Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ nhữngbài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán nhưđịnh lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyênvẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học.Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát.Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp.Tôi xin giới thiệu chuyên đề “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên”. Trongquá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy tôi đã cố gắngrất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi. Vì vậy, tôi rất mong được sự đóng góp của các thầycô. Xin chân thành cảm ơn
THAM LUẬN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Người viết: Lê Thành Công – THPT Krông Nô Phương trình tốn với nghiệm ngun đề tài lý thú Số học Đại số, từ tốn tính loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến chuyên gia toán học lớn với toán định lý lớn Fecma Được nghiên cứu từ thời Điôphăng kỉ thứ III, phương trình nghiệm ngun đối tượng nghiên cứu tốn học Phương trình nghiệm ngun vơ đa dạng, thường khơng có quy tắc giải tổng quát Mỗi toán, với số liệu riêng nó, đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Tơi xin giới thiệu chuyên đề “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên” Trong trình biên soạn, sưu tầm tập hợp phương pháp ví dụ, tập, cố gắng nhiều thiếu sót điều khó tránh khỏi Vì vậy, tơi mong đóng góp thầy cô Xin chân thành cảm ơn! 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: a) x2 y 1998 b) x2 y 1999 Giải: a) Dễ chứng minh x , y chia cho có số dư nên x y chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1998 chia cho dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun b) x , y chia cho có số dư 0, nên x y chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình 9x y2 y Giải Biến đổi phương trình: x y ( y 1) Ta thấy vế trái phương trình số chia hết cho dư nên y ( y 1) chia cho dư Chỉ có thể: y 3k , y 3k với k nguyên Khi đó: x (3k 1)(3k 2) x 9k (k 1) x k (k 1) Thử lại, x k (k 1) , y 3k thỏa mãn phương trình cho x k (k 1) với k số nguyên tùy ý y 3k Đáp số 2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình dạng: vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 y x y (1) Giải: (1) x2 y x y 32 (4 x x 1) (4 y y 1) 34 | x 1|2 | y 1|2 32 52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tồng hai số phương 32 ,52 Do phương trình thỏa mãn hai khả năng: | x 1| | x 1| | y 1| | y 1| Giải hệ phương trình (1) có bốn nghiệm ngun là: (2 ; 3), (3 ; 2), ( ; 2), ( ; 1) 3) PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong giải phương trình nghiệm nguyên cần đánh giá miền giá trị biến, số giá trị mà biến số nhận khơng nhiều dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra Để đánh giá miền giá trị biến số cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … a) Phương pháp thứ tự ẩn Ví dụ 4: Tìm ba số ngun dương cho tổng chúng tích chúng Giải: Cách 1: Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Ta có: x y z x y.z (1) Chú ý ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn: x y z Do đó: xyz x y z 3z Chia hai vế bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta được: xy Do xy {1;2;3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = loại y z Vậy ba số phải tìm 1; 2; Cách 2: Chia hai vế (1) cho xyz được: 1 1 yz xz xy Giả sử x y z ta có 1 1 1 1 yz xz xy z z z z Suy z nên z = Thay z = vào (1): z x y xy xy x y x( y 1) ( y 1) ( x 1)( y 1) 2 Ta có x y nên Suy x y x–1 y–1 Ba số phải tìm 1; 2; Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau : 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt Giải Vì vai trò x, y, z, t nên giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t Khi : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 yzt 15 t 15 t Với t = ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 yz 30 2z 30 z Nếu z = 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 Dễ thấy phương trình có nghiệm (x = 35; y = 3) (x = 9; y = 5) Giải tương tự cho trường lại trường hợp t = Cuối ta tìm nghiệm nguyên dương phương trình cho (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị số b) Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 x y Giải: Do vai trò bình đẳng x y, giả sử x y Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ (là y) 1 Hiển nhiên ta có nên y (1) y 1 Mặt khác x y nên Do đó: x y 1 1 nên y (2) x y y y y Ta xác định khoảng giá tri y y 1 1 Với y = ta được: nên x = 12 x 12 1 Với y = ta được: loại x khơng số ngun x 15 1 1 Với y = ta được: nên x = x 6 Các nghiệm phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) c) Phương pháp nghiệm ngun Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên x cho: x 3x x Giải: Viết phương trình dạng: x x 3 (1) 1 5 5 Với x = vế trái (1) 2, loại Với x = vế trái (1) 1, x x 3 Với x , nên: 5 5 x x 3 loại 5 5 5 Nghiệm phương trình x = d) Sử dụng diều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (1) x y xy x2 y Giải Viết (1) thành phương trình bậc hai x: (2) x2 ( y 1) x ( y y) Điều kiện cần để (2) có nghiệm ( y 1)2 4( y y) 3 y y 3y2 y 3( y 1)2 Do ( y 1)2 suy ra: y–1 -1 y Với y = thay vào (2) x x x1 0; x2 Với y = thay vào (2) x x x3 0; x4 Với y = thay vào (2) x 3x x5 1; x6 Thử lại, giá trị nghiệm với phương trình (1) Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) 4) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt biến số biểu thức chứa phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản a) Phương pháp phát tính chia hết ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 Giải: Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình Ta thấy 159 2x chia hết 17y y ( 17 nguyên tố nhau) Đặt y = 3t ( t ) Thay vào phương trình ta được: 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 x 53 17t ( t ) y 3t Do đó: Đảo lại, thay biểu thức x y vào phương trình ta nghiệm Vậy phương trình (1) có vơ số nghiệm ngunđược xác định cơng thức: x 53 17t (t số nguyên tùy ý) y 3t Ví dụ 10: Chứng minh phương trình : x2 y 27 (1) khơng có nghiệm số ngun Giải Một số ngun x biểu diễn dạng x = 5k x = 5k ± x = 5k ± k Nếu x = 5k : (1) (5k )2 y 27 5(5k y ) 27 Điều vơ lí, vế trái chia hết cho với k y số nguyên, vế phải không chia hết cho Nếu x = 5k ± : (1) (5k 1)2 y 27 25k 10k y 27 5(5k 4k y ) 23 Điều vơ lí, vế trái chia hết cho với k y số nguyên, vế phải không chia hết cho Nếu x = 5k ± : (1) (5k 2)2 y 27 25k 20k y 27 5(5k 4k y ) 23 Lập luận tương tự trên, điều vơ lí Vậy phương trình cho khơng có nghiệm số ngun Ví dụ 11: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau : 19x2 + 28y2 = 729 Giải Cách Viết phương trình cho dạng (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 (1) Từ (1) suy x + y2 chia hết 3, x y chia hết cho Đặt x = 3u, y = 3v (u, v ) Thay vào phương trình cho ta : 19u2 + 28v2 = 81 (2) Từ (2) lập luận tương tự ta suy u = 3s, v = 3t ( s, t ) Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = (3) Từ (3) suy s, t không đồng thời 0, 19s2 + 28t2 ≥ 19 > Vậy (3) vơ nghiệm phương trình cho vơ nghiệm Cách Giả sử phương trình có nghiệm Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ -1 (mod 4), điều không xảy với số nguyên x Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) Phương pháp đưa phương trình ước số Ví dụ 12: Tìm nghiệm ngun phương trình: xy – x – y = Giải: Biến đổi phương trình thành: x(y – 1) – y = x(y – 1) – (y – 1) = (y – 1)(x – 1) = Ta gọi phương trình phương trình ước số: vế trái tích thừa số nguyên, vế phái số Ta có x y số nguyên nên x – y – số nguyên ước 23 Do vai trò bình đẳng x y phương trình nên giả sử x y, x – 1y – Ta có: x–1 -1 y–1 -3 Do đó: x y -2 Nghiệm nguyên phương trình: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0) Ví dụ 13: Tìm nghiệm ngun phương trình : x + xy + y = Giải Phương trình cho đưa dạng : (x + 1)(y + 1) = 10 (1) Từ (1) ta suy (x + 1) ước 10 hay ( x 1) {1; 2; 5; 10} Từ ta tìm nghiệm phương trình : (1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2) Ví dụ 14: Xác định tất cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau x 3367 2n Giải Để sử dụng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ta chứng minh n chia hết cho Từ phương trình cho ta suy x 2n (mod 7) Nếu n khơng chia hết cho 2n chia cho cho số dư 2, 7, x chia cho cho số dư 0, 1, nên khơng thề có đồng dư thức x 2n (mod 7) Vậy n = 3m với m số nguyên dương Thay vào phương trình cho ta x 3367 23m (1) (2m x)[(2m x)2 3x.2m ] 3367 m Từ (1) ta suy x ước 3367 Hơn nữa, (2m x)3 23m x3 3367 nên (2m x) {1;7;13} Xét 2m x , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 1) = × 561, vơ nghiệm Xét 2m x , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 13) = × 15, vơ nghiệm Xét 2m x , thay vào (1) ta suy 2m(2m – 7) = 24 × 32 Từ ta có m = 4; n = 3m = 12, x = Vậy (x; n) = (9; 12) c) Phương pháp tách giá trị ngun: Ví dụ 15: Giải phương trình ví dụ cách khác Giải: Biểu thị x theo y: x(y – 1) = y + Ta thấy y ( y = ta có 0x = vơ nghiệm) y y 1 3 Do đó: x 1 y 1 y 1 y 1 Do x số nguyên nên số nguyên, y – ước Lần lượt cho y – -1, 1, -3, y 1 ta đáp số ví dụ 5) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Sử dụng tính chất chia hết số phương Ví dụ 16: Tìm số ngun x để 9x + tích hai số nguyên liên tiếp Giải: Cách 1: Giải sử 9x + = n(n + 1) với n nguyên thì: 36x + 20 = 4n 4n 36 x 21 4n 4n 3(12 x 7) (2n 1)2 Số phương (2n 1)2 chia hết chia hết cho Ta lại có 12x + khơng chia hết 3(12x + 7) không chi hết cho Mâu thuẫn chứng tỏ không tồn số nguyên x để 9x + = n(n + 1) Cách 2: Giả sử 9x + = n(n + 1) với n nguyên Biến đổi n n x Để phương trình bậc hai n có nghiệm ngun, điều kiện cần là số phương Nhưng 4(9 x 5) 36 x 21 chi hết cho không chia hết hco nên khơng số phương Vậy khơng tồn số nguyên n để 9x + = n(n + 1), tức không tồn số nguyên x để 9x + tích hai số ngun liên tiếp b) Tạo bình phương đúng: Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 x 19 y Giải : x2 x 21 y 2( x 1)2 3(7 y ) Ta thấy 3(7 y ) y 2 y lẻ Ta lại có y nên y Khi (2) có dạng: 2( x 1)2 18 Ta được: x + = 3 , đó: x1 2; x2 4 Các cặp số (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (2) nên nghiệm phương trình cho c) Xét số phương liên tiếp: Ví dụ 18: Chứng minh với số nguyên k cho trước, không tồn t5ai số nguyên dương x cho: x( x 1) k (k 2) Giải: Giả sử x( x 1) k (k 2) với k nguyên, x nguyên dương Ta có: x x k 2k x2 x k 2k (k 1)2 Do x > nên x2 x2 x (k 1)2 (1) Cũng x > nên (2) (k 1)2 x2 x x2 x ( x 1)2 Từ (1) (2) suy ra: x2 (k 1)2 ( x 1)2 vô lý Vậy không tồn số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2) Ví dụ 19: Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương: x4 x3 x2 x Giải: Đặt x x x x = y (1) với y Ta thấy: y ( x x3 x ) ( x x 3) y ( x x)2 ( x x 3) Ta chứng minh a2 y (a 2)2 với a = x x Thật vậy: 11 y a x x ( x )2 2 2 (a 2) y ( x x 2) ( x x x x 3) 3x 3x 1 3( x )2 Do a2 y (a 2)2 nên y (a 1)2 x x x x ( x x 1)2 x2 x x x 2 Với x = x = -2 biểu thức cho 32 d) Sử dụng tính chất: hai số nguyên dương nguyên tố có tích số phương số đếu số phương Ví dụ 20: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: (1) xy z Giải: Trước hết ta giả sử (x , y , z) = Thật ba số xo , yo , zo thỏa mãn (1) có ƯCLN d, giả sử xo dx1, yo dy1, zo dz1 x1, y1, z1 nghiệm (1) Với (x , y , z) = x, y, z đơi ngun tố nhau, hai ba số x, y, z có ước chung d số lại chia hết cho d Ta có z xy mà (x, y) = nên x a2 , y b2 với a, b * Suy ra: z xy (ab)2 đó, z = ab x ta Như vậy: y tb2 với t số nguyên dương tùy ý z tab Đảo lại, hiển nhiên số x, y, z có dạng thỏa mãn (1) Công thức cho ta nghiệm nguyên dương (1) e) Sử dụng tính chất: hai số ngun liên tiếp có tích số phương thí hai số ngun liên tiếp Ví dụ 21: Tìm nghiệm ngun phương trình: (1) x2 xy y x2 y Giải: Thêm xy vào hai vế: x2 xy y x2 y xy (2) ( x y)2 xy( xy 1) Ta thấy xy xy + hai số ngun liên tiếp, có tích số phương nên tồn số Xét xy = Từ (1) có x2 y nên x = y = Xét xy + = Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) (-1 ; 1) Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) nghiệm phương trình cho 6) PHƯƠNG PHÁP LÙI VƠ HẠN, NGUN TẮC CỰC HẠN Ví dụ 22: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 y z Giải: Hiển nhiên x Đặt x x1 với x1 nguyên Thay vào (1) chia hai vế cho ta được: x13 y z (2) Do y Đặt y y1 với y1 nguyên Thay vào (2) chia hai vế cho ta được: x13 y13 z (3) Do z Đặt z z1 với z1 nguyên Thay vào (3) chia hai vế cho được: x13 y13 z13 (4) Như (x , y , z) nghiệm (1) ( x1, y1, z1 ) nghiệm (1) x x1, y y1, z 2z1 Lập luận tương tự trên, ( x2 , y2 , z2 ) nghiệm (1) x1 x2 , y1 y2 , z1 2z2 Cứ tiếp tục ta đến: x, y, z chia hết cho 2k với k số tự nhiên tùy ý Điều chỉa xảy x = y = z = Đó nghiệm ngun (1) Ví dụ 23: Tìm ba số ngun dương đơi khác x, y, z thỏa mãn : x y z ( x y z )2 Giải Vì vai trò x, y, z nên giả sử x < y < z Áp dụng bất đẳng thức : x3 y z3 x y z 3 Với x, y, z ≥ ta suy x + y + z ≤ Dấu không xảy x, y, z đơi khác Vậy x + y + z ≤ (1) Mặt khác: x + y + z ≥ + + = (2) Từ (1) (2) ta suy x y z {6;7;8} Từ kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm x, y, z Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) hoán vị ba số 7) PHƯƠNG PHÁP XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : (1) 1! 2! x! y Giải: Cho x 1; 2; 3; 4, ta có ngay2 nghiệm nguyên dương (x ; y) củ phương trình (1 ; 1), (3 ; 3) Nếu x > dễ thấy k! với k > có chữ số tận 1! + 2! + 3! + 4! + … + x! = 33 + 5! + … + x! có chữ số tận Mặt khác vế phải số phương nên tận Vậy phương trình (1) có hai nghiệm ngun dương (x ; y) (1 ; 1) (3 ; 3) Ví dụ 25: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: x x 32 y 1 (1) Giải: Cho x giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định chữa số tận x x chì nhận giá trị 1; 5; Mặt khác ta thấy 32 y1 lũy thừ bậc lẻ nên chữ số tận 7, khác với 1; 5; Vậy (1) xảy Nói khác phương trình (1) khơng có nghiệm ngun dương 10 8) PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM RIÊNG a) Cách giải Xét phương trình ax by c (1) a, b, c , a 0, b Không tính tổng quát, giả thiết (a, b, c) = Thật vậy, a, b, c d ta chia hai vế phương trình cho d Ta có hai định lý: Định lý 1: Nếu phương trình (1) có nghiệm ngun (a, b) = (*) Chứng minh: Giả sử ( xo , yo ) nghiệm nguyên (1) axo byo c Nếu a b có ước chung d c d , trái với giả thiết (a, b, c) = Vậy (a, b) = Định lý 2: Nếu ( xo , yo ) nghiệm phương trình (1) phương trình (1) có vơ số nghiệm ngun nghiệm nguyên biểu diễn dạng: x xo bt y yo at t số nguyên tùy ý (t 0, 1, 2, ) Chứng minh: Bước 1: Mọi cặp số ( xo bt; yo at ) nghiệm nguyên (1) Thật ( xo , yo ) nghiệm (1) nên axo byo c Ta có: ax by a( xo bt ) b( yo at ) axo byo c Do ( xo bt; yo at ) nghiệm (1) Bước 2: Mọi nghiệm (x, y) (1) có dạng ( xo bt; yo at ) với t Z Thật vậy, ( xo , yo ) (x, y) nghiệm (1) nên ax by c axo byo c a ( x xo ) b( y yo ) Trừ vế: (2) a ( x xo ) b( yo y ) Ta có a( x xo ) b mà (a, b) = ( theo định lý 1) nên x xo b Vậy tồn số nguyên t cho: x xo = bt Tức là: x xo bt Thay vào (2): abt b( yo y) at yo y y yo at Vậy tồn số nguyên t cho: x xo bt y yo at 11 b) Ví dụ: Ví dụ 26: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x – 2y = Giải: Cách 1: Ta thấy xo 3; yo nghiệm riêng Theo định lý 2, nghiệm nguyên phương trình là: x 2t (t số nguyên tùy ý) y 3t Cách 2: Ta thấy xo 1; yo 1 nghiệm riêng Theo định lý 2, nghiệm nguyên phương trình là: x 2t (t số nguyên tùy ý) y 1 3t Chú ý: Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp nghiệm nguyên phương trình c) Cách tìm nghiệm riêng phương trình bậc hai ẩn: Để tìm nghiệm nguyên riêng phương trình ax by c , ta dùng phương pháp thử chọn: cho x số có giá giá trị tuyệt đối nhỏ (0; 1; 2 ) tìm giá trị tương ứng y 9) PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC Ví dụ 27: Tìm nghiệm ngun phương trình : x3 + 2y3 – 4z3 = (1) Giải (1) x3 = 4z3 – 2y3 (2) Rõ ràng vế phải (2) chia hết x3 x Đặt x = 2x1 (x1 Z ) Thay vào (2) ta có : (2) 8x13 = 4x3 – 2y3 y3 = 2z3 – 4x13 (3) Lập luận tương tự ta có y 2, đặt y = 2y1 (y1 Z ) Biến đổi tương tự, ta được: z3 = 4y13 + 2x13 (4) Lập luận tương tự ta có z 2, đặt z = 2z1 (z1 Z ) Biến đổi tương tự, ta lại có: (4) 8z13 = 4y13 + 2x13 x13 + 2y13 – 4z13 = (5) Rõ ràng số (x0; y0; z0) nghiệm (1) số ( x0, y0, z0 số chẵn x0 y0 z0 ; ; 2n 2n 2n x0 y0 z0 ; ; ) nghiệm (1), 2 x0 y0 z0 ; ; số chẵn Q trình tiếp tục số 2 số chẵn với n số nguyên dương Vậy x = y = z = Trên số phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên, mong đóng góp q thầy 12 ... vơ nghiệm phương trình cho vô nghiệm Cách Giả sử phương trình có nghiệm Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ -1 (mod 4), điều không xảy với số nguyên x Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) Phương pháp. .. chất: hai số nguyên dương nguyên tố có tích số phương số đếu số phương Ví dụ 20: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: (1) xy z Giải: Trước hết ta giả sử (x , y , z) = Thật ba số xo , yo... biến số biểu thức chứa phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản a) Phương pháp phát tính chia hết ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: