Tương đương morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TSKH NGUYỄN XUÂN TUYẾN PGS TS NGÔ SỸ TÙNG VINH - 2011 i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mở đầu Lý chọn đề tài 1 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu 4 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án 7.2 Cấu trúc luận án Chương TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA 11 1.1 Kiến thức chuẩn bị 11 1.2 1.3 Vật sinh xạ ảnh Tương đương Morita 18 26 1.4 Kết luận Chương 33 Chương BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP DỤNG 35 2.1 Nửa vành tự đồng cấu vị nhóm giao hốn lũy đẳng 35 2.2 Bất biến Morita 43 2.3 Áp dụng 50 2.4 Kết luận Chương 55 ii Chương TÍNH ĐƠN CỦA MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH 56 3.1 Nửa vành thứ tự dàn 56 3.2 Nửa vành nửa đơn cô lập 61 3.3 Nửa vành đầy đủ khơng có tương đẳng không tầm thường 68 3.4 Kết luận Chương 82 Chương ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA NỬA VÀNH 83 4.1 Nửa vành nửa đơn nửa vành cô lập 83 4.2 Nửa vành nửa đơn cộng quy 95 4.3 Kết luận Chương 101 Kết luận Luận án 102 Các cơng trình liên quan đến Luận án 103 Tài liệu tham khảo 104 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình khác Trần Giang Nam iv Lời cảm ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc đầy trách nhiệm PGS TSKH Nguyễn Xuân Tuyến PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến với thầy Nguyễn Xuân Tuyến thầy Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS Yefim Katsov, Department of Mathematics and Computer Science Hanover College, Hanover, IN 47243-0890, USA cộng tác viết báo chung giúp đỡ to lớn trao đổi tài liệu, thảo luận tốn có liên quan Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS Jens Zumbrăagel, Claude Shannon Institute, University College Dublin, Ireland cộng tác viết báo chung Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS TSKH Ngô Việt Trung, GS TSKH Nguyễn Tự Cường, GS TSKH Lê Tuấn Hoa PGS TSKH Phùng Hồ Hải, tạo điều kiện cho tác giả học tập viện Toán học Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán học Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình làm nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Đồng Tháp nói chung Khoa Tốn học - Trường Đại học Đồng Tháp nói riêng, nơi tác giả công tác giảng dạy từ năm 2007 tới Tác giả xin gửi lời cảm ơn giúp đở bạn, anh Seminar Lý thuyết vành môđun Trường Đại học Vinh, PGS TS Ngô Sỹ Tùng chủ trì Tác giả xin chân thành cảm ơn tất bạn bè thân hữu động viên khích lệ tác giả học tập hồn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến Bố, Mẹ, hai em người thân minh yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm lo chu tác giả an tâm học tập nghiên cứu Trần Giang Nam Mở đầu Lý chọn đề tài Khái niệm nửa vành giới thiệu Vandiver [52] vào nằm 1934, tổng qt hóa khái niệm vành khơng giao hốn theo nghĩa khơng địi hỏi tính đối xứng phép cộng Kể từ đó, nửa vành quan tâm nghiên cứu phương diện lý thuyết lẫn áp dụng Nhiều tính chất áp dụng nửa vành trình bày số tài liệu [17], [18], [21] Luận án quan tâm đến khái niệm nửa vành tổng quát hóa khái niệm vành có đơn vị khơng giao hốn theo nghĩa nói Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng tốn học người ta tìm cách đưa đối tượng khác dễ nghiên cứu đối tượng Chẳng hạn, để nghiên cứu hình hình học người ta thường cắt chúng siêu phẳng nghiên cứu siêu diện Điều tiến hành cách tương tự cho nửa vành, siêu phẳng thay quan hệ tương đẳng siêu diện nửa vành thương tương ứng Với nửa vành R, tồn tương đẳng ρ R cho nửa vành thương R/ρ tương đẳng khơng tầm thường (hoặc tương đẳng-đơn); nghĩa là, R/ρ có hai tương đẳng tầm thường Do đó, theo nghĩa đó, nghiên cứu nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường giúp ta hiểu phần cấu trúc nửa vành R Lưu ý với tương đẳng ρ nửa vành R, lớp tương đương 0ρ phần tử theo quan hệ ρ, iđêan R; ngược lại, với iđêan I R, cảm sinh tương đẳng Bourne ≡I R Nói cách khác, ta có hai tương ứng ρ −→ 0ρ I −→ ≡I ánh xạ từ tập tương đẳng R đến tập iđêan R ngược lại Từ đây, theo nghĩa đó, ta hiểu nửa vành khơng có tương đẳng không tầm thường R thông qua việc nghiên cứu dàn iđêan nó; chẳng hạn, R vành, hai ánh xạ song ánh (chúng ánh xạ ngược nhau), đó, vành R khơng có tương đẳng khơng tầm thường và R hai iđêan (khi đó, R gọi vành đơn) Khẳng định nói chung khơng cịn cho nửa vành Vì thế, nửa vành chứa iđêan tầm thường, gọi khơng có iđêan không tầm thường, iđêan-đơn Cấu trúc nửa vành giao hốn khơng có tương đẳng iđêan không tầm thường mô tả Cụ thể, năm 1988, Sidney S Mitchell - Paul B Fenoglio chứng minh nửa vành giao hốn khơng có tương đẳng khơng tầm thường trường, nửa vành Boole B := {0, 1} ([44, Theorem 3.2]); dễ dàng thấy nửa vành giao hốn khơng có iđêan khơng tầm thường nửa trường Gần đây, năm 2001, R El Bashir - J Hurt - A Janˇcaˇrík - T Kepka mở rộng hai kết cho nửa vành giao hoán khơng địi hỏi phần tử khơng phần tử đơn vị (xem [4, Theorem 10.1 Theorem 11.2]) Xin nói thêm, tính khơng có tương đẳng, iđêan khơng tầm thường nửa vành giao hốn khơng địi hỏi phần tử khơng phần tử đơn vị cịn quan tâm số tác giả, chẳng hạn [26], [27], [29], [28], Việc nghiên cứu cấu trúc nửa vành khơng giao hốn khơng có tương đẳng iđêan khơng tầm thường khó khăn Đối với nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường, năm 2004, C Monico mô tả nửa vành (khơng địi hỏi phải chứa phần tử khơng đơn vị) hữu hạn khơng có tương đẳng khơng tầm thường (xem [45, Theorem 4.1]); mô tả khơng đầy đủ Sau đó, năm 2008, J Zumbragel phân loại nửa vành (khơng địi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn khơng có tương đẳng không tầm thường (xem [56, Theorem 1.7]) Hơn nữa, nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường nghiên cứu số tác giả, chẳng hạn, [5], [14], [15], [25], Tuy nhiên, việc mơ tả cách đầy đủ nửa vành khơng có tương đẳng không tầm thường chưa làm Đối với nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường, năm 1957, Bourne Zassenhaus mô tả cấu trúc nửa vành nửa đơn khơng có iđêan khơng tầm thường khơng chứa iđêan phía lũy linh khác không; cụ thể hơn, nửa vành nửa vành ma trận nửa thể (xem [8, Theorem 1]) Năm 1967, Steinfeld - Wiegandt [57] kết cho nửa vành nửa đơn khơng có iđêan khơng tầm thường Sau đó, năm 1977, Stone [48] mở rộng kết cho nửa vành mà nhúng vào vành Năm 1984, Weinert nghiên cứu tính khơng có iđêan khơng tầm thường cho nửa vành ma trận ([55, Theorem 4.1]) nửa vành nửa nhóm ([55, Theorem 4.3]) Khái niệm nửa vành mà Weinert xem xét khơng địi hỏi phần tử đơn vị Tính đến thời điểm tại, việc phân loại nửa vành iđêan khơng tầm thường câu hỏi mở Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học người ta cố gắng hiểu cách tác động lên đối tượng khác Nói cách khác, hiểu đối tượng tốn học nhờ vào phạm trù biểu diễn Lý thuyết biểu diễn (lý thuyết mơđun) nhóm, vành đại số soi sáng nhiều thơng tin cấu trúc chúng Việc dùng phạm trù biểu diễn thích hợp để đặc trưng cấu trúc nửa vành nghiên cứu số nhà toán học T S Fofanova, E B Katsov, Y Katsov, M Takahashi, H J Weinert, Phạm trù biểu diễn nửa vành gọi phạm trù nửa môđun Cũng giống trường hợp vành (xem [42]), vị nhóm (xem [39]), dàn phân phối (xem [16]), khái niệm nửa môđun thường sử dụng để đặc trưng nửa vành xạ ảnh, phẳng nội xạ Ở khái niệm nửa môđun xạ ảnh nội xạ định nghĩa theo cách thơng thường, cịn nửa môđun trái G gọi phẳng (đơn-phẳng) hàm tử − ⊗R G bảo toàn giới hạn ngược hữu hạn (bảo tồn tính đơn cấu đồng cấu) Mọi nửa môđun xạ ảnh phẳng; chiều ngược lại không Năm 2002, O Sokratova tính xạ ảnh tính phẳng nửa mơđun nửa vành giao hốn cộng lũy đẳng phân biệt (xem [47, Theorem 3.4]) Năm 2004, Katsov mở rộng kết cho nửa vành cộng quy sau: Nếu R nửa vành cộng quy cho tồn đồng cấu nửa vành từ R lên B, tính xạ ảnh tính phẳng nửa mơđun R phân biệt (xem [33, Theorem 5.11]); hệ rút từ khẳng định là: tính xạ ảnh tính phẳng nửa mơđun nửa vành giao hốn cộng quy R tương đương R vành hoàn chỉnh (xem [33, Corollary 5.12]) Đồng thời, Y Katsov phát biểu giả thuyết đây: Giả thuyết ([33, Conjecture]) Tính xạ ảnh tính phẳng nửa môđun nửa vành cộng quy R tương đương R vành hoàn chỉnh Đối với nửa mơđun, tính phẳng suy tính đơn-phẳng, chiều ngược lại nói chung khơng Năm 1978, Bulman-Fleming McDonwell B-nửa môđun trái A phẳng A đơn-phẳng, và A nửa dàn phân phối (xem [10, Theorem 3.1]) Năm 1986, E B Katsov mở rộng kết cho nửa môđun Đại số Boole hữu hạn (xem [59, Theorem 2]) Gần nhất, năm 2004, Y Katsov chứng minh khẳng định cịn nửa mơđun Đại số Boole (xem [32, Theorem 3.2]) Đồng thời, Y Katsov nêu toán sau: Bài tốn ([32, Problem 3.9]) Mơ tả lớp nửa vành cho tính phẳng tính đơn-phẳng nửa mơđun chúng tương đương Tính đến thời điểm này, giả thuyết toán nêu chưa có lời giải Mặt khác, việc dùng nửa môđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành quan tâm (xem [1], [23], [30]), nhận kết đáng ý sau: năm 1994, H Wang nửa môđun nửa vành cộng lũy đẳng nhúng vào nửa môđun nội xạ ([53, Theorem]) Năm 1997, Y Katsov mở rộng kết cho nửa vành cộng quy ([30, Theorem 4.2]) Năm 2008, S N Il’in chứng minh nửa vành thỏa mãn điều kiện Baer nửa mơđun nhúng vào nửa môđun nội xạ vành ([23, Theorem 3]) Cuối cùng, J Ahsan - M Shabir - H J Weinert [1] đặc trưng nửa vành quy von Neumann thơng qua nửa mơđun cyclic p-nội xạ Nói chung, kết theo hướng cịn Với lí nêu trên, chọn đề tài “Tương đương Morita cho nửa vành đặc trưng số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ Những vấn đề sau đề tập trung nghiên cứu: (1) Mơ tả cấu trúc nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường nửa vành khơng có iđêan không tầm thường; (2) Dùng nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa đơn, đặc biệt hướng đến giải giả thuyết tốn nêu Y Katsov Mục đích nghiên cứu Mục đích Luận án đặc trưng tính đơn, khơng có tương đẳng khơng tầm thường khơng có iđêan khơng tầm thường cho lớp nửa vành chứa iđêan phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành lập phía, nửa vành đầy đủ nửa vành thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết ([33, Conjecture]) toán ([32, Problem 3.9]) nêu Y Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng quy Đối tượng nghiên cứu Nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường, nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường, nửa vành đơn nửa vành nửa đơn Phạm vi nghiên cứu Đại số kết hợp Lý thuyết nửa vành nửa môđun Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tương đương Morita để nghiên cứu vấn đề đặt Luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn Mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành Mô tả cấu trúc nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường, nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường, nửa vành đơn nửa vành nửa đơn cho số lớp nửa vành 94 trái Cho K iđêan trái R g : M −→ R/K R-đồng cấu Ta cần tìm R-đồng cấu h : M −→ R cho πh = g, π : R −→ R/K phép chiếu tắc Thật vậy, K = {0}, R/K ∼ = R; đó, ta chọn h = g Nếu K = R K = {0, 1} R/K = {0} Do đó, g = ta chọn h = Vậy, M R-xạ ảnh ổn định (ii) Chúng ta thay điều kiện (iii) bổ đề điều kiện “Mọi R-nửa môđun trái R-nội xạ” Thật vậy, xét nửa vành giao hoán R := {0, 1, b} với bảng cộng bảng nhân sau: + b 0 b 1 b b b b · b 0 b 1 b b b b Khi đó, iđêan trái (phải) R {0}, R {0, b} Dễ thấy chúng iđêan lập Do đó, R nửa vành lập trái phải Rõ ràng R không nửa đơn Tuy nhiên, R thỏa mãn điều kiện vừa nêu Cho M R-nửa môđun trái Cho K iđêan trái R g : K −→ M R-đồng cấu Ta cần tìm R-đồng cấu h : R −→ M cho h|K = g Thật vậy, K = {0} K = R ta chọn h = h = g, cách tương ứng Trường hợp K = {0, b} Gọi α : R −→ K R-đồng cấu xác định α(x) = xb, với x ∈ R Khi đó, h := gα đồng cấu cần tìm Vậy, M R-nội xạ Dùng Bổ đề 4.1.8 Định lý 4.1.6, cho phép ta tổng quát đặc trưng vành nửa đơn (xem, chẳng hạn, [11, Theorem 1.4.2]) cho nửa vành cô lập Định lý 4.1.10 Với nửa vành cô lập trái R, phát biểu sau tương đương: (i) R vành nửa đơn; (ii) Mọi R-nửa môđun trái xạ ảnh; (iii) Mọi R-nửa môđun trái nội xạ ổn định Chứng minh (i)=⇒(ii) (i)=⇒(iii) suy từ [11, Theorem 1.4.2] 95 (ii)=⇒(i) Trước hết, nửa môđun xạ ảnh xạ ảnh ổn định, nên theo Bổ đề 4.1.9, ta suy R nửa vành nửa đơn Áp dụng Định lý 4.1.6, ta nhận R vành nửa đơn (iii) =⇒(i) suy từ Bổ đề 4.1.9 Định lý 4.1.6 4.2 Nửa vành nửa đơn cộng quy Trong tiết này, Luận án mơ tả lớp nửa vành nửa đơn cộng quy mà tính phẳng tính xạ ảnh, tính phẳng tính đơn-phẳng nửa mơđun tương đương Theo [18, p 143], nửa vành R cộng quy (additively regular) (R, +, 0) vị nhóm quy; nghĩa là, với r ∈ R, tồn r ∈ R cho r + r + r = r Hiển nhiên, vành nửa vành cộng lũy đẳng nửa vành cộng quy Chúng ta biết tiết trước nửa môđun xạ ảnh phẳng Chiều ngược lại không Cụ thể hơn, năm 2002, O Sokratova tính xạ ảnh tính phẳng nửa mơđun nửa vành giao hốn cộng lũy đẳng phân biệt (xem [47, Theorem 3.4]) Năm 2004, Y Katsov mở rộng kết cho nửa vành cộng quy sau: Nếu R nửa vành cộng quy cho tồn đồng cấu nửa vành từ R lên B, tính xạ ảnh tính phẳng nửa môđun R phân biệt (xem [33, Theorem 5.11]); hệ rút từ khẳng định là: tính xạ ảnh tính phẳng nửa mơđun nửa vành giao hốn cộng quy R tương đương R vành hoàn chỉnh (xem [33, Corollary 5.12]) Đồng thời, Ơng cịn nêu giả thuyết rằng: tính xạ ảnh tính phẳng nửa mơđun nửa vành cộng quy R tương đương R vành hoàn chỉnh (xem [33, Conjecture]) Định lý cho thấy giả thuyết cho nửa vành nửa đơn cộng quy Định lý 4.2.1 Với nửa vành nửa đơn cộng quy R, phát biểu sau tương đương: 96 (i) Mọi R-nửa môđun trái phẳng xạ ảnh; (ii) R vành nửa đơn Chứng minh (i)=⇒(ii) Trước tiên, theo Định lý 2.1.5, ta suy R ∼ = Mn1 (D1 ) × · · · × Mnr (Dr ), với r, n1 , , nr số nguyên dương D1 , , Dr nửa thể Nếu R khơng phải vành tồn i ∈ {1, 2, , r} cho Di nửa thể thực Theo [18, Proposition 4.34], D phi đối xứng Khi đó, tồn toàn cấu nửa vành θ : D −→ B xác định bởi: θ(0) = θ(x) = với = x ∈ D Vì R cộng quy nên, Di cộng quy Áp dụng [33, Theorem 5.11], tồn Di -nửa môđun trái phẳng không xạ ảnh M Do Di tương đương Morita với Mn1 (Di ) nên theo Định lý 1.3.12, tồn tương đương phạm trù F : Mni (Di ) M Di M Mni (Di ) M : G phạm trù Di M Áp dụng Bổ đề 1.3.10 Bổ đề 4.1.4, F (M ) Mni (Di )-nửa môđun trái phẳng không xạ ảnh Cho π : R −→ Mni (Di ) phép chiếu tắc từ R lên Mni (Di ), π # : Mni (Di ) M −→ R M, π# : R M −→ Mni (Di ) M hàm tử hạn chế hàm tử mở rộng, cách tương ứng Dùng [33, Proposition 4.6] ta suy F (M ) ∼ = π# π # (F (M )) Mni (Di ) M Theo [33, Proposition 4.2], hàm tử π# bảo tồn tính xạ ảnh nửa mơđun Do đó, R-nửa mơđun trái π # (F (M )) khơng xạ ảnh Mặt khác, F (M ) Mni (Di )-nửa môđun trái phẳng [32, Corollary 2.7 Theorem 2.10], nên F (M ) giới hạn trực tiếp họ Mni (Di )-nửa mơđun trái xạ ảnh hữu hạn sinh Áp dụng [32, Proposition 4.5], hàm tử π # bảo tồn tính xạ ảnh nửa mơđun Hơn nữa, dễ thấy hàm tử π # bảo toàn giới hạn trực tiếp Các đạt π # (F (M )) giới hạn trực tiếp họ R-nửa mơđun trái xạ ảnh hữu hạn sinh Do đó, theo [32, Corollary 2.7 Theorem 2.10], π # (F (M )) R-nửa môđun phẳng Như vậy, π # (F (M )) R-nửa môđun phẳng không xạ ảnh Điều mâu thuẫn với giả thiết (i) Vậy, R phải vành nửa đơn 97 (ii)=⇒(i) suy từ [42, Theorem 2.8] Tiết trước thấy nửa môđun phẳng đơn-phẳng Chiều ngược lại không Năm 1978, Bulman-Fleming McDonwell B-nửa môđun trái A phẳng A đơn-phẳng, và A nửa dàn phân phối theo nghĩa: ∀ a, b, c ∈ A(a ≤ b ∨ c =⇒ ∃ b , c ∈ A(b ≤ b, c ≤ c a = b ∨ c )) (xem [10, Theorem 3.1]) Lưu ý với dàn, tính phân phối theo nghĩa dàn tương đương với tính phân phối theo nghĩa nửa dàn ([10, p 229]) Năm 1986, E B Katsov mở rộng kết cho nửa môđun Đại số Boole hữu hạn (xem [59, Theorem 2]) Gần nhất, năm 2004, Y Katsov chứng minh khẳng định cịn nửa mơđun Đại số Boole ([32, Theorem 3.2]) Đồng thời, Y Katsov nêu tốn: Mơ tả lớp nửa vành cho tính phẳng tính đơn-phẳng nửa môđun chúng tương đương ([32, Problem 3.9]) Trong phần lại tiết chúng tơi trả lời tốn cho lớp nửa vành nửa đơn cộng quy Để làm điều ta phải thiết lập số bổ đề sau Bổ đề sau lời giải tốn cho nửa mơđun nửa thể cộng quy Bổ đề 4.2.2 Với nửa thể cộng quy D, điều kiện sau tương đương: (i) Mọi D-nửa môđun trái đơn-phẳng phẳng; (ii) D thể, D ∼ = B Chứng minh (i) =⇒ (ii) Vì D nửa thể nên theo [18, Proposition 4.34], D thể, phi đối xứng Xét trường hợp D phi đối xứng Theo giả thiết, tồn ∈ D cho + + = 1; đó, + = (1 + ) + (1 + ) Vì D phi đối xứng, nên + = Từ suy + = 1, hay, D cộng lũy đẳng Xem xét phạm trù D M D-nửa môđun trái Trong trường hợp M phạm trù vị nhóm giao hốn lũy đẳng; nói cách khác, M = BM = MB = S0 98 Giả sử |D| > Trước hết, tồn toàn cấu nửa vành π : D −→ B xác định bởi: π(0) = π(x) = với = x ∈ D Theo [22, Corollary 2.9] [19, Exercise 3.12], B ∈ |M| = |B M| = |MB | vật nội xạ phạm trù M thỏa mãn điều kiện: g1 , g2 : X −→ Y hai đồng cấu phân biệt phạm trù M, tồn đồng cấu f : Y −→ B cho f g1 = f g2 Dễ thấy D-nửa môđun phải M(π # (B), B) ∼ = π # (B) ∈ |MD |; dùng [49, Theorems 2, 6] ta suy M(π # (B), B) D-nửa môđun phải nội xạ Từ điều [30, Theorem 3.9] suy π # (B) D-nửa môđun trái đơn-phẳng Tuy nhiên, π # (B) không phẳng Thật vật, cho a b hai phần tử phân biệt, khác không D, xét hai α tự đẳng cấu phân biệt DD ⇒ DD D-nửa môđun DD , xác định β α(1D ) = a β(1D ) = b Khi đó, hai sơ đồ giao hốn sau {0} −→ DD DD ⊗D π # (B) = π # (B) ↓ ↓ α 1π# (B) ↓ DD −→ DD DD ⊗D π # (B) = π # (B) β 1π# (B) −→ −→ 1π# (B) DD ⊗D π # (B) = π # (B) ↓ 1π# (B) DD ⊗D π # (B) = π # (B) níu phạm trù MD M, cách tương ứng Do đó, hàm tử −⊗D π # (B) : MD −→ M không bảo tồn níu; thế, π # (B) khơng phải phẳng Điều mâu thuẫn với giả thiết cho Như vậy, |D| = 2, hay, π đẳng cấu nửa vành (ii) =⇒ (i) Nếu D ∼ = B khẳng định suy từ [32, Theorem 3.2] Nếu D thể kết hiển nhiên Bổ đề 4.2.3 Cho π : R −→ S đồng cấu nửa vành Khi đó, điều kiện sau đúng: (i) Nếu R M ∈ |R M| đơn phẳng π # (SS ) ⊗R M ∈ |S M| đơn-phẳng; (ii) Nếu π # (S S) ∈ |R M| đơn-phẳng SN ∈ |S M| đơn-phẳng, π # (S N ) ∈ |R M| đơn-phẳng Chứng minh (i) Theo Mệnh đề 1.1.10, ta có A ⊗S (π # (SS ) ⊗R M ) ∼ = (A ⊗S π # (SS )) ⊗R M = π # (A ⊗S S) ⊗R M ∼ = π # (A) ⊗R M , 99 với S-nửa môđun phải A ∈ |MS | Do đó, R M đơn-phẳng, nên ta thu µ ⊗S 1π# (S)⊗R M : A ⊗S (π # (SS ) ⊗R M ) −→ B ⊗S (π # (SS ) ⊗R M ) đơn cấu, với đơn cấu µ : AS −→ BS Vậy, π # (SS ) ⊗R M ∈ |S M| đơn-phẳng (ii) Áp dụng Mệnh đề 1.1.10, ta A ⊗R π # (S N ) ∼ = A ⊗R π # (SS ⊗S N ) = A ⊗R (π # (SS ) ⊗R π # (S N )) ∼ = A ⊗R (SS ⊗S N ) ∼ = (A ⊗R π # (S S)) ⊗S N với R-nửa môđun phải A ∈ |MR | Do đó, π # (S S) ∈ |R M| S N ∈ |S M| đơn-phẳng, nên ta nhận µ ⊗R 1π# (S N ) : A ⊗R π # (S N ) −→ B ⊗R π # (S N ) đơn cấu, với đơn cấu µ : AR −→ BR Vậy, π # (S N ) ∈ |R M| đơn-phẳng Định lý sau đưa câu trả lời cho toán nêu Katsov ([32, Problem 3.9]) nửa vành nửa đơn cộng quy Định lý 4.2.4 Với nửa vành nửa đơn cộng quy R, điều kiện sau tương đương: (i) Mọi R-nửa môđun trái đơn-phẳng phẳng; (ii) R ∼ = Mn1 (D1 ) × · · · × Mnr (Dr ), D1 , , Dr thể, nửa vành Boole B Chứng minh Trước tiên, theo Định lý 2.1.5, ta suy R ∼ = Mn1 (D1 ) × · · · × Mnr (Dr ), với r, n1 , , nr số nguyên dương D1 , , Dr nửa thể Vì R cộng quy nên Di (i) =⇒ (ii) Theo [18, Proposition 4.34], Di thể, phi đối xứng Giả sử Di phi đối xứng |Di | > Áp dụng Bổ đề 4.2.2, tồn Di nửa môđun trái đơn-phẳng không phẳng M Do Di tương đương Morita 100 với Mn1 (Di ) nên theo Định lý 1.3.12, tồn tương đương phạm trù F : Di M Mni (Di ) M : G phạm trù Di M Mni (Di ) M Áp dụng Bổ đề 4.1.4, F (M ) Mni (Di )-nửa môđun trái đơn-phẳng không phẳng Cho π : R −→ Mni (Di ) phép chiếu tắc từ R lên Mni (Di ), π # : Mni (Di ) M −→ R M, π# : R M −→ Mni (Di ) M hàm tử hạn chế hàm tử mở rộng, cách tương ứng Theo [33, Proposition 4.2 Proposition 4.6], ta suy R-nửa môđun π # (F (M )) ∈ |R M| không phẳng Dễ thấy π # (Mni (Di )) ∈ |R M| xạ ảnh; đó, theo [32, Prposition 2.1 Proposition 2.6], π # (Mni (Di )) ∈ |R M| đơn-phẳng Theo Bổ đề 4.2.3, π # (F (M )) ∈ |R M| đơn-phẳng Điều mâu thuẫn với giả thiết cho Vậy, Di phải thể, B (ii) =⇒ (i) Cho A R-nửa mơđun trái đơn-phẳng Khi đó, ta có A∼ = R ⊗R A ∼ = (Mn (D1 ) × · · · × Mn (Dr )) ⊗R A r ∼ = (Mn1 (D1 ) ⊗R A) ⊕ · · · ⊕ (Mnr (Dr ) ⊗R A) Theo Bổ đề 4.2.3, Mni (Di ) ⊗R A Mni (Di )-nửa mơđun trái đơn-phẳng; đó, Di tương đương Morita với Mn1 (Di ) theo Bổ đề 4.1.4, Bổ đề 4.2.2, nên Mni (Di ) ⊗R A Mni (Di )-nửa môđun trái phẳng, với i = 1, 2, r Cho π : R −→ Mni (Di ) phép chiếu tắc từ R lên Mni (Di ), π # : Mni (Di ) M −→ R M, π# : R M −→ Mni (Di ) M hàm tử hạn chế hàm tử mở rộng, cách tương ứng Do Mni (Di ), i = 1, 2, r, iđêan R, nên dễ thấy XR ∼ = XMn1 (D1 ) ⊕ · · · ⊕ XMnr (Dr ), đó, X ⊗R πi# (A ⊗R Mni (Di )) # ∼ = (XMn1 (D1 ) ⊕ · · · ⊕ XMnr (Dr )) ⊗R πi (A ⊗R Mni (Di )) # ∼ = XMn (Di ) ⊗R π (A ⊗R Mn (Di )) i i i ∼ = XMni (Di ) ⊗Mni (Di ) (A ⊗R Mni (Di )), với XR ∈ |MR | Từ đạt này, áp dụng [32, Proposition 2.1 Proposition 2.6] [33, Proposition 4.5], ta suy Mni (Di ) ⊗R A, i = 1, 2, r, R-nửa mơđun trái phẳng; đó, A R-nửa mơđun trái phẳng 101 4.3 Kết luận Chương Trong chương này, Luận án giải vấn đề sau - Giới thiệu khái niệm nửa môđun nội xạ ổn định chứng minh tính xạ ảnh, nội xạ, nội xạ ổn định, phẳng đơn-phẳng bảo toàn qua phép tương đương phạm trù phạm trù nửa môđun (Bổ đề 4.1.3 Bổ đề 4.1.4) Thiết lập số đặc trưng nửa thể thông qua nửa môđun nêu (Bổ đề 4.1.5 Bổ đề 4.2.2) Áp dụng kết Định lý 1.3.12, Luận án đặc trưng nửa vành nửa đơn nửa vành nửa đơn cô lập (Định lý 4.1.6, Bổ đề 4.1.8 Định lý 4.1.10) dựa vào khái niệm nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh, nửa môđun nội xạ - Mô tả nửa vành nửa đơn cộng quy mà tính phẳng tính xạ ảnh nửa mơđun tương đương (Định lý 4.2.1), tính phẳng tính đơn-phẳng nửa môđun tương đương (Định lý 4.2.4) - Nội dung chương viết dựa hai báo [34] [36] 102 Kết luận Luận án Luận án thu kết sau Nghiên cứu, mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành Chứng minh tính khơng có tương đẳng khơng tầm thường, khơng có iđêan khơng tầm thường đơn nửa vành bảo toàn qua tương đương Morita Ứng dụng kết này, Luận án đưa cấu trúc nửa vành đơn chứa iđêan trái (phải) tối tiểu xạ ảnh, đặc biệt cấu trúc nửa vành đơn hữu hạn Mô tả cấu trúc nửa vành nửa đơn cô lập trái (phải) Ứng dụng kết này, Luận án mô tả cấu trúc nửa vành Artin trái lập trái khơng có iđêan không tầm thường nửa vành Artin trái cô lập trái khơng có tương đẳng khơng tầm thường Đồng thời, Luận án mô tả cấu trúc nửa vành đầy đủ khơng có tương đẳng khơng tầm thường , nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường thứ tự dàn, nửa vành Artin trái (phải) xích khơng có iđêan khơng tầm thường nửa vành đơn chứa phần tử vô Đưa biểu diễn cho nửa vành khơng có iđêan khơng tầm chứa iđêan trái (phải) tối tiểu xạ ảnh nửa vành iđêan tầm thường chứa phần tử vơ Dùng công cụ tương đương Morita cho nửa vành, Luận án đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua lớp nửa môđun xạ ảnh hữu hạn, nội xạ hữu hạn, phẳng hữu hạn, đơn-phẳng hữu hạn, đặc trưng nửa vành nửa đơn cô lập trái (phải) thông qua nửa môđun xạ ảnh ổn định nội xạ ổn định, mô tả cấu trúc nửa vành nửa đơn cộng quy mà tính phẳng tính xạ ảnh, tính phẳng tính đơn-phẳng nửa mơđun tương đương 103 Các cơng trình liên quan đến Luận án Y Katsov, T G Nam, N X Tuyen (2009), On subtractive semisimple semirings, Algebra Colloquium, 16, 415-426 Y Katsov, T G Nam, N X Tuyen, More on Subtractive Semirings: Simpleness, Perfectness and Related Problems, Communications in Algebra (accepted) Y Katsov and T G Nam (2011), Morita Equivalence and Homological Characterization of Semirings, Journal of Algebra and Its Applications, 10, 449–473 Y Katsov, T G Nam and J Zumbragel, On Simpleness of Semirings and Complete Semirings (submitted) Các kết Luận án báo cáo tại: - Các Xemina tổ Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh - Hội nghị nghiên cứu sinh Trường Đại học Vinh, 12/2010 - Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ, Huế, 12/2009 - Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ, Vinh, 12/2007 104 Tài liệu tham khảo tiếng anh [1] J Ahsan, M Shabir, H J Weinert (1998), Characterizations of semirings by P -injective and projective semimodules, Comm Algebra, 26, 2199–2209 [2] H M J Al-Thani (1996), k-projective semimodules, Kobe J Math., 13, 49–59 [3] F.W Anderson and K.R Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York-Berlin [4] R El Bashir, J Hurt, A Janˇcaˇrík, and T Kepka (2001), Simple Commutative Semirings, J Algebra, 236, 277–306 [5] R El Bashir, T Kepka (2007), Congruence-Simple Semirings, Semigroup Forum, 75, 588–608 [6] G Birkhoff (1967), Lattice Theory, American Mathematical Society, Providence [7] F Borceux (1994), Handbook of categorical algebra Basic category theory Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50 Cambridge University Press, Cambridge [8] S Bourne, H Zassenhaus (1957), On a Wedderburn-Artin structure theory of a potent semiring, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 43, 613–615 [9] G Bruns and H Lakser (1970), Injective hulls of semilattices, Canad Math Bull., 13, 115– 118 [10] S Bulman-Fleming and K McDonwell (1978), Flat semilattices, Proc Amer Math Soc., 72, 228– 232 105 [11] H Cartan, S Eilenberg (1999), Homological algebra With an appendix by David A Buchsbaum, Reprint of the 1956 original Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, Princeton, NJ [12] S Eilenberg (1960), Abstract description of some basic functors, J Indian Math Soc (N.S.), 24, 231–234 [13] C Faith (1981), Algebra I: Rings, Modules, and Categories, Springer-Verlag, New York-Berlin ˇ [14] V Flaˇska, T Kepka, J Saroch (2005), Bi-deal-simple semirings, Comment Math Univ Carolin., 46, 391–397 [15] V Flaˇska (2009), One very particular example of a congruence-simple semirings, European Journal of Combinatorics, 30, 759–763 [16] T S Fofanova (1982), Polygons over distributive lattices, in B Csákány et al (eds.): Universal Algebra, Colloq Math Soc János Bolyai # 29, North Holland, Amsterdam [17] K Glazek (2002), A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Science, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London [18] J S Golan (1999), Semirings and their Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London [19] G Grăatzer (1979), Universal Algebra, 2nd Ed, Springer-Verlag, New YorkBerlin [20] U Hebisch, H J Weinert (1996), Semirings and semifields Handbook of algebra, Vol 1, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 425–462 [21] U Hebisch, H J Weinert (1998), Semirings: algebraic theory and applications in computer science, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ [22] A Horn and N Kimura (1971), The category of semilattices, Algebra Universalis, 1, 26–38 [23] Il’in, S N (2008), On the applicability to semirings of two theorems from the theory of rings and modules Mathematical Notes, 83, 492 – 499 106 [24] S N Il’in, Y Katsov (2011), On p-Schreier varieties of semimodules, Comm Algebra, 39, 1491 - 1501 [25] J Jeˇzek, T Kepka, M Maróti (2009), The endomorphism semiring of a semilattice, Semigroup Forum, 78, 21–26 [26] J Jeˇzek, T Kepka, Finitely generated commutative division semirings, Acta Univ Carolin (accepted) [27] J Jeˇzek, V Kala, T Kepka, Finitely generated algebraic structures with various divisibility conditions, Forum Mathematicum (accepted) [28] V Kala, T Kepka (2008), A note on finitely generated ideal-simple commutative semirings, Comment Math Univ Carolin., 49, 1–9 [29] V Kala, M Korbeláˇr (2010), Congruence-simple subsemirings of Q+ , Semigroup Forum, 81, 286–296 [30] Y Katsov (1997), Tensor products and injective enveloples of semimodules over additively regular semirings, Algebra Colloquium, 4(2), 121-131 [31] Y Katsov (2000), On diagrams and flatness of functors, J Pure Appl Algebra, 154, 247–256 [32] Y Katsov (2004), On flat semimodules over semirings, Algebra Universalis, 51, 287-299 [33] Y Katsov (2004), Toward homological characterization of semirings: Serre’s conjecture and Bass’s perfectness in a semiring context, Algebra Universalis, 52, 197-214 [34] Y Katsov, T G Nam, N X Tuyen (2009), On subtractive semisimple semirings, Algebra Colloquium, 16, 415-426 [35] Y Katsov, T G Nam, N X Tuyen, More on Subtractive Semirings: Simpleness, Perfectness and Related Problems, Communications in Algebra (accepted) [36] Y Katsov and T G Nam (2011), Morita Equivalence and Homological Characterization of Semirings, Journal of Algebra and Its Applications, 10, 449–473 107 [37] Y Katsov, T G Nam and J Zumbragel, On Simpleness of Semirings and Complete Semirings (submitted) [38] U Knauer (1972), Projectivity of acts and Morita equivalence of monoids, Semigroup Forum, 3, 359-370 [39] M Kilp, U Knauer and A V Mikhalev (2000), Monoids, Acts and Categories, Walter de Gruyter, Berlin-New York [40] U Knauer (2000), Non additive Morita theory A survey (167–180), in Yuri Bahturin (ed.): Algebra Proceedings of the International Algebraic Conference held on the occasion of the 90th birthday of A G Kurosh at Moscow State University, Moscow, May 25–30, 1998 Walter de Gruyter & Co., Berlin [41] T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, New York-Berlin [42] T Y Lam (2001), A first course in noncommutative rings, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York-Berlin [43] S MacLane (1971), Categories for the Working Mathematician, SpringerVerlag, New York-Berlin [44] Sidney S Mitchell and Paul B Fenoglio (1988), Congruence-free commutative semirings, Semigroup Forum, 37, 79–91 [45] C Monico (2004), On finite congruence-simple semirings, J Algebra, 271, 846–854 [46] H Schubert (1972), Categories, Springer-Verlag, New York-Heidelberg [47] O Sokratova (2002), On Semimodules over Commutative, Additively Idempotent Semirings, Semigroup Forum, 64, 1–11 [48] H E Stone (1977), Matrix representation of simple halprings, Trans Amer Math Soc., 34, 143–156 [49] M Takahashi, H Wang (1993), Injective semimodules over a 2-semiring, Kobe J Math., 10, 59–70 108 [50] N X Tuyen, H X Thang (2003), On superfluous subsemimodules, Georgian Math J., 10, 763–770 [51] Tuyen, Nguyen Xuan, Nam, Tran Giang (2007), On radicals of semirings, Southeast Asian Bull Math., 31, 131–140 [52] H S Vandiver (1934), Note on a simple type of algebra in which the cancellation law of addition does not hold, Bull Am Math Soc., 40, 194– 120 [53] H Wang (1994), Injective hull of semimodules over additively-idempotent semirings, Semigroup Forum, 48, 377–379 [54] C E.Watts (1960), Intrinsic characterizations of some additive functors, Proc Amer Math Soc., 11, 5–8 [55] H J Weinert (1984), On 0-Simple Semirings, Semigroup Semirings and Two Kinds of Division Semirings, Semigroup Forum, 28, 313333 [56] J Zumbrăagel (2008), Classification of finite congruence-simple semirings with zero, J Algebra Appl., 7, 363377 ting c ă [57] O Steinfeld, R Wiegandt (1967), Uber die Verallgemeinerungen und Analoga der Wedderburn-Artinschen und Noetherschen Struktursăatze, Math Nachr., 233, 339–353 tiếng nga [58] T S Fofanova (1972), Injectivity of polygons over Boolean algebras, Siberian Math J., 13, 452–458 (in Russian) [59] E B Katsov (1986), The Govorov-Lazard’s theorem for modules over finite Boolean algebras, Izvestiya Vuz Matematika, 30, 8–14 (in Russian) ... (PS ) nửa vành Hệ 1.3.4 Cho R nửa vành tương đương Morita với nửa vành S theo vật sinh xạ ảnh R P ∈ |R M| R M, nửa vành S tương đương Morita với nửa vành T theo vật sinh xạ ảnh SM đương Morita. .. khơng tầm thường, nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường, nửa vành đơn nửa vành nửa đơn cho số lớp nửa vành đặc biệt Đồng thời, trả lời giả thuyết toán nêu Y Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng quy... Wiegandt nửa vành nửa đơn ([57, Satz 6.2]), phân loại nửa vành nửa đơn lập phía Định lý 3.2.6 Với nửa vành R, phát biểu sau tương đương: (i) R nửa vành nửa đơn cô lập trái; (ii) R nửa vành nửa đơn