Cđ 6 số chính phương

CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ A LÝ THUYẾT: Định nghĩa: - Số phương bình phương số tự nhiên Tính chất: - Số phương có chữ số tận là: 0; 1; 4; 5; 6; - Khi phân tích thừa số nguyên tố , số phương chứa thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn - Số phương chia hết cho chia cho dư - Số phương chia hết cho chia cho dư - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số phương chia hết cho chia hết cho 16 - Số phương tận hoặc chữ số hàng chục số chẵn - Số phương tận chữ số hàng chục - Số phương tận chữ số hàng chục số lẻ B LUYỆN TẬP : Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho số A 11 11122 2225 ( 2005 chữ số 2006 chữ số 2) Chứng minh A số phương HD: A 100 00100 00       25 100 00     100 00     25 2004 2005 4012 2007 Ta có: 2 2006 A 100 00     2.5.100 00      10    , số phương C  44 4488 89 Bài 2: Chứng minh số có n số n-1 số 8, viết dạng bình phương số tự nhiên HD: n 111 11    a  10 9a  n Đặt 444 44 444 44888     88 89        n 4a.10 n  8a  n n n Ta có: 2006 2006 4a  9a  1  8a  36a2  12a   6a  1 Bài : Chứng minh số HD : A 11  44 1   2n n    666    7  n  số phương  10 n   A     A số phương Biến đổi B 11  11  66 8    n n  n Bài : Chứng minh số số phương HD :  10 n   B     Biến đổi tổng Bài : Chứng minh số HD : B số phương C 44  22  88 7    2n n 1 số phương n  2.10 n   C     C số phương Biến đổi A 224 99 9100   n n Bài : Chứng minh số phương HD : A 224.10 n  99 9.10 n2  10 n1  224.10 n  10 n  10 n2  10 n1    A 224.102 n  10 n  10 n 2  10 n1  225.10 n  90.10 n   15.10 n    Vậy A số phương B 11 155 56   Bài : Chứng minh số phương HD : n n n B 11 155  11 1.10  5.11  B 10  10 n  10       n n n n 9 10 n  10 n  5.10 n    10 n   B     , Vậy B số phương a  11 b  100 05 Bài : Cho (2008 chữ số 1) ( 2007 chữ số 0) Chứng minh rằng: ab  số tự nhiên HD: 10 2008  a 11  , b 10 2008   2008 Ta có:  10  ab   2008  10 2008       10  1008  4.10 2008   9  10 2008       ab  số tự nhiên m 111 1,n 444       k k Bài : Cho , Chứng minh m  n  số phương HD: 10 k  10 k  10 k  10 k  10 k   4.10 k   m ,n   m  n    1  9 9 Ta có: Vậy  10 k       , Vậy m  n  số phương A 444 B 888       n n Bài 1: Cho số nguyên dương n số A  B  Chứng minh rằng: số phương HD: Ta có: n A 444    444    000     444    444     10  1  888    2n n n n n n    4.111 1.999        B 4.111 1.9.111        B  6.111     B n n n n n   2 3  3    888   B  B   B     4  n 4  2 3  3  3   A  B   B   B  B   B   B.2   B   4  4  4  2 3        888    3.222    666 68             n n 4     n  Vậy A  B  số phương Bài 1: Cho: A 111 ( 2m chữ số 1); B 111 (m + chữ số 1); C 666 (m chữ số 6) Chứng minh A  B  C  số phương HD: 10 m  10 m  10 m1  A 111  B 111  C 666  9 Ta có: và   m 102 m  10 m1  10  102 m  16.10 m  64  10 m   A  B C 8    8   9 9   Khi : m m Mà 10  83  10   Z Vậy A  B  C  số phương   Bài : Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; … Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số số đứng trước nó, Chứng minh tất số dãy số phương HD : Xét số tổng quát : n 44 488 89 44 488  44 4.10  88 1       n n n n n 4.11 1.10  8.11  4   n n n n 10  n 10 n  10  1 9 n n 4.10 n  4.10 n  8.10 n   4.10 n  4.10 n   2.10         9 n Mà 2.10  có tổng chữ số nên chia hết cho 3, số có dạng số phương 2 Bài 1: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a  a 3b  b Chứng minh a  2b  số phương HD: a2  a 3b  b   a  b   a  2b  1 b Ta có: (*) UC  a  b;2a  2b  1 * Gọi d với d  N , Thì:  a  bd   a  b   a  2b  1 d  b d  bd  a  b   d  , Mà :  a  b  d  ad   2a  2b  d , mà  2a  2b  1 d  1d  d 1  a  b,2a  2b  1 1 , Từ (*) ta : a  b,2a  2b  số phương Do : Vậy a  2b  số phương 2 Bài 1: Cho x, y số nguyên thỏa mãn : x  x 3y  y Chứng minh : x  y;2 x  y  1;3x  3y  số phương Bài 1: Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n CMR : n  m khơng số phương HD: n2  m k  k  N  n  m Giả sử: số phương Đặt: (1) 2n 2n2 mp  p  N   m  p Thay vào (1) ta : Theo ta có: 2 n2 n  k  n2 p  pn2  p k  n2 p  p  pk  p Do  n2 ,  pk   số phương, nên p  p số phương p  p  p   p  1  p2  p Mặt khác: khơng số phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy n  m khơng số phương 3 Bài 1: Chứng minh: A 1    100 số phương S 1.2.3  2.3.4  3.4.5   k  k  1  k   Bài 10 : Chứng minh : S  số phương HD : 4S 1.2.3     2.3.4   1   k  k  1  k     k  3   k  1  Ta có : 4S  1.2.3.4  0.1.2.3   2.3.4.5  1.2.3.4     k  k  1  k    k     k  1 k  k  1  k    4S k  k  1  k    k  3  S  k  k  1  k    k  3  tích số tự nhiên liên tiếp cộng với nên S  số phương Bài 11 : Chứng minh tích số nguyên dương liên tiếp khơng thể số phương HD: Giả sử có số nguyên dương liên tiếp là: n, n  1, n  2, n  Xét tích: P n  n  1  n    n  3  n    n  3n n  3n   n  3n n Dễ dàng nhận thấy:   3n    P  n  3n        n  3n   Vậy P số phương Bài 12 : Chứng minh với số nguyên x, y : A  x  y   x  y   x  3y   x  y   y số phương HD : A  x  y   x  y   x  3y   x  y   y  x  5xy  y  Ta có : x  5xy  5y t  t  Z  Đặt Khi : A  t  y t  y  y t  y  y t  x  5xy  y      x  5xy  y  y  Vậy A số phương Bài 13 : Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương HD : n, n  1, n  2, n   n  N  Gọi số tự nhiên liên tiếp : Ta có : A n  n  1  n    n  3  n  n  3  n    n  1  A  n  3n n2  3n      n2  3n t  t  N   A t  t     t  1 , Đặt Vậy tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương Bài 14 : Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương HD : n  2; n  1; n; n  1; n   n  N , n 2  Gọi số tự nhiên liên tiếp 2 2 A  n     n  1  n2   n  1   n   5 n  Xét   Nhận thấy A5 không chia hết cho 25 n khơng có tận Bài 1: Chứng minh rằng: n  N , n  A n  n  2n  2n khơng thể số phương HD: n6  n  n3  n2 k ,  k  Z  Giả sử: 2  n4 n2   2n2  n  1 k   n  1 n n3  n  k   n  1 n   n  1  1 k         n  1  phải số phương  n  1   n  1 Ta lại có:  n2    n   n 2 , Do n    n  1  khơng phải số phương Vậy A n  n  2n  2n khơng thể số phương Bài 16 : Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương HD : a 2k  1, b 2m   k , m  N  Gọi 2 a2  b  2k  1   2m  1 4k  4k   4m  m  Xét 4 k  k  m  m   t   t  N    2 Như a  b chia cho dư 2, mà ta biết số phương chia khơng có số dư 2, 2 Vậy a  b khơng số phương Bài 17 : Chứng minh rằng: A n  2n  2n  2n  , số phương HD: A n2 n2  n   n2  2n   n   n  1       Ta có: Vì n  khơng phải số phương nên A khơng thể số phương Bài 18 : Chứng minh p tích n số nguyên tố p - p + khơng thể số phương HD : Vì p tích n số ngun tố nên p2 p không chia hết cho (1) p  m  m  N  p  Giả sử số phương Đặt Vì p chẵn nên p+1 lẻ=> m lẻ => m lẻ m 2k  1 k  N   m 4k  4k   p  4 k  k  Đặt  p 4k  4k 4k  k  1 4 mâu thuẫn với ( 1) Vậy p+1 khơng thể số phương p  3k   k  N  Lại có : p 2.3.5.7 số chia hết cho => ( Vơ lý) Vì khơng có số phương chia dư => p-1 khơng số phương Vậy p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng thể số phương Bài 19 : Cho N 1.3.5.7 2019 Chứng minh ba số nguyên liên tiếp N  1;2 N ;2 N  khơng có số số phương HD : Ta có : N  2.1.3.5.7 2019  N 3  2n  3k   k  N  Thấy => N  khơng số phương Và N 2.1.3.5.7 2019 số chia hết cho không chia hết 2N không số phương Và N  2.1.3.5 2019  lẻ nên không chia hết cho   N  không chia cho dư 1=> 2N+1 khơng số phương 2N  Bài 20 : Chứng minh ba số nguyên liên tiếp N  1,2 N ,2 N  khơng có số số phương, : N 1.3.5 1999 HD :   N khơng số phương Ta thấy : N 2,2 N  N 3  N  2  mod 3  N  khơng số phương  N k   k  1  k  1 4  N 2 Giả sử : N  k  k lẻ Vô lý Vậy ta có đpcm Bài 21 : Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị 6, Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương HD : Theo tính chất : ‘ Một số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ, chữ số hàng chục số phương cho : ;3 ;5 ;7 ;9 tổng chúng : 1+3+5+7+9=25 số phương Bài 22 : Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab  bc  ca 1 A   a2  b2  c2 Chứng minh rằng: số phương HD: Ta có: ab  bc  ca 1   a ab  bc  ca  a2 a  a  b   c  a  b   a  b   a  c   Tương tự :    b  a  b   b  c    c  a  c   b  c    a    b    c    a  b   b  c   c  a   Khi : 2 2 , Vì a, b, c số nguyên nên số phương M 1  2 2 a b c Bài 23 : Cho a, b, c số hữu tỉ khác thỏa mãn: a  b  c 0 , Chứng minh bình phương số hữu tỉ HD: Ta có: 2 a  b  c  1    1 1  1 1 1   1 1                     abc a2 b c  a b c   ab bc ac   a b c   a b c 2 a b c b c a  2    a b c Bài 1: Cho a,b,c ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = b c a Chứng minh ba số a,b,c bình phương số hữu tỉ f  x f  5  f  3 2010 Bài 1: Cho đa thức bậc ba với hệ số x số nguyên dương f  7  f  1 Chứng minh rằng: hợp số HD: f  x  a.x  bx  cx  d  a  Z   Ta có: , Theo đề ta có: 2010  f  5  f  3  53  33 a  52  32 b    3 c 98a  16b  2c  16b  2c 2010  98a     f  7  f  1   1 a    1 b    1 c 342 a   16b  2c  342 a   2010  98a  Và : 48a  6030 3  16 a  2010  3 Vậy f  7  f  1 Vì a nguyên dương nên: 16a  2010  , hợp số Bài : Chứng minh : Các số a b tổng hai số phương tích a.b tổng hai số phương HD : b  p  q ,  m, n, p, q  Z  2 a  m  n Giả sử: Ta có: a.b  m  n2 p  q m p  m 2q  n2 p  n 2q m p  n 2q  2mnpq  m 2q  n p  2mnpq     mp  nq    mq  np  , ĐPCM n 1 Bài 1: Cho A  10  10 10   10  10   Chứng minh A số phương không lập phương số tự nhiên  n n n   Bài 5: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh tồn số có dạng 111 11 mà chia hết cho p 3 3 a ;b  n n S  a  b 2 Bài 1: Với n 2008 số nguyên dương , đặt: n , Với Chứng minh: n    Sn           5    1    n     Tìm số n để Sn  số phương Bài 1: Cho n số nguyên dương Chứng minh 2n + 3n + số phương 5n + số nguyên tố a a2  b2  2 Bài 1: Cho a, b, c nguyên tố khác 0, a c thỏa mãn: c c  b 2 Chứng minh : a  b  c số nguyên tố Bài 1: Cho b số nguyên tố khác Số A 3n   2015b (n số tự nhiên) số nguyên tố hay hợp số Bài 1: Xét số tạo thành cách viết 2n chữ số xen kẽ với 2n + chữ số có dạng sau: 10101; 101010101; … ; 1010……101; … (n nguyên dương) Chứng minh số hợp số n Bài 1: Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n + hợp số Bài 1: Cho n số nguyên tố lớn Chứng minh n2 + 2018 hợp số Bài 1: Giả sử phương trình bậc hai x  ax  b  0 có hai nghiệm nguyên dương 2 Chứng minh a  b hợp số k k k k Bài 1: Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn ab = cd Chứng minh số: A a  b  c  d hợp số với số nguyên dương k Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu n số nguyên dương viết 12 ta ln có chữ số hàng chục số lẻ 4n dạng thập phân 2 Bài 1: Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k  k  16 số nguyên tố k chia hết cho 2p 2q Bài 1: Chứng minh rằng:  khơng thể số phương, với p, q số nguyên không âm 5 2 Bài 1: Giả sử số hữu tỉ x, y thỏa mãn phương trình: x  y 2 x y Chứng minh  xy bình phương số hữu tỉ Bài 1: Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn: Chứng minh x  y  z 27  x  y  y  z   z  x  x  y  z Bài 1: Chứng minh ba số a, a + k a + 2k số nguyên tố lớn 3, k chia hết cho   3 Bài 1: Chứng minh số 2016   2  2016 số chẵn m Bài 1: Cho  số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố Bài 1: Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn : a2 + c2 = b2 + d2 Chứng minh a + b + c + d hợp số Bài 1: Cho a + 2a + (a  N) đồng thời hai số phương Chứng minh a chia hết cho 24 Bài 1:Cho hai số A = (20182017 + 20172017)2018 ; B = (20182018 + 20172018)2017 Chứng minh rằng: A > B Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài : Tìm số tự nhiên n có chữ số biết n  3n  số phương HD : Ta có : 10 n 99  21 2 n  199 , tìm số phương lẻ khoảng ta : 25 ;49 ;81 ;121 ;169 ứng với n 12 ;24 ;40 ;60 ;84 Thay n vào 3n  ta giá trị : 37 ; 73 ; 121 ; 181 ; 153 Và thấy có 121 số phương, n=40 Bài : Tìm tất số nguyên dương n cho n + 26 n - 11 lập phương số nguyên dương HD:  n  26 a3 (1)   n  11 b (2) với a, b  N * Giả sử:  37 a3  b  a  b  a  ab  b 37 1.37 Lấy (1) –(2) theo vế ta được: 2 Mà a  b a  b  a  ab  b nên ta có:     a  b 1  a b      2  a  ab  b 37   b  1  b  b  1  b 37  b 3  n 38 Bài : Tìm tất số tự nhiên n cho n  2015 n  2199 số phương HD: 2 Giả sử a b số tự nhiên cho: n  2015 a , n  2199 b   b  a   b  a  184 23.23 Vì b  a, b a hai số có tính chẵn lẻ b  a  b  a Nên: b  a 2  a 45    n 10  b  a 92 b 47   TH1: hoặc:  b  a 4  a 21    n  1574   b  a 46 b 25 (loại) Bài : Tìm số tự nhiên n cho n + 12 n – 11 số phương HD: n  11 b ,  a, b  N , a  b  Giả sử n  12 a a2  b n  12  n  11 23   a  b   a  b  23.1 Suy ra: , Vì a  b  a  b   a  b 23  a 12    n 132  a  b  b  11  Khi đó:  Bài : Tìm số tự nhiên n để : n  18 n  41 hai số phương Bài : Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương n Bài 1: Tìm tất số tự nhiên n dương cho:  15 bình phương số tự nhiên Bài 1: Có hay khơng có số tự nhiên n để n  2018 số phương Bài 1: Có hay khơng có số tự nhiên n để n2 + 2010 số phương Bài 1: Tìm tất số tự nhiên n dương cho 2n – 15 bình phương số tự nhiên 10 Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho A n  n  số phương HD: Ta có: A n  n  số phương nên A có dạng : A n  n   k , k  N *    n2  n  24 4 k   k    n  1 23   k  n  1  k  n  1 23  k 6  k  2n  23      k  n  1 , Vì k  2n   2k  2n   n 5 Vậy với n 5 A số phương Bài 1: Tìm số ngun n cho B = n2 – n + 13 số phương Bài 1: Tìm số tự nhiên a cho : A a  10a  136 có giá trị số phương Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho n  18n  10 số phương Bài 1: Tìm tất số nguyên x cho giá trị biểu thức x  x  số phương Bài 1: Tìm tất số tự nhiên n sau cho: n  14n  256 số phương Bài 1:Tìm tất số nguyên dương n để A = 29 + 213 + 2n số phương 11 n Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho:   số phương? 27 2016 n Bài 1: Tìm số nguyên dương n lớn để A 4   số phương 13 n Bài 1: Tìm tất số nguyên dương n để : A 2   số phương Bài : Tìm tất cặp số nguyên dương (m ; n) cho m  1n n  1m HD :  m  1n  m, n  n  1m  Ta có : lẻ Giả sử : n m  n  3m  n 1, m 3 2m  2  2n  1  1n  3n    n 3, m 7 TH1 : 2n  m TH2 : n  3m 3m 2n  2m   m 1  n 1  1;1 ,  1;3 ,  3;7 ,  3;1 ,  7;3 Vậy có cặp số nguyên dương tìm : Bài : Tìm số tự nhiên n cho n  2n  12 số phương HD: n2  2n  12 k  k  N   n2  2n   11 k  k   n  1 11 Đặt   k  n  1  k  n  1 11   Nhận xét: k  n   k  n  nên ta có TH sau: 11  k  n  11  k 6    k  n  1  n 4 Vậy số tự nhiên cần tìm TH1:  n  n  3 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho: số phương HD: Đặt n  n  3 a2  a  N   n  3n a  n  12n 4a  4n2  12 n   4 a2     2n  3  a2 9   2n   a   n   2a  9 Nhận xét: 2n   2a  n   a chúng số dương nên ta có: 2n   2a 9  n 1    2n   2a 1  a 2 Bài : Tìm số tự nhiên n cho 13n +3 số phương HD: 13n   y  y  N   13  n  1  y  16  13  n  1  y    y   Đặt   y    y   13 y 13k 4  k  N  mà 13 số nguyên tố nên y  413 y  413 => Khi đó: 13  n  1  13k 4   16 13k  13k 8   n 13k 8k  Vậy với n 13k 8k   k  N  13n+3 số phương Bài : Tìm số tự nhiên n cho n  n  1589 số phương HD: 2 n2  n  1589 m  m  N   n2   6355 4 m   Đặt   2m  2n  1  2m  2n  1 6355 6355.1 1271.5 205.31 155.41 Nhận thấy 2m  2n   m  n   chúng số lẻ nên ta có TH Xét Th ta có giá trị n là: 1588; 316; 43; 28 Bài : Tìm a để a  a  43 số phương HD: Làm tương tự ta có: a 2; a 42; a 13 Bài : Tìm a để a  81 số phương HD: Làm tương tự ta có a 0; a 12; a 40 Bài 10 : Tìm a để a  31a  1984 số phương HD : Làm tương tự ta có : a 12; a 33; a 48; a 97; a 176; a 332; a 565; a 1728 Bài 11 : Tìm số tự nhiên n để : n  2004 số phương HD : Làm tương tự ta có : n 500; n 164  23  n  n  3 số phương Bài 12 : Tìm số tự nhiên n cho : HD : Làm tương tự ta có : n 3; n 5; n 7; n 13; n 19; n 21; n 23 Bài 13 : Tìm số tự nhiên n cho n  4n  97 số phương n Bài 14 : Tìm số tự nhiên n để  15 số phương 12 Bài 15 : Tìm số tự nhiên n để n  2006 số phương HD : n2  2006 m  m  N   m  n2 2006   m  n   m  n  2006 Đặt Như hai số m n phải có số chẵn (1) m  n  m  n  m Mặt khác : => số m+n m-n tính chẵn lẻ (2)  m  n   m  n  4 2006 không chia hết cho Như m+n m-n hai số chẵn=> Dẫn đến mâu thuẫn, khơng có số tự nhiên n thỏa mãn n Bài 16 : Tìm tất số tự nhiên n để :  15 số phương HD : n n  3,153  k    k chia dư Đặt  15 k , Vì  n chia dư 1=> n chẵn n TH1: Nếu n=0=> 4 n 2  n 0  mod   n  15 3  mod   k 3  mod  TH2: Nếu vơ lý Vì số phương chia cho dư Vậy n=0 số cần tìm Bài 17 : Tìm tất các số nguyên n để : n  2n  2n  n  số phương HD : Đặt y n  n  n  n   n  n   n  n       1  y  n  n   n    2 y  n  n   n2  n    : Khi n 0 n   y 7 số phương Với    n 0,   n2  n   n  1  n  1  n     n2  n      n 2 n2  n  0   n  n  y  n  n   y  n  n   n  Ta có : , lúc : S 1.2.3  n  n  1  n  7 Bài 18 : Tìm số nguyên dương n cho số n viết dạng tổng bình phương hai số nguyên dương HD : 2 * Giả sử : Sn a  b với a, b  N   2   2   n  n  1  n  7 64  Sn 4  a, b Dễ thấy: chẵn  a 2 a1, b 2b1 n  n  1  n  7 64 k Đặt có: 2 a1  b1 2.3.5.6.7  16k 4  a1 2a2 , b1 2b2 thay vào ta lại có tiếp: a22  b22 9.5.7  4k 3  mod  , Vô lý không tồn n thỏa mãn 11 n Bài 19 : Tìm tât số tự nhiên n cho   số phương HD: 28  211  n a2  a  N   n a2  482  a  48   a  48  Gỉả sử: p.2q  a  48  a  48  p, q  N  , p  q n,  p  q  ta có: với 13 p  a  48 2  p  2q 96  2q p q  2 5.3  q  a  48 2  q 5 p  q 2  p 7  n 12 11 n Thử lại ta thấy   80  n Bài 20 : Tìm số tự nhiên n để    36  số nguyên tố HD:  n  8  36 n  16n  64  36 n  100  16n Ta có:  n  10   36n  n  10  6n   n  10  6n   n  8  36 số nguyên tố n  10  6n 1   n  3 Để n 3   n  8  36 37 Thử lại với số nguyên tố 2 2 2 2 2 0  n 3 2 n * Bài 21 : Tìm tất số nguyên tố có dạng p n  n  N , biết p có khơng nhiều 19 chữ số HD: Ta thấy n=1 thỏa mãn: Với n  ta có: n n   n  1 nn   n  TH1: Nếu n lẻ thì: a n a.t n 2a TH2: Nếu n 2 t với a  0, t lẻ Khi đó; n n  n  1n      6 1616   210 16   10 10 1019  n  16   TH3: Nếu n 2 Thử nhận thấy n=2, n=4, n=8 thỏa mãn a   p 2 2q Bài 22 : Tìm cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau :  1997 5  q HD : p 1997 2  mod 3  q 1   2  mod 3 52 1 mod 3 52 q 1  mod 3 Ta có : và Vô lý, Vậy không tồn p q thỏa mãn Bài 1: Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất ước tự nhiên p số phương HD: 4 a Vì p số nguyên tố nên p có ước tự nhiên là: 1; p; p ; p ; p Giả sử:  p  p  p3  p n2 , n  N *    4n 4  p  p  p  p  p  p  p (2 p  p ) Mặt khác: ( 1)  4n 4 p  p  p  p   p  p   p  p  p  p  p  (2) Từ (1) (2) 4n  p  p  1  4n 4 p  p  p  p  14 4 2 Do p  p  p  p  4 p  p  p  p   p  p  0  ( p  3)( p  1) 0 Vì p  N  p 3 Bài 1: Tìm số nguyên cho số số bình phương tổng số cịn lại Bài 2: Tìm số ngun dương cho tích bình phương chúng lần tổng bình phương chúng Bài 1: Tìm tất số nguyên tố x để tổng ước tự nhiên x số phương Bài 5: Có hay khơng số nguyên dương khác x y khoảng (998; 2016) cho xy+x xy+y bình phương hai số nguyên dương khác 2n  3n Bài 1: Tìm tất số nguyên tố n để: 11 số phương Bài 1: Cho số tự nhiên có chữ số abcd Biết a, b,c,d chữ số liên tiếp từ nhỏ đến lớn Biết bacd số phương Tìm abcd Bài 2: Tìm số điện thoại có chữ số biết số phương ta thêm vào chữ số đơn vị số phương 15 Dạng 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG a 0 b1b2b3 2.a1a2 a3 2 2 p ,p ,p ,p đồng thời A viết dạng A  p1 p2 p3 p4 với bốn số nguyên tố Bài : Tìm số tự nhiên có chữ số: A a1a2 a3b1b2b3a1a2 a3 HD: Ta có: A a1a2 a3b1b2 b3a1a2 a3 a1a2a3 106  b1b2b3 103  a1a2 a3 a1a2 a3 10  2.103.a1a2 a3  a1a2 a3 a1a2 a3 10  2.10  a1a2 a3 1002001   a1a2 a3 72.112.132 a1a2 a3 phải bình phương số nguyên tố p khác 7, 11, 13 b b b  1000, a1 0  100  a1a2 a3  500 Do   a a a 289 10  p  23  p   17,19     a1a2 a3 361 => Vậy A 289578289 A 361722361 Bài : Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương HD: Gọi abcd số phải tìm, a, b, c, d  N ,0 a, b, c, d 9, a 0 Với k , m  N ,31  k  m  100 , ta có : Như  abcd k  abcd k     2  a  1  b  3  c  5  d  3 m  abcd  1353 m m  k 1353   m  k   m  k  123.11 41.33,(k  m  200) Do :  m  k 123  m  k 41  m 67  m 37      m  k 11 m  k 33  k 56  k 4 Nên  :  abcd 3136 Vậy Bài : Tìm tất ba số tự nhiên lớn thỏa mãn: Tích hai số ba số cộng với chia hết cho số cịn lại HD: Gọi ba số càn tìm là: a, b, c , giả sử :  c b a Ta có: ab  1c bc  1a ca  1b , Như a b c   c b a , Nhân theo vế ta :  ab  1  bc  1  ca  1 abc  abc ab  bc  ca   abc 3ab   c 3 (1) c 2   ab  1 2  a, b TH1 : Nếu số lẻ Từ (1) => 2a  2b  1ab  2a  2b  ab Từ ta tìm a=7, b=3 3b  1a c 3    3b  a 3a  1b  TH2 : Nếu 3b  2a Xét 3b  a  a : dư  a  4,3a  1b  9a  3a   12a   a 7, b 2  c (loại) Xét 3b  2 a làm tương tự trên, ta thấy khơng có ba số thỏa mãn: Vậy ba số cần tìm là: 7; 3; 16 Bài : Cho A số phương gồm chữ số, Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số B số phương Tìm hai số A B HD : B  a  1  b  1  c  1  d  1 m  k , m  N ,32  k  m  100  Gọi A abcd k , Khi : m  k 1111   m  k   m  k  1111 Khi ta có : ( 1)  m  k   m  k     m  k  ,  m  k  hai số nguyên dương Nhận xét thấy tích  m  k 11  m 56  m  k   m  k  11.101  m  k 101   k 45   Và m  k  m  k  200 nên Vậy hai số A 2025, B 3136 Bài : Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm hai chữ số sau đơn vị HD :  k  N ,32 k  100  Đặt abcd k , ta có : ab  cd 1 với 101cd k  100  k  10   k  10   k  10 101 Suy : k  10101  k  1;101 1  k  10101 , lại : Mà 32 k  100  42 k  10  10  k  10 101  k 91  abcd 912 8281 Bài : Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống HD : aabb n ,  a , b  N  ,1 a 9,0 b 9 Gọi số phương phải tìm : n aabb 11.a 0b 11  100a  b  11  99a  a  b  Ta có : (1) Nhân xét thấy : aabb11  a  b11 Mà a 9,0 b 9  a  b 18  a  b 11 n 112  9a  1  9a  Thay vào (1) ta : số phương Bằng phép thử a từ đến ta thấy có a = thỏa mãn => b=4 Vậy số cần tìm 7744 Bài : Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương HD : abcd  x  y  x , y  N  Gọi số phương : Vì y  x  y số phương Ta có : 1000 abcd 9999  10  y 21 mà y số phương nên y =16  abcd 4096 Bài : Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương HD : Gọi số phải tìm : abcd với a, b, c, d  N ,1 a 9,0 b, c, d 9 d   0;1;4;5;6;9 Vì abcd số phương nên mà d số nguyên tố nên d 5 17 2 Đặt abcd k  1000  32 k  100 với k số có hai chữ số mà k có tận => k có tận tổng chữ số k số phương = > k=45 Vậy abcd 2025 Bài : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số số hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại số phương HD : ab  a, b  N ,1 a, b 9 Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm : 2 2 ba  ab ba  10a  b    10b  a  99 a2  b 11 Số viết theo thứ tự ngược lại :  a2  b 11   a  b   a  b  11 2 ab  ba 32.112  a  b    , Vì  a  b 8,2 a  b 18  a  b 11  a  b 11 Khi : , để ab  ba phương : a  b 1 a  b 4 số phương a  b phải số 2 TH1 : Nếu a  b 1  a  b 11  a 6, b 5  ab 65  65  56 33 TH2 : a  b 4, a  b 11  a 7,5 ( loại) Bài 10 : Cho số phương có chữ số, Nếu thâm vào chữ số ta số phương, Tìm số phương ban đầu HD : Số cần tìm 1156 Bài 11 : Tìm số có hai chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số HD : ab  a, b  N ,1 a 9,0 b 9 Gọi số phải tìm ab  a  b    10a  b   a  b  Theo ta có : a+b số phương ab t  t  N  , a  b m  m  N  Đặt Vì 10 ab 99  ab 27 ab 64 Khi ab lập phương TH1 : ab 27  a  b 9 số phương TH2 : ab 64  a  b 10 không số phương ( loại) Bài 12 : Tìm ba số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có có chữ số giống HD : 2n  1,2n  1,2n   n  N  Gọi ba số lẻ liên tiếp : 2 A  2n  1   2n  1   n  3 12 n  12n  11 aaaa 111.a Ta có :  12n  n  1 11  101a  1  101a  13  a  13 với a lẻ a 9 2a    3;9;15  a   2;5;8 Vì a 9  2a  17 2a  lẻ nên => a=5 => n=21 Bài 13 : Tìm số có hai chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số HD : 18 Gọi số cần tìm : ab,  a, b  N ,0 a, b 9, a 0  ab  a  b  a3  b  10a  b a  ab  b  a  b   3ab Theo ta có :  3a   b   a  b   a  b  1  a  b 3a  a 4; b 8     a  b  3  b  a 3; b 7 , lại có a  b a  b  nguyên tố : , Vậy số càn tìm 48 37 Bài 14 : Số 1997 viết dạng tổng n số hợp số với nhau, không viết tổng n+1 số hợp số với nhau, hỏi n ? HD : 4 , Nhận thấy hợp số nhỏ mà 1997   1997   n    499   Gọi n số hợp số có tổng 1997, n nhỏ Lại có : 1997= 4+4+4+…+4+9 ( có 447 số 4), Vậy n= 448 Bài 15 : Phân tích số 2000 thành tổng bình phương số nguyên dương HD : 2 Ta phải tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : x  y  z 2000 Chú ý : Một số phương chia cho dư 2 Mà : 20004  x, y, z số chẵn, Đặt x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1  x1  x2  x3 500 2 Tương tự : x1 2 x2 , y1 2 y2 , z1 2 z2  x2  y2  z2 125 Khơng tính tỏng quát ta giả sử : x  y z  x2  y2 z2 2 => x2  125  3.x2   x2  12 2 2 Với x2 7  y2  z2 76 , mà y2 , z2 chẵn => y3  z3 19 , với y2  y3 , z2 z3 2 Mà 19 chia dư 3, nên không tồn y3 , z3 thỏa mãn : y3  z3 19 2 Với x2 8  y2  z2 61  y2 6, z2 5  x 32, y 24, z 20 2 Với x2 9  y2  z2 44 , lập luận giống x2 7 2 Với x2 10  y2  z2 25  y2 4, z2 3  x 40, y 14, z 12 2 Với x2 11  y2  z2 4  y2 2, z2 0 không thỏa mãn 19 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT SỐ CHÍNH PHƯƠNG 3n  1,  n  N  Bài 1: Chứng minh nếu: n  , Đều số phương n chia hết cho 40 HD: Do n  số phương lẻ nên n  chia cho dư 1, suy n số chẵn Do 3n  số phương lẻ nên 3n  chia cho dư 1, suy 3n8  n8 (1) Do 3n  n  số phương lẻ nên có tận 1; 5; 9, chia cho có dư 1; 0;  2n  1   3n  1 5n  , Do 3n  2n  chia cho dư Mà => 2n5 3n5  n5 (2) nBCNN  5;8  n40 Từ (1) (2) => Bài : Chứng minh n số tự nhiên cho n  n  số phương n bội số 24 HD : n  k ,2 n  m  k , m  N   m 2 a   m 4 a  a  1  Đặt , m số lẻ m  4a  a  1  n   2a  a  1 2 => n số chẵn => n+1 lẻ => k lẻ k 2b   b  N   k 4b  b  1   n 4b  b  1  n 8 Đặt (1) 2 2 k  m 3n  2  mod 3 Mặt khác Mặt khác k m chia cho dư k  m 2  mod 3  k 1  mod 3 m 1  mod 3  m  k 3 Nên đề  2n  1   n  1 3  n3  8;3 1  n24 Hay (2) Mà Bài : Chứng minh rằng: n  2n  n  n chia hết cho 24 với số nguyên n HD: n4  n3  n2  2n n n3  2n  n  n  n  n     n    n  n  1  n  1  n      n    n  1 n  n  1 tích số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho Vì 2, số chia hết cho 4, số chia hết cho n 2 n n 1 Bài : Chứng minh rằng:  26.5  59 HD: 5n2  26.5n  82 n1 51.5n  8.64 n  59  8 5n  8.64 n 59.5n  64 n  5n Ta có: 64 n  5n  64  5 59 Vì (đpcm) 5n 5n   6n 3n  n 91 Bài 5: Chứng minh rằng: Với n nguyên dương có: HD: 5n 5n   6n 3n  n  25n  18n  12 n  5n Ta có: Chia hết cho n n n n  25  12  18   7;13 1  đpcm Chia hết cho 13 Mà Bài 6: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho 3, tổng lập phương chúng chia hết cho HD :                     Gọi hai số phải tìm a b, ta có : a  b 3 20