Chuyên đề SỐ CHÍNH PHƯƠNG A Kiến thức cần nhớ Khái niệm Số phương bình phương số tự nhiên Tính chất Số phương tận 0, 1,4, 5, 6, tận 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Hệ Số phương chia hết cho số nguyên tố P phải chia hết cho P Một số phương số ước số lẻ Một số kiến thức sử dụng Hệ thập phân 10n 99 10 11 n soá n soá n a(10 n 1) aa a n soá Các đẳng thức Nếu a = b.c mà a số phương; (b; c) = b c số phương B Một số ví dụ B 11 1; C 66 ; với n số tự nhiên lớn Ví dụ 1: Cho A 11 1; n soá n 1 soá n soá Chứng minh A B C số phương Giải Tìm cách giải Để chứng minh A B C số phương, cần biến đổi thành bình phương số tự nhiên Suy luận tự nhiên dùng hệ thập phân, để đưa chúng lũy thừa 10 công thức a 10n 10 n 11 sau dùng đẳng thức đưa bình phương số tự aa a 9 n số n số nhiên Trình bày lời giải 2n n 1 10 n 10 10 Ta có A ;B ;C 9 Xét A B C 102 n 10 n 1 6.10n 6.1 10 n 16.10 n 64 10 n 8 9 9 n 3 A B C số phương Mà 10 100 08 n Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 số phương (Thi học sinh giỏi Tốn 9, Quảng Ngãi, năm học 2012 - 2013) Giải Tìm cách giải Để tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện trên, đồng hai điều kiện cách 2 đặt n 18 a ; n 41 b a; b ; a b Sau khử n phép trừ vế cho vế, ta tìm số tự nhiên a, b đường ước số Trình bày lời giải 2 Đặt n 18 a ; n 41 b a; b ; a b 2 Suy a b 59 a b a b 59 1.59 a b 1 a 30 n 882 Do a b 59 b 29 Ví dụ 3: Chứng minh với n n n khơng số phương Giải Tìm cách giải Để chứng tỏ số khơng phải số phương, thường có hai cách: sử dụng chữ số tận chứng minh số nằm hai số phương liên tiếp Trong ví dụ vận dụng cách hai Trình bày lời giải Với n ta có: n n n n 1 mà n n 1 hai số phương liên tiếp Vậy n n số phương Ví dụ 4: Chứng minh m.n thoả mãn đẳng thức: 3m m 4n n m n 4m 4n số phương. Giải Tìm cách giải Nếu m n 4m 4n số phương m n 4m 4n 1 số phương Khi khai triển đẳng thức cho bóng dáng giả thiết Do với suy nghĩ cần: - Từ giả thiết biến đổi m n 4m 4n 1 thành số phương - Chứng minh m n 4m 4n hai số nguyên tố Trình bày lời giải Từ 3m m 4n n ta có m n m n m n m m n 4m 4n 1 m (*) Đặt m n; 4m 4n 1 d m n d ; 4m 4n 1 d m d 4m 4n m n d 8m 1 d mà m d 1d hay d 1 Vậy m n 4m 4n nguyên tố nhau, kết hợp với (*) ta có: m n 4m 4n số phương Ví dụ 5: Cho x, y số nguyên lớn cho x y x y số phương Chứng minh x y Giải 2 Tìm cách giải Nếu x y x y x y 4 x y số phương Do xy 1 ; x y ; xy 1 ba số phương liên tiếp nên để có: 2 x y x y 4 x y ta cần chứng minh xy 1 x y x y xy 1 đủ Trình bày lời giải Do x, y số nguyên lớn nên x; y 2 xy x y xy x y xy x y x y x y xy xy 1 x y x y xy 1 Suy x y x y số phương Ta có x; y 2 nên xy xy Do đó: x y x y xy x y Ví dụ 6: Giả sử a số nguyên dương d ước số nguyên dương 2a Chứng minh rằng: a d số phương Giải Giả sử 2.a k d a d b với a, b, k , d Từ a d b a 22 b k 2b a k 2.k k kb a k 2k k 2k số phương Mà k k 2k k 1 k 2k khơng thể số phương Vậy a d số phương Ví dụ 7: Chứng minh với x, y hai số tự nhiên thỏa mãn x y số phương x y tổng hai số phương Giải Vì x, y nên x y x Do x y số phương ta có: x y x t với t y t 2tx t 2 K , K y 4 K Kx y 2 K Kx x y K x K điều phải chứng minh Ví dụ 8: Cho x, y , z nguyên tố thỏa mãn 1 Hỏi x y có phải số x y z phương khơng? Giải 1 x y z xy xz yz zy 0 x y z 2 Hay xy xz z yz z x z y z z 2 Nếu x z ; y z d 1 z d (vơ lí) x z; y z 1 Hay x z y z số phương x z K y z m (với K , m * ) z K m z Km Vậy x y x z y z z K m Km x y K m Vậy x y số phương C.Bài tập vận dụng số phương n 2 6.1 Chứng minh số A 224 99 9100 09 n soá n soá Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: n 1 A 224 99 00 10 n n 2 n 2 n 1 A 224 99 10 10 n n 2 n 1 A 225 00 10 10 n A 225.10 n 10 n 2 10 n 1 A 225.102 n 10 n 2 10 n 1 A 225.102 n 90.10 n A 15,10n 3 số phương B 88 6.2 Cho số nguyên dương n Đặt A 44 4; 2n n Chứng minh A 2.B số phương Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A 44 4.11 4 2n 2n B 88 8 11 8 2n n Xét A B 102 n 10n 102 n 1 2.8 10n 1 4 4.102 n 4.16.10 n 16 36 102 n 4.10n 10n 66 68 n Ta có điều phải chứng minh b 44 Chứng minh a b số phương 6.3 Cho a 11 1; 2n n Hướng dẫn giải – đáp số 2n 10n 1 Ta có: a 10 ; b 9 x 1 x2 Đặt 10 x a ;b 9 n x2 4x x a b 1 Mà x 10 023 a b số phương 6.4 Tìm tất số tự nhiên n cho n 14n 256 số phương Hướng dẫn giải – đáp số Đặt n 14n 256 k với k 2 n 305 k n k 305 n k n k 305 n k 7; n k Ö 305 1; 5; 61; 305 Mà n k n k nên ta có: n k 305 61 nk 5 1 61 305 Suy n 40 160 k 28 152 Vậy với n 40;160 n 14n 256 số phương 6.5 Chứng minh không tồn số tự nhiên n thỏa mãn n 2018 số phương Hướng dẫn giải – đáp số Giả sử tồn số tự nhiên n thỏa mãn đề Đặt n 2018 m n m n m n 2018 (*) Khi đó: + Nếu m n khác tính chẵn lẻ m n m n lẻ, mâu thuẫn với (*) + Nếu m n tính chẵn lẻ m n m n chia hết cho 4, mâu thuẫn với (*) Vậy không tồn số tự nhiên n thỏa mãn n 2018 số phương 6.6 Chứng minh biểu diễn lập phương số nguyên dương dạng hiệu hai số phương Hướng dẫn giải – đáp số Đặt a số nguyên dương Xét a chẵn Đặt a 2n n 2 3 Ta có: a 8n n 2n 1 2n 1 2 2n n 2n n (1) Xét a lẻ Đặt a 2n n 2 Ta có: a 2n 1 2n 1 n 1 n 2 2n 3n 1 2n n (2) Từ (1 ) (2) suy điều phải chứng minh 6.7 Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b c d a d b c Chứng minh a b2 c d tổng ba số phương Hướng dẫn giải – đáp số Vì a b c d nên ta đặt a b k a c h (vì h.k ) Khi a d b c b k c h b c h k Vậy a b k d c k Do đó: a b c d b k b c c k 2b 2c 2k 2bk 2ck b 2bc c b c k 2bc 2bk 2ck k 2 2 b c b c k k Đó tổng ba số phương 6.8 Cho hàm số f x x x 3 x x Chứng minh f x ln có giá trị số phương với giá trị nguyên x (Thi học sinh giỏi Toán 9, Lâm Đồng, năm học 2012 - 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: f x x x x 3 x x x 10 x x 12 x x 10 x x 10 x x 10 1 x x 11 Với x số nguyên x x 11 số nguyên Vậy f x ln có giá trị sổ phương 6.9 Chứng minh rằng: a) Với số tự nhiên n n n 2n 2n khơng phải số phương b) Các số a b tổng số phương tích ab tổng số phương (Thi học sinh giỏi Tốn lớp 9, tỉnh Nghệ An, năm học 2006 - 2007) Hướng dẫn giải – đáp số a) Giả sử A số phương Đặt A k với k số nguyên Ta có: A n n 1 n 1 2n n 1 n 1 n n3 n n 1 n n3 n 2n2 2 n 1 n n 1 n 2n n 1 n2 n 1 1 2 2 Suy n 1 n n 1 1 k nên n 1 số phương 2 Mà n 1 n n 1 số phương Vậy A khơng phải số phương b) Giả sử a m n ; b p q m, n, p, q , đó: ab m n p q m p m q n p n q m p 2mnpq n2 q m q 2mnpq n q 2 ab mp nq mq np , ta có điều phải chứng minh 6.10 Tìm số tự nhiên n để n n 30 số phương (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT Chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt n a ; n 30 b (với a, b ) a b b a 25 b a b a 25 1.25 b a b a b a 1 Từ ta có hệ: b a 25 a 12 n 139 b 13 6.11 Cho hai số tự nhiên a b Chứng minh tích a.b số chẵn ln ln tìm số nguyên c cho a b c số phương Hướng dẫn giải – đáp số Ta có a.b số chẵn, xảy hai trường hợp - Trường hợp Nếu hai số chẵn a b 4 Đặt a b 4k k Khi đó, chọn c k 2 Ta có a b c 4k k 1 k 1 - Trường hợp Nếu số chẵn, số lẻ ta đặt a b2 2k k Khi đó, chọn c k Ta có a b c k 1 Vậy chọn số c cho a b c số phương 6.12 a) Tìm số tự nhiên cho x 21 số phương b) Chứng minh m, n số phương lẻ liên tiếp m 1 n 1 chia hết cho 192 Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt x 21 k k k x k x 21 k x; k x Ö 21 Mà Ö 21 1; 3; 7; 21 Bạn đọc tự giải x 2 x 10 b) Đặt m 2k 1 ; n 2k k 2 m 1 n 1 2k 1 1 2k 3 1 16k k 1 k Ta có 16 chia hết cho 16 - Nếu k lẻ k 1 chia hết cho - Nếu k chẵn k k chia hết cho k , k 1, k ba số liên tiếp nên k k 1 k chia hết cho 16k k 1 k 192 Ta có điều phải chứng minh 6.13 Tìm x để x x số phương Hướng dẫn giải – đáp số * Với x 0;1; 1 không thỏa mãn * Với x 0;1; 1 Trước hết ta chứng minh x x số phương x Giả sử x m với m, n ; n 0; m, n 1 n Ta có: x x m m m mn m2 mnn2 2 n n n m mn n m n Do m; n 1 n 1 x Đặt x x k k x x 24 4 k x 1 23 2k x 4k x 1 23 k x 1 2k x 1 23 2k x Ö 23 1; 23 Bạn đọc tự giải x x x 5 6.14 Tìm số nguyên dương n để tổng n n3 n n số phương Hướng dẫn giải – đáp số Đặt n n3 n n k (1) với k nguyên dương, ta có: 1 4n 4n3 4n 4n 4k 2 2 2n n 2n n 2k (2) Cách Từ (2) 2k 2n n 2 2k 2n n Do k, n nguyên dương 4n 4n3 4n2 4n 2n2 n n 1 n 3 0 n 3 n 1;2;3 Thay vào (1) thử lại, ta kết n 3 thỏa mãn điều kiện đề 2 Cách Xét hiệu A 2n n 2k 5n 2n n 2k (3) Từ (2) (3) suy ra: 2n n k 2n n 2 2k 2n k, n nguyên dương n n 1 n 3 0 n 0 n 3 Khi n n3 n n 121 112 6.15 Nếu a, b thỏa mãn 2a a 3b b a b 2a 2b số phương Hướng dẫn giải – đáp số Từ 2a a 3b b ta có a b a b a b b a b 2a 2b 1 b (*) Đặt a b;2a 2b 1 d a b d ; 2a 2b 1 d b d 2a 2b a b d 4b 1 d mà b d 1d hay d 1 Vậy a b 2a 2b nguyên tố nhau, kết hợp với (*) ta có: a b 4a 4b số phương