thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 6 – SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA Số chính phương là bình phương[.]
thuvienhoclieu.com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ – SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA: Số phương bình phương số nguyên Ví dụ : hai số phương II CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG: Số phương có chữ số tận , khơng thể có chữ số tận Để chứng minh số số phương ta số có hàng đơn vị Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với mũ chẵn, không chứa TSNT với mũ lẻ Từ tính chất ta có hệ quả: a) Số phương chia hết cho phải chia hết cho b) Số phương chia hết cho phải chia hết cho c) Số phương chia hết cho phải chia hết cho d) Số phương chia hết cho phải chia hết cho e) Tích số phương số phương f) Với số phương , a số phương b số phương Để chứng minh số khơng phải SCP ta số phân tích TSNT có số mũ lẻ Số phương có hai dạng khơng có SCP có dạng ( , ), , ) Số phương có hai dạng khơng có SCP có dang ( Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương Nếu số số phương, Nếu chia hết cho Hai số phương chia hết cho số nguyên tố số nguyên tố chia hết cho chia hết cho gọi hai số phương liên tiếp Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Nghĩa là: Nếu tích khơng số phương số phương hai số số phương 10 Số phương biểu diễn thành tổng số lẻ : Chứng minh: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Giả sử: với Ta có từ đến có = số hạng (đpcm) PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Bài 1: Cho số Lời giải: Hãy tìm số phương Ta có: Tổng qt: Bài 2: Các biểu thức số sau có phải số phương hay không? a) b) c) d) e) f) g) h) Lời giải a) Ta có: với nên Suy Vì chia cho chia hết cho dư khơng chia hết cho nên khơng phải số phương b) Ta có: có chữ số tận nên khơng phải số phương c) Ta có có chữ số tận nên khơng phải số phương d) Ta có có chữ số tận nên khơng phải số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com e) Ta có có cặp chữ số tận khơng phải số phương f) Ta có có tổng chữ số khơng phải số phương g) Ta có số có tận chia hết cho không chia hết cho chia hết không chia hết chữ số không tận chẵn lần chữ số khơng số phương h) Ta có: số phương, ta xét số Vì có tổng chữ số nên số : chia hết cho mà khơng chia hết cho số khơng số phương Vậy khơng số phương Bài 3: Chứng minh rằng: a) Một số phương chia cho b) Một số phương chia cho có số dư có số dư c) Một số phương chia cho có số dư d) Một số phương lẻ chia cho Lời giải: a) Ta xét trường hợp hoặc có số dư chia cho : + Nếu + Nếu chia dư + Nếu chia Vậy số phương chia cho có số dư b) Ta xét trường hợp chia cho : + Nếu chia c) Ta xét trường hợp + Nếu dư + Nếu chia Vậy số phương chia cho có số dư chia cho chia dư dư hoặc chia dư : dư + Nếu + Nếu chia dư d) Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia chia hết cho dư Vậy số phương lẻ chia cho Bài 4: a) Cho có số dư Chứng minh b) Cho Chứng minh không số phương khơng số phương Lời giải: a) Ta có: Lấy trừ ta được: Mà tích ta có số khơng số phương khơng số phương b) Ta có: Lấy trừ ta được: Ta có Vậy khơng số phương khơng số phương khơng số phương Lưu ý: , kết luận chúng khơng số phương ( Chứ thừa số nguyên tố với số mũ lẻ ) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 5: Cho hai số phương có tổng số chia hết cho phương chia hết cho Lời giải Chứng minh hai số Gọi hai số phương là: Ta xét trường hợp: Theo đầu ta có: + Giả sử chia dư (theo tính chất ) mâu thuẫn giả thiết + Giả sử thuẫn giả thiết) , mà khơng chia hết cho 3, số cịn lại chia hết cho (mâu số nguyên tố (đpcm) Bài 6: Cho số phương gồm bốn chữ số, ta thêm vào chữ số số ta số phương Tìm Lời giải Đặt Vì thêm vào chữ số số Mà: đơn vị ta số đơn vị nên dễ thấy: Vậy hai số cần tìm Bài 7: Tìm số nguyên tố , cho số phương Lời giải Ta có: Mà số phương; số phương số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com +) Với +) Với Vậy số nguyên tố thỏa yêu cầu đề là: Bài 8: Tìm số phương có bốn chữ số, biết hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Lời giải Gọi số phương cần tìm là : Ta có : Lại có : mà Mà : Thay vào , ta được : phải số phương (do Ta có bảng sau: số phương) Ta có : Vậy số cần tìm là : Cách 2: Gọi số phương cần tìm là : Ta có: = Do đó: Ta có: Ta có bảng: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Mà chọn Bài 9: Tìm số tự nhiên để số phương Lời giải Đặt +) Với vơ lí +) Với Bài 10: Viết liên tiếp từ đến số Hỏi: số có 81 ước khơng? Lời giải Giả sử có ước Vì số lượng ước (là số lẻ) nên Mặt khác, tổng chữ số Vì nên thuẫn với (1) Vậy chia hết cho khơng thể có số phương (1) khơng chia hết cho , khơng số phương mâu ước Bài 11: Tìm số có hai chữ số, biết nhân với Lời giải ta số phương Gọi số phải tìm Ta có: hay Vì số phương có thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên +) Với (không thỏa mãn) +) Với thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com +) Với +) Với +) Với (loại n có nhiều hai chữ số) Vậy số cần tìm Bài 12: Chứng minh rằng: số tự nhiên viết toàn chữ số khơng phải số phương Lời giải Gọi số tự nhiên ghi chữ số ( ) Ta có: số tự nhiên chia hết cho không chia hết cho không số phương Bài 13: Một số tự nhiên có tổng chữ số số phương khơng? Vì sao? Lời giải Gọi số tự nhiên có tổng chữ số Ta có: Vì tổng chữ số chia dư nên số chia cho có số dư có dạng Mà số phương khơng có dạng nên số tự nhiên n khơng số phương Vậy số tự nhiên có tổng chữ số Bài 14: Cho Hỏi khơng số phương có số phương khơng? Vì sao? Lời giải Ta có: có chữ số tận khơng số phương PHẦN III CÁC BÀI TRONG ĐỀ THI thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 1: Chứng minh ngun dương khơng phải số phương với số (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 – 2016) Lời giải Ta có chia cho dư chia cho dư Do chia cho Ta có Vậy khơng chia hết cho , mà dư số nguyên tố nên không số phương khơng số phương Bài 2: Chứng minh khơng phải số phương (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi 2017 - 2018) Lời giải Ta có Ta thấy Nên chia Vậy dư , mà khơng có số phương chia dư khơng số phương Bài 3: Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không số phương (Trích đề thi HSG lớp THCS Nguyễn Huy Tưởng năm học 2004-2005) Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp Ta xét Vì Mặt khác Vậy nên khơng chia hết không chia hết cho chia hết cho không chia hết Bài 4: Cho phương khơng số phương với Chứng minh khơng số (Trích đề thi HSG Bắc Ninh 2018-2019) Lời giải Ta có Ta có: Suy Vậy khơng số phương Bài 5: Chứng tỏ tổng sau khơng số phương khơng số phương (Trích đề thi Olympic lớp THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012) Lời giải Ta có: Để số phương Điều vơ lí Vậy khơng số phương Bài 6: Cho a) Chứng minh chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com b) Chứng minh khơng số phương (Trích đề thi HSG lớp Đa Phúc 2010-2011) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: Mặt khác: khơng chia hết cho khơng chia hết cho 25 Ta có Bài 7: Cho không chia hết không số phương Chứng minh số phương (Trích đề thi Olympic lớp Nghĩa Đơ 2010-2011) Lời giải Ta có: Nên thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Nên số phương Bài 8: Cho a) Chứng minh chia hết cho b) Chứng minh không số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Anh Sơn 2011-2012) Lời giải a) Ta có: Ta lại có có tổng chữ số nên chia cho dư Ta có Vậy chia chia dư có số dư dư phép chia Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vì hai số nguyên tố nguyên nhau, b) Ta có , nên có chữ số tận nên: có chữ số tận Vậy khơng số phương số phương có tận Bài 9: Tìm số phương có bốn chữ số, viết chữ số: (Trích đề thi HSG lớp THCS Sơn Đông 2011-2012) Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Gọi số phương phải tìm - Vì số phương khơng có chữ số tận 3; phải có tận - Số có tận 86 chia hết cho không chia hết không số phương có tận 36 Vậy số phương 8836 (với ) Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân với ta số phương? (Trích đề thi HSG lớp THCS Sơn Đơng 2013-2014) Lời giải Gọi số phải tìm ( ) Ta có: hay Vì số phương có thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên +) Với +) Với +) Với (loại n có nhiều hai chữ số) Vậy số cần tìm Bài 11: Cho tổng Chứng tỏ số phương (Trích đề HSG tốn THCS Hồng Hà năm 2013 – 2014) Lời giải Ta có: Vậy số phương Bài 12: Cho tổng (với Chứng tỏ số phương (Trích đề thi HSG huyện Lương Tài năm học 2015 – 2016) ) Lời giải Xét dãy số tổng Vì nên , từ đến có (số số hạng) số phương Bài 13: Chứng minh rằng: với số tự nhiên khác có số lượng ước tự nhiên số lẻ số tự nhiên số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Vũ Thư, năm học 2018 – 2019) thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Lời giải Gọi số tự nhiên Nếu số phương Nếu Phân tích thừa số nguyên tố ta có: Khi số lượng ước Theo đề ta có: (với số nguyên tố) số lẻ đề số lẻ số chẵn Đặt Ta Vậy số phương Bài 14: Tìm để số phương (Trích đề thi HSG lớp trường THCS Sơn Tây, năm học 2015 – 2016) Lời giải Giả sử số phương Đặt +) Nếu +) Nếu khác tính chẵn lẻ vế trái tính chẵn lẻ Mà vế phải là số lẻ nên không thỏa mãn không chia hết cho vô lý Vậy khơng tồn để số phương Bài 15: Tìm số phương có chữ số biết số gồm số đầu lớn số gồm số sau đơn vị (Trích đề thi HSG lớp trường THCS Liên Hòa năm học 2008 – 2009) Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm Theo đề ta có: , , Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Mà nên Mà Vậy số cần tìm HẾT thuvienhoclieu.com Trang 15