CHUYÊN ĐỀ: Một số phương pháp giải phương trình hàm

Phương trình hàm lĩnh vực toán không thuộc chương trình giáo dục không chuyên nhưng lại xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Nghiên cứu lĩnh vực toán học này đã và đang được các giáo viên thực hiện nhằm nâng cao hơn nữa kiến thức của mình. Vì lẽ đó tôi chọn đề tài này để nghiên cứu, trước hết là để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của trường, đặc biệt là làm tài liệu cho các em học sinh nghiên cứu, học tập.

Một số phương pháp giải phương trình hàm Giáo viên: Phan Quốc Quang Đơn vị: THPT Đăk Mil Báo cáo chuyên đề chuyên sâu cấp tỉnh lần thứ 9-2015 Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Giới thiệu Lý chọn đề tài Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Giới thiệu Lý chọn đề tài Phương trình hàm - lĩnh vực tốn khơng thuộc chương trình giáo dục khơng chun lại xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi cấp Nghiên cứu lĩnh vực toán học gáo viên thực nhằm nâng cao kiến thức Vì lẽ tơi chọn đề tài để nghên cứu, trước hết để bồi dương đội tuyển học sinh giỏi trường, đặc biệt làm tài liệu cho em học sinh nghiên cứu, học tập Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Giới thiệu Lý chọn đề tài Phương trình hàm - lĩnh vực tốn khơng thuộc chương trình giáo dục khơng chun lại xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi cấp Nghiên cứu lĩnh vực toán học gáo viên thực nhằm nâng cao kiến thức Vì lẽ chọn đề tài để nghên cứu, trước hết để bồi dương đội tuyển học sinh giỏi trường, đặc biệt làm tài liệu cho em học sinh nghiên cứu, học tập Nội dung tham luận giới thiệu phương pháp giải phương trình hàm thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp, tập hợp ví dụ, đề thi theo dạng Qua giúp học sinh hình thành kỹ giải dạng toán Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Giới thiệu Lý chọn đề tài Phương trình hàm - lĩnh vực tốn khơng thuộc chương trình giáo dục không chuyên lại xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi cấp Nghiên cứu lĩnh vực toán học gáo viên thực nhằm nâng cao kiến thức Vì lẽ tơi chọn đề tài để nghên cứu, trước hết để bồi dương đội tuyển học sinh giỏi trường, đặc biệt làm tài liệu cho em học sinh nghiên cứu, học tập Nội dung tham luận giới thiệu phương pháp giải phương trình hàm thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp, tập hợp ví dụ, đề thi theo dạng Qua giúp học sinh hình thành kỹ giải dạng toán Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Phương pháp biến Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Phương pháp biến Phương pháp quy nạp Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Phương pháp biến Phương pháp quy nạp Phương pháp sử dụng tính chất ánh xạ, hàm số Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Phương pháp biến Phương pháp quy nạp Phương pháp sử dụng tính chất ánh xạ, hàm số Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Ta chứng minh f đơn ánh; Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Ta chứng minh f đơn ánh; Cho m = n = 0, ta f (2f (0)) = 0, lại cho m = 2f (0) ta thu f (f (n)) = n + 2f (0) Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Ta chứng minh f đơn ánh; Cho m = n = 0, ta f (2f (0)) = 0, lại cho m = 2f (0) ta thu f (f (n)) = n + 2f (0) Tác động f vào vế (*) sử dụng kết ta f (f (f (n) + f (m))) = f (n) + f (m) + 2f (0) Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Ta chứng minh f đơn ánh; Cho m = n = 0, ta f (2f (0)) = 0, lại cho m = 2f (0) ta thu f (f (n)) = n + 2f (0) Tác động f vào vế (*) sử dụng kết ta f (f (f (n) + f (m))) = f (n) + f (m) + 2f (0) Ngoài từ đề ta có f (f (f (n) + f (m))) = f (n + m) Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Ta chứng minh f đơn ánh; Cho m = n = 0, ta f (2f (0)) = 0, lại cho m = 2f (0) ta thu f (f (n)) = n + 2f (0) Tác động f vào vế (*) sử dụng kết ta f (f (f (n) + f (m))) = f (n) + f (m) + 2f (0) Ngoài từ đề ta có f (f (f (n) + f (m))) = f (n + m) Từ ta có f (n) + f (m) + 2f (0) = f (n + m) Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Ta chứng minh f đơn ánh; Cho m = n = 0, ta f (2f (0)) = 0, lại cho m = 2f (0) ta thu f (f (n)) = n + 2f (0) Tác động f vào vế (*) sử dụng kết ta f (f (f (n) + f (m))) = f (n) + f (m) + 2f (0) Ngồi từ đề ta có f (f (f (n) + f (m))) = f (n + m) Từ ta có f (n) + f (m) + 2f (0) = f (n + m) Cho m = n = f (0) = 0, quan hệ hàm cộng tính Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Ta chứng minh f đơn ánh; Cho m = n = 0, ta f (2f (0)) = 0, lại cho m = 2f (0) ta thu f (f (n)) = n + 2f (0) Tác động f vào vế (*) sử dụng kết ta f (f (f (n) + f (m))) = f (n) + f (m) + 2f (0) Ngoài từ đề ta có f (f (f (n) + f (m))) = f (n + m) Từ ta có f (n) + f (m) + 2f (0) = f (n + m) Cho m = n = f (0) = 0, quan hệ hàm cộng tính Vậy f (n) = n, ∀n ∈ N Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Ví dụ (Đề nghị IOM 1998) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (m) + f (n)) = m + n, ∀m, n ∈ N (∗) Lời giải vắn tắt Ta chứng minh f đơn ánh; Cho m = n = 0, ta f (2f (0)) = 0, lại cho m = 2f (0) ta thu f (f (n)) = n + 2f (0) Tác động f vào vế (*) sử dụng kết ta f (f (f (n) + f (m))) = f (n) + f (m) + 2f (0) Ngoài từ đề ta có f (f (f (n) + f (m))) = f (n + m) Từ ta có f (n) + f (m) + 2f (0) = f (n + m) Cho m = n = f (0) = 0, quan hệ hàm cộng tính Vậy f (n) = n, ∀n ∈ N Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Sau ví dụ tương tự Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Sau ví dụ tương tự (TST 1988) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (n)) = n + 2; f (f (n + 1) + 1) = n + 4, ∀x ∈ N Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Sau ví dụ tương tự (TST 1988) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (n)) = n + 2; f (f (n + 1) + 1) = n + 4, ∀x ∈ N (Đăk Lăk 2009) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện sau f (x + f (y )) = x + f (y ) + xf (y ), ∀x, y ∈ R Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Sau ví dụ tương tự (TST 1988) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (n)) = n + 2; f (f (n + 1) + 1) = n + 4, ∀x ∈ N (Đăk Lăk 2009) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện sau f (x + f (y )) = x + f (y ) + xf (y ), ∀x, y ∈ R Đáp số f (x) = −1 Tìm tất hàm số f : Q → Q thỏa mãn điều kiện sau f (x + f (y )) = f (x) − y , ∀x, y ∈ Q Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Sau ví dụ tương tự (TST 1988) Tìm tất hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện f (f (n)) = n + 2; f (f (n + 1) + 1) = n + 4, ∀x ∈ N (Đăk Lăk 2009) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện sau f (x + f (y )) = x + f (y ) + xf (y ), ∀x, y ∈ R Đáp số f (x) = −1 Tìm tất hàm số f : Q → Q thỏa mãn điều kiện sau f (x + f (y )) = f (x) − y , ∀x, y ∈ Q Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm ... Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Phương pháp biến Phương pháp quy nạp Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương. .. pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Phương pháp. .. hàm số Phương pháp sử dụng liên tục hàm số Giáo viên: Phan Quốc Quang Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương pháp giải phương trình hàm có thể: Phương pháp biến Phương pháp quy nạp Phương