(R) Địnhl j Cho R l m ®t n ủ a v àn h c ®n g π -chínhq uy Kh i ú, J s(R)= J(R)neuvchớneu R lmđtvnh tãTrờnlpcỏcnavnhphnbchn.Cho Rl m®tnảavànhcóđơnvị P(R):=V(R)∪{1+r| r∈R} Dedàngt hayrang P (R)làm®tnảavànhconcủa R Địnhnghĩa2.3.7.( [ , p ] ) M ® t n ả a v n h c ó đ n v ị R đ ợ c g o i l phảnb c h ¾ n n e u P (R) =R Địnhl j Neu R l mđ tna v nh phnbchắnt h ỡ J s(R)J(R) nhl j 2.3.11.Cho R l mđtnavnhphnb chắnArtin trỏi.Khiú, Js(R)=J(R)neuvchớn eu R l mđtvnh Artintrỏi ã VtrờnlpcỏcV-navnhtrỏi nh ngha 2.3.12.([20, p 222]) (1) M®t nảa vành có đơn vịRđược goilàV-nủavànhtrái(phải)neumoiRnảamơđuntrái(phải)chỉcótươngđȁngtamthườnglàn®ixạ (2) M®tR-nảa mơđun tráiMđược goi làmớ r®ng cot yeucủa m®t nảamơđunc o n L n e u v i m o i đ o n g c a u γ : M − → Ncủac c R nảam ô đ u n t r i t h ì cácđongcauγivàγđongthờin®ixạ,trongđói:L>Mlàm®tphép nhúng Mnhđ e Neu R l m ® t V - n ủ a v n h t r i t h ì J s(R)⊆J(R) Địnhl j Cho R l m ® t V - n ủ a v n h t r i A r ti n t r i K h i đ ó , J s(R)= J(R)neuvàchíneu R làm®tV-vànhtrái 2.4 VeV-nfiavànhtrái(phải) J s-nfiađơn Tiet chúng tơi mơ tả m®t so lớp nảa vành mà V-nảa vành trái(phải)J s-nảađơn.Cácketquảnàytrảlờim®tphanBàitốn[1,Problem1] Trong[35,Theorem3.75]đãkhȁngđịnhrang:TatcảV-vànhtrái(phải)RđeulàJnảađơn,táclàcócănJacobsonbangkhơng.Tuynhiên,đieunàykhơngđúng đoi với V-nảa vành trái(phải) trường hợp chung Chȁng hạn,nảa trường BooleanBlà m®t V-nảa vành trái (phải) J(B) =B Hơn nǎa, [1,Theorem 3.14] rang: M®t V-nảa vành trái (phải) RlàJ-nảa đơn neu vàchỉ neuRlà m®t V-vành trái (phải) Tuy nhiên, ket không đoivớiJs-căn Chȁng hạn, nảa vành chia th t Dlà m®t V-nảa vành trái (phải) Jsnảađơn.Đelàmsángtỏđieunàym®tvanđeđtranhưsau[1,Problem1]:Mơtảtatcảcác V-nảavànhtrái(phải) J s-nảađơn Trước tiên, chúng tơi cho m®t mơ tả đay đủ cau trúc nảa vành nảa đơnmànólàV-nảa vànhtrái(phải) J s-nảađơn Địnhl j 2.4.1.Cho R l m ® t n ủ a v n h n ủ a đ n K h i đóc c đ ie u k i nsauđâ ylàtư ngđươ ng: (1) RlV-navnhtrỏi(phi) J s-nan; (2) R=Mn1(D1)ì ìMnr(Dr),trongúD1, ,Drlcỏcvnhchiahoắccỏcna vnhchiacđnghỳtthắts Tieptheo,chỳngtụixộttrờnlpcỏcnavnhchcútngngtamthng,nav nhđ ơn Địnhlj2.4.5.ChoR làm®tnủavànhcóđơnv.Neum®ttrongcácđieukinsauđ ượcthóamãnthì R làm®tV-nủavànhtrái(phải) J s-nủađơn (1) Rl m ® t n ủ a v n h đ n v i m ® t p h a n t ủ v ô h n ; (2) Rlmđtnavnhcụlắptrỏi(phi)Artintrỏi(phi)chớcútngngtamt h n g Cuoicùng,chúngtơixéttrênlớpcácnảavànhc®nghútphảnbịch n Địnhlj2.4.7.NeuRlà m®t nủa vành c®ng hút phản bchắn thỡRl mđtVnavnhtrỏi(ph i) J s-nan 2.5 KetlunChng2 (1) Mơ tả đay đủ lớp nảa vành c®ng π-chính quyJ-nảa đơn (Định lý2.1.14) Ngồi ra, cháng minh m®t ket tương tự Hopkins ve cănJacobson lũy linh lý thuyet vành cho trường hợp nảa vành c®ng giản ước(Địnhlý2.1.18) (2) Cháng tỏ ton nảa môđun trái đơn nảa vành c®ng lũy đȁng(Địnhl ý ) , v c h n g m i n h J scănt r ù n g v i c ă n N i l t r ê n l p c c n ả a v n h cóđ n v ị g i a o h o n p h i k h ả đ o i ( Đ ị n h l ý ) T k e t q u ả n y , c h ú n g t i nhnđượcm®tketquảtươngt ựcủaSnappervecănJacobsoncủavànhđatháctronglýthuyetvànhchotrườnghợpnảavànhcóđơnvị giaohốnphikhảđoi(Hquả 2.2.15), cho m®t mơ tả đay đủ lớp nảa vành có đơn vị giao hốnphikhảđoi J s-nảađơn(Hq u ả 2.2.18) (3) Thiet l p m®t đieu ki n can đủ đe J-căn vàJs-căn trùng nhautrênlớpcácnảavànhnảađơn(Địnhlý2.3.4),lớpcácnảavànhc®ngπ-chínhquy (M nh đe 2.3.5, Định lý 2.3.6), lớp nảa vành phản bị ch n Artin trái(Địnhlý2 10, Địnhlý2.3 11)vàlớp cácVnảavànhtráiArtintrái(M nhđe2.3.14,Địnhlý2.3.16).Cácketquảnàytrảlờim® tphanchobàitốn[26,Problem1] (4) Mơ tả đay đủ lớp nảa vành nảa đơn mà V-nảa vành trái (phải)Js-nảa đơn (Định lý 2.4.1) Ngồi ra, mơ tả m®t so lớp nảa vành mà làV-nảa vành trái (phải)Js-nảa đơn gom: Lớp nảa vành đơn với phan tả vơhạnhoclớpcácnảavànhcơlptrái(phải)Artintrái(phải)chỉcótươngđȁngtam thường (Định lý 2.4.5), lớp nảa vành c®ng hút phản bị ch n (Định lý2.4.7).Cácketquảnàytrảlờim®tphanchobàitốn[1,Problem1] (5) N®i dung chương viet dựa ket trongcácbàibáo[53],[43],[44] và[45] Chương3 VECÁCLPCĂNCỦANỬAVÀNH Trong Chương3, tiep tục the hi n ý tưởng dùng công cụ (ởđây lớp theo quan điem Kurosh-Amitsur mà cụ thenhưtrongChương2)đenghiêncáucautrúccácnảavành.Chúngtôinhnlạiđược khái ni mJ-căn vàJs-căn nảa vành thông qua khái ni m lớp căncủanảavành.Đexuatkháinimnảavànhconchapnhnđược(tươngtựkháini m vànhconchapnhnđược)đeđctrưnglớpcăncủacácnảavành,xâydựng lớp m®t lớp nảa vành (nói riêng, xây dựng lớp dướicủam®tlớpcácnảavànhđóngđongcau),thietlpđieukincanvàđủđelớpcăntrê ncủam®tlớpchínhquycácnảavànhlàditruyen,chángminhlớpcăntrêncủam®tlớ pchínhquycácnảavànhcóđơnvịlnditruyen.Cácketquảchínhtrongchươngnàyđư ợctríchtàcácketquảtrongcácbàibáo[54]và[22] 3.1 Đ c trưng l p nfia vành theo nfia vành conchapnhnđưc Trongti et n y , ch ú n g t ô i t r ì n h b y lạ ik h i n i ml p că n , t oá nt ả că n , l p nảađơncủanảavànhvàm®tvàiketquảliênquanđencáckháinimnày.Ngồira,chúngtơicho ví dụ ve lớp cănJvàJsmà chúng có phép lay tươngáng làJ-căn vàJs-căn Chương Cuoi cùng, đe xuat khái ni m nảa vànhcon chap nh n đ c trưng lớp nảa vành theo nảa vành chapnhnđượcvàđongcaunảavành Địnhn g h ĩ a ( [ ] h o c[ , p ] ) M ® t l p c o n k h c r o n g R c ủ a m®t lớp phő dụngUcác nảa vành goi làlớp căncủaUneuRthỏa mãnhaiđieukinsau: (1) Rđóngđo ngcau; (2) VớimoiS∈U\ RluôntontạiiđêancôlpthtsựKc ủ a S s a o chonảavànhthươngS/ Kkhơngcóiđêankháckhơngthu®cR,táclà I(S/K)∩R={0} Vídn3.1.2.CholớpphődụngUgomtatcảcácnảavành (1) ĐtR :={R∈ U|Rl m®tvành }.Khiđó,Rlàm®t lớp căncủa U (2) M®tnảavànhSđượcgoilànủac h í n h q u y p h ả i n e u v i m o i s , t ∈ Sluônt on t i x , y∈ St h ỏ a m ã n s +x+sx+ty=t+y+sy+tx.Kh i đ ó, l p c o n J:= {S∈ U|Sl nảavànhnảachínhquyphải },làm®tlớpcăncủaU Tieptheo,chúngtơitrìnhbàylạim®tđctrưngcủalớpcănmànócanthietchophans au Địnhl j 3.1.3 ( [47, Theorem3.2]) M ®tl p c o n R l p p h ő d ự n g U làm®tlớpcăncủaU neuvàchíneuRthóamãn2đieukinsau: (1) NeuS ∈ Rthìmoi A /=0là ảnhđong caucủa S l u ô n t ont ại B iđêancủaAsaochoB∈R; 0là (2) NeuS ∈ Uvà m o i A 0là ảnhđongc aucủa S l u ô n t ont ại B /=0là iđêancủaAsaochoB∈RthìS∈R Vídn3.1.8.CholớpphődụngUgomtatcảcácnảavành VớimoiR∈ U,kíhiuΣR:={R M∈|R M||M làRnảamơđuntráiđơn},Σ :=∪R∈UΣRvàF(Σ) :={R∈U|ΣRcó cháa m®tR-nảa mơđun trái đơn trungthành} Khi đó, theo [26, Proposition 3.1], ta có F(Σ)là lớp quy Tà [26,Proposition3.5vàTheorem3.2],lớp Js:= {R∈ U|J s(R)=R} làm®tlớpcăncủaUvàJ s= UF(Σ) Vídn3.1.12.CholớpphődụngUgomtatcảcácnảavành (1) Theo Ví dụ 3.1.2(2), lớp conJ={S∈U|Slà nảa vành nảa quyphải}làm®tlớpcăncủaU.Khiđó,theoĐịnhlý3.1.11,Jcăncủanảavành S∈Ulà hợp tat iđêan phải nảa chínhquy phải củaSvà iđêannảach ín h q u y phải S Do đó,t àĐ ịnhn gh ĩa 2.1.4, Q J(S)=J(S) (2) TheoVídụ3.1.8,lớpconJ s= {R∈ U|Js(R)=R}làm®tlớpcăncủa U Khi đó, theo [26, Theorem 3.3],Js-căn củaSlà giao tat linh hóa tảcủacác S -nảamơđuntráiđơn.Dođó, Q Js(S)=Js(S)vớimoi S∈ U Kháin i mn ả a v n h c o n c h a p n h nđ ợ c l m ® t k h i n i mt n g t ự k h i nimvànhconchapnhnđượctronglýthuyetvành[11,p.43] Định nghĩa 3.1.15.M®t nảa vành conScủa nảa vànhRđược goi làchapnh¾nđược,n e u t o n t i m ® t d ã y h ǎ u h n S 1,S2, ,Sncácn ả a v n h c o n c ủ a R saocho S=S1aS2a aSn=R,