1.3. Phương Trình Đặc Trưng.docx

1 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG Bài 1 Cho dãy số  nu xác định bởi 1 2 2 11, 2, 2 , 1 n n nu u u u u n      Tìm 1lim n n n u u    Hướng dẫn giải Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không[.]

1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG Bài Cho dãy số  un  xác định u1 1, u2 2, un 2 un 1 un  2un 1 , n 1 Tìm n  un lim Hướng dẫn giải Dễ thấy dãy cho dãy số dương, khơng có số hạng dãy Từ công thức truy hồi un  u 2  n , n 1 un 1 dãy ta có un 1 Đặt  un 1 , n 1 v1 2, 1 2  , n 1 un , ta dãy số Dễ thấy dãy   dãy số dương 2, n 1 Do 1 5      1  , n 1 vn  vn 2 Vậy ta có  5 f  x  2  , x   2;  f '  x    0, x x   Ta có x Xét hàm số Do có hai dãy đơn điệu dãy v2 n b  lim v2 n 1   hai dãy bị chặn nên chúng có giới hạn Giả sử a nlim   n   ta có hệ   a 2  b  a b     ab 1 b 2   a  a b 1    a b 1   ab 1  Ta thấy có a b 1  thỏa mãn giới hạn cần tìm Bài Tìm số dãy số  un  un1  4un2  4un 0, n 1   u2004  thỏa mãn điều kiện:  Hướng dẫn giải  Viết lại Viết lại un 1 4un  – un   f  un  Nhận xét: Vì vậy: f  x    0;1  x   0;1 u2004 với f  x  4 x  – x     0;1  u2003   0;1  u2002   0;1  u1   0;1   u  1  Viết lại Với tồn :  a  u1 sin a 2 2 2 Lúc đó: u2 4 sin a(1 – sin a ) sin 2a ; u3 4sin 2a (1 – sin 2a ) sin 4a 1  cos(2n ) n u  sin (2 a )  n 2 Quy nạp ta được: u2004 1 1 2004   c os(2  )  2 2   cos(22004 ) 0  22004    k    2005 (2k  1), k  Z 2     1  2005 (2k  1)     k  2003  2 2 Vì  a  nên 2003 Do k  Z nên: k 0;1; 2; ; –1 Từ có tất 2003    u1 sin  2005 (2k  1)  , k  {0;1; ;22003  1} 2  giá trị u1 thỏa toán: 2003 u  Do có tất dãy số n thỏa điều kiện cho Bài Cho x1 , x2 , , xn , nghiệm dương phương trình tan x  x theo thứ tự tăng dần Tính lim  xn  xn   n   Hướng dẫn giải     x     k  ;  k  f '( x )   0   Ta có cos x Xét hàm số f ( x) tan x  x , với => f ( x) tăng từ   đến         k ;  k   phương trình tan x  x có nghiệm xk Suy ra: khoảng      yk    ;  lim yn  xk  yk  k với tan y  tan x  y  n    n   2   => n n n => lim  xn  xn   n   Bài = lim n    y n  n    yn    n  1    = lim    yn  yn    n   u1 2014  ( u ) u un2  (1  2a )un  a n 1, 2, n Cho dãy số xác định sau:  n 1 Tìm điều kiện a   để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có: un 1  un (un  a ) 0  un 1 un ; n 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn Giả sử tồn lim un L ( L  ) , chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un2  (1  2a )un  a ta có: L L2  (1  2a) L  a  L a * u  a un  a; n k nên L  a trái với kết lim un L a - Nếu có số k   mà k Do uk a đó: với k 1, 2, un2  (1  2a )un  a a, n 1, 2,3, hay nói u12  (1  2a)u1  a a  a  u1 a  a  2014 a từ ta 2014 a 2015 * Đảo lại: Nếu 2014 a 2015  a  u1 a  (u1  a  1)(u1  a ) 0  u12  (1  2a)u1  a  a 0  u2 a u1 u2  a  u2 a Bằng quy nạp ta chứng minh a  un a, n 1, 2, 3, (H/s trình bày ra) (un ) tăng, bị chặn bới a , dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Như dãy (u ) lim un a Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 dãy số n có giới hạn hữu hạn Bài Cho hai dãy số a1 2, b1 1 , an 1  Chứng minh  an   bn  xác định sau: 2an bn an  bn ; bn 1  an 1.bn , n 1, 2,  an   bn  có giới hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:   2n.sin n n  1 b  an  n    sin cos n sin 3 ; (2) 2n.sin Từ (1), (2) tồn lim an n   lim bn n     n   3 lim an lim n  n     sin cos n sin 3 Ngoài ra: 2n.sin lim bn lim an lim cos n  n  Vậy hai dãy Bài n   an  ,  bn   3  n 3 có giới hạn chung   x1    x  x  xn ; n 1 n 1 n n2 Cho dãy số (xn) thỏa mãn:  Chứng minh dãy số có giới hạn riêng Hướng dẫn giải *) Ta chứng minh xn  n  n  n  1 với n  (1) Thật vậy: n 1 Giả sử (1) với n k 1: xk  k  xk 1   k  1  xk   k  k  1 xk2 xk 2   k  1 x  k    k  1 2  k k = k  k  1 k  k  1  k   k  k  1   1   k  1   2 k     k  1  k   k    k  1  k    2  (đpcm) *) Ta chứng minh NX:  xn  tăng  xn  có giới hạn xn  với n 1 1  1            xn  x xn 1 xn  n n  n  1 x1 xn  n  với n  Ta có n Vậy  xn  Bài có giới hạn Tam giác mà đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , cho tam giác A1 B1C1 tam giác ABC cạnh với số nguyên n 2, tam giác n n n tam giác trung bình tam giác An  Bn  1Cn  Với số nguyên dương n , kí hiệu rn tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp Xây dựng dãy tam giác ABC r  tam giác n n n Chứng minh dãy số n cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát cấp số nhân đó? Hướng dẫn giải +  rn  cấp số nhân với công bội + Số hạng tổng quát: Bài Cho dãy số mà: rn   an  q 1 r1  số hạng đầu 3.2n  xác định bởi: bn an 1  an với n 1 a1 1 an 1 an  2n  với n 1 Xét dãy số  bn  a) Chứng minh dãy số cộng  bn  cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu công sai cấp số b  b) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng dãy số n theo N Từ đó, suy số hạng tổng quát dãy số  an  Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết  bn 2n    bn  cấp số cộng với số hạng đầu b1 1 công sai d 2 b  b) + Tổng N số hạng đầu dãy n là: S N N + Số hạng tổng quát dãy Bài Cho dãy số  un   an  là: an n  2n  u1  1, u2 2, u3 40  10un2 1.un   24un  1.un2  u  n 4,5, 6,  n un  un  xác định u Tìm số n nhỏ để n chia hết cho 2048 Hướng dẫn giải un 10un 1.un   24.un2 10un 24un  u     n un un  un un  , đặt un  , dãy ( ) Từ công thức truy hồi cuả dãy un  v2 2, v3 20  v 10vn   24vn  xác định  n , n 4,5, n n Phương trình đặc trưng : x  10 x  24 0 , từ suy : 6  un vn  1.vn  v2 2 ( n  1) n (3n   n  ).(3n   n  ) (3  2) n n n n Do (3  ).(3  ) (3  2) số số lẻ nên un 2048   n(n  1) 11  n 6 Vậy n 6 giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện toán ( n  1) n 2048