Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: r I
oAN com
NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE MON TOAN LOP 6 THEO CHUONG TRINH MOI
(Liên tục khai giảng các khóa học bồi dưỡng Toán trực tuyến dành cho các em HS trên toàn quốc khối 6, 7, 8, 9)
CHUYEN DE 6: SO NGUYEN TO - HOP SO o * Giáo viên giảng dạy: Thầy Thich «+ Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gmail.com s* Website: www.toanlop6.com + oo 7 s* oo A LY THUYET CO BAN a Dinh nghia:
- §S6 nguyén to 1a s6 tu nhién lớn hon 1, chi có hai ước là 1 và chính nó - Hop s6 là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước
b Tính chất:
v Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng minh không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a
Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ước khác I và a
_ Cách xác định số lượng các ước của một số:
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = a* b .c” thì số lượng các ước của M là (x + 1)( y + 1) (z + 1)
Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a: p hoặc b: p
Đặc biệt nếu a" : p thì a:p
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 3n + 1 hoặc 3n + 2 Mọi số nguyên tố a lớn hơn 3 thi a? chia cho 3 du 1
Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tổ hơn kém nhau 2 đơn vị
Một số bằng tông các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là “Số hoàn chỉnh' LN NN AA Vi du: 6=1+2+3nén 6 la mét sé hoan chỉnh B BAI TAP VAN DUNG
Trang 2Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co Bài 1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 Tổng của 25 số nguyên tổ đó là số chăn hay lẻ? HUONG DAN:
Ta thấy trong 25 số nguyên tố có 1 số chăn còn lại là 24 số lẻ Tổng của 24 số lẻ là một số chăn nên tổng của 25 số nguyên tô nhỏ hơn 100 là số chẵn
Bài 2: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012 Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó
HUONG DAN:
Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chăn Mà số nguyên tố chăn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2
Bai 3: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố
HUONG DAN:
Tong cua 4 s6 nguyén t6 là một số nguyên tô => tông của 4 số nguyên tổ là 1 số lẻ => trong 4 số đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chăn Mà số nguyên tố chăn duy nhất là 2 Vậy 4 số nguyên tố cần tìm là: 2; 3; 5; 7
Bài 4: Tống của hai số nguyên tổ có thể bằng 2003 được không?
HUONG DAN:
Vì tổng của 2 số nguyên tô bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố
chăn Mà số nguyên tố chăn duy nhất là 2 Do đó số nguyên tố còn lại là 2001 Do 2001
chia hết cho 3 và 2001 > 3 Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố => Tống của hai số nguyên tố không thê bằng 2003
Bài 5: Tìm hai số nguyên tố, sao cho tổng và hiệu của chúng đều là số nguyên to
HUONG DAN:
Vi tong hai sô nguyên là một sô nguyên tô nên suy ra: Một trong hai sô là sô nguyên tô 2 Gọi sô nguyên tô còn lại là a
Trang 3
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co => Bài toán đưa về dạng tìm một số nguyên tố a sao cho a — 2 và a + 2 cũng là số nguyên to
- Nếua=5 =>a-2=3;a+2 =7 đều là số nguyên tố
-_ Nếua #5 và a> 5 Xét 2 trường hợp: 3k + 1 và 3k + 2
+achia3 du 1 =>a=3k+1=>a+2=3k+1+2=3k+3 chia hết cho 3 : không là số nguyên tố (Loại)
+a chia 3 dư 2 => a= 3k + 2 => a— 2 = 3k + 2 - 2 chia hết cho 3:
không là số nguyên tố (Loại)
Vậy chỉ có số nguyên tố a duy nhất thoả mãn là 5
Hai số nguyên tố cần tìm là 5 và 2
Bài 6: Tìm số nguyên tố có ba chữ SỐ, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta
được một số là lập phương của một số tự nhiên HUONG DAN: Gọi số tự nhiên đó là a Ta có 10= 1000; 53 = 125 => 125 <a3< 1000 => 5 <a <10 Ta có bảng sau: a 5 6 7 8 9 a5 125 216 343 512 729 S6 can tim 521 612 343 215 927 Kết luận TM loại loại loại loại Vậy số cân tìm là 521
Bài 7: Tìm sô tự nhiên có bôn chữ sô, chữ sô hàng nghìn băng chữ sô hàng đơn vị, chữ sô hàng trăm băng chữ sô hàng chục và sô đó việt được dưới dạng tích của ba sô nguyên tô
liên tiệp
Giải:
Goi sé can tim co dang la: abba = 1001a + 110b = 11.(91a + 10b)
Vì sô này được việt dưới dạng tích của ba sô nguyên tô liên tiêp nên ta có các trường hợp
sau:
Trang 4
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I
oAN com
+) abba = 5.7.11 => 9la+ 10b = 5.7 = 35 khong co g14 tri a, b nào thỏa mãn
+) abba = 7.11.13 => 9la+ 10b = 7.13 = 91 => a=1 vab=0 la thỏa mãn
+) abba = 11.13.17 => 91a + 10b = 13.17 = 221 không có giá trị a, b nào thỏa mãn Vậy số cần tìm là: 1001 Bài 8: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số Tìm số dư r HUONG DAN: Ta co: pF42k+r.=2.3.7k+r
Vì r là hợp số và r < 42 nên r phải là tích của 2 số r = x.y
X va y khong thé la 2, 3, 7 và cũng không thể là số chia hết cho 2, 3, 7 được vì nếu thế thì
p không là sô nguyên tô
Vậy x và y có thể là các số trong các số ƒ5,I1,13, } Nếu x=5 và y=11 thir =x.y =55>42
Vậy chỉ còn trường hợp x = 5, y = 5 Khi đó r= 25
Bài 9: Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50
HUONG DAN:
Các số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50 là: 5 và 7; 11 và 13; 17 và 19; 29 và 31; 41 và 43
Bài 10: Tìm sô nguyên tô, biệt rắng sô đó băng tông của hai sô nguyên tô và băng hiệu của
hai sô nguyên tô Giải: Giả sử a, b, c, d, e là các số nguyên té (d > e) Theo bài ra ta có: a=b+c=d—e(*) Từ (*) => a > 2 => a là số nguyên tô lẻ
Trang 5Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com => b+c=d-—e là số lẻ do b, đ là các số nguyên tố => b, d là số lẻ => c, e 1a s6 chan => c=e =2 (do e, c là các số nguyên tô) =a=b+tc=d-2=>d=b+4 vậy ta cần tìm số nguyên tố b sao cho _b + 2, b + 4 cũng là số nguyên tố > b=3 Vậy số nguyên tố cần tìm là 5 Bài 11: Tìm sô nguyên tô p, sao cho các sô sau cũng là sô nguyên tô: a) p†+2vàp+ 10
- Néup=2 thi p+2=4 vap+ 10 = 12 đều không phải là số nguyên tố
-_ Nếup=3=>;p+2=5;p+ 10 = 13 đều là số nguyên tố
-_ Nếup >3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k + 1, 3k + 2 với k € N*
+Néu p =3k+1=>p+2=3k+3 chia hét cho 3: khong 1a sé nguyén t6
+ Nếu p= 3k +2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố Vậyp=3 b) p+10vàp + 14 Nếu p=2 thì p + 10 = 12 và p + 14 = 16 đều không phải là số nguyên to Nếu p >3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k +2 vớik€N* +Nếu p= 3k, p là nguyên tố = p = 3 => p + 10 = 13;p+ 14= 17 đều là số nguyên tó + Nếu p = 3k + 1 =>p + 14= 3k + 15 chia hết cho 3: không là số nguyên tó + Nếu p = 3k +2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố Vay p=3 c) p+ 10 vap+ 20 Néu p =2 thi p+2=12 vap + 10 = 22 déu khong phai la sé nguyén to
Trang 6Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Néu p > 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 voik € N* + Nếu p= 3k, p là nguyên tố => p = 3 => p + 10= 13; p+ 20 = 23 đều là số nguyên tó + Nếu p = 3k + 1 =>p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3: không là số nguyên tó + Nếu p = 3k +2 =>p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố Vay p=3 d) p+2,p+6,p+8,p+12,p+14 +Néu p =2 > p +2 =4 (loai) +Néu p =3 > p + 6=9 (loai) +Néu p=5 > p+2=7,p+6=I11,p+8=13, pt 12=17, p+ 14=19 (thoa man) +Nếu p > 5, ta có vi p là số nguyên tố nên > p khong chia hét cho 5 > p = 5k+1, p = 5k+2, p = 5k+3, p = 5k+4
-Voi p =5k + 1, tacd: p+ 14=5k + 15 =5 (k+3) : 5 (loat) -V6i p = 5k + 2, tacé: p+ 8=5k + 10 =5 (k+2 ): 5 (loai) -Với p= Sk + 3, ta có: p + 12 = Sk+ I5 = 5 (k+3) : 5 (loại) -V6i p =5k + 4, taco: p+ 6=5k + 10 =5 ( k+2) : 5 (loại) > không có giá trị nguyên tố p lớn hơn 5 thỏa mãn Vậy p = 5 là giá trị cần tìm Bài 12: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Biết p + 2 cũng là số nguyên tố Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6 HUONG DAN: Ta có: 6k + 5= 6(k+ 1)-6 +5=6(k+1)—1 =6n - 1
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6k - 1 hoặc 6k + 1 nếu p= 6k+1 thi
p†2=6k+3=3(2k+1)chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số(vô lí)
do đó p=6k-I=>p+1=6k — 1 + 1 = 6k chia hét cho 6(dpem)
Trang 7
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Hoặc p = 6k + Š =>p + l = 6k + 5 + I = 6k + 6 = 6(k + 1) chia hét cho 6 Cách 2: Vi p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k€ N*) +) Néu p=3k+ 1=>p+2=3k+1+2=3k+3 =3(k+ 1) : 3 là hợp số (Loại) Suy ra: p = 3k +2 Tacó:p+1=3k+2+1I=3k+3=3(k+I):3 Ta có: p = 3k + 2 là số nguyên tố => k là số lẻ => k + 1 là số chan =>k+1:2
Nén suy ra: p + 1 = 3(k + 1) : (3.2) = 6 (dpem)
Bài 13: Cho a + b =p, p là một số nguyên tố Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau HUONG DAN: Goi d là ước chung lớn nhất của a và b Theo bài ra ta có: a, b<p > (t => a+bid=>pid => de {1; p}, map>a,b
=> d= I = a, b là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 14: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng?
HUONG DAN:
Goi 3 s6 nguyén t6 do 1a a,b,c
Ta có: abc =5(a+b+c)
=> abc chia hét cho 5, do a,b,c nguyén tố
=> chỉ có trường hợp 1 trong 3 số =5, giả sử là a =5 => bc = b+c +5
=> be—b-—c=5
=> b(c - 1)-—(c-—1)-1=5
Trang 8Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co =>(c-1)\(b- 1)=5+1=6 => (b-1).(c-1) = 6 {b-1 =1 => b=2; c-1 =6 => c=7 {b-1=2, c-1=3 => c=4 (loai) Vậy 3 số nguyên tố đó là 2, 5, 7 Bai 15: S6 a* + a? + 1 có thể là một số nguyên tô hay không? HUONG DAN: Số a? + a? + 1 có thể là một số nguyên tố vì với a = l1 thì a'+ a?+ 1=1+1+1=3 là số nguyên tố Bài 16: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n # 0 thì số A = 111 1 2 111 1 là hợp mt chữ số1 r: chữ số 1 SỐ HUONG DAN: A=111 12111 1= 111 11.10?1† 111 1 ¬— mchữsố1 r'tchữsố1 rr+1 chữ số 1 +1 chữ số 1 =111 11.(10*1 + 1) Tt+1 chữ số 1 Vậy số A được phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên số A là hợp só (dpem) Bai 17: Cho p va p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh răng p + 8 1a hop so HUONG DAN Nếu p > 3 là số nguyên tố thì p tồn tại một trong 2 dạng: 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k € N*)
Néu p = 3k + 2 thì p+ 4= 3k + 6 chia hết cho 3: là hợp số (trái với giả thiết đã cho) Vay p=3k+1=>p+8=3k+1+8=3k+9=3.(k+1) chia hét cho 3: là hợp số
(dpcm)
Trang 9
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co Bai 18: Cho p va 8p — 1 1a cdc s6 nguyén t6 Chtmg minh rang 8p + 1 1a hop số HUONG DAN p là một số nguyên tố nên p ton tại ở các dạng: 3k; 3k + 1 hodc 3k + 2 (k € N*) - Néup=3k thi 8p+1=8 - Néup=3k+2 thi 8p— 1 =8.(3k+2) —1=24k + 16-1 = 24k +15 chia hết cho 3: là hợp số (trái với giả thiết)
Bài 19: Có phải với mọi số có dạng 6n — 1 hoặc ón + 1 (n € N*) đều là số nguyên tố hay không?
Giải: Với n=4 => 6n + I =6.4+1= 25 là hợp số Với n= 13 =6n— I =6.13— 1= 77 là hợp số
Vậy với mọi số có dang 6n — l hoặc 6n + I chưa chắc là số nguyên td
Bài 20: Có tồn tại 1000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số không? Giải:
Xét A = 1.2.3 1001
Xét dãy số: A +2; A +3; A+4; ; A + 1001
Ta thấy: A+2:2;A+3:3;A+4:4; ; A + 1001 : 1001
Vậy có tồn tại 1000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
Bài 21: Chứng minh rằng không thê có hữu hạn số nguyên tó
Gial:
Trang 10
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Giả sử tập hợp các số nguyên tố là hữu hạn và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 2; 3; 5; Lp Xét số A = 2.3.5 p + 1 => A là hợp số => A : q với q là số nguyên tố thuộc vào tập hợp trên (q>2) Mà 2.3.5 p q A=235 ptliq _ _ Cu xu
Suy raL | 23.5 piq => I:q=>q€U(I)= {1} vô lí Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn
Bài 22: Cho số tự nhiên a > 2 Chứng minh rằng số a! — 1 có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn a
Giải:
GọI m = al — I Do a> 2 nên m> T
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguyên tố Goi p là ước nguyên tố của m Ta sẽ chứng minh rằng: p > a Thật vậy, giả sử p < a thì: a! = 1.2.3 a: p, màm =al—I:p Suy ra: 1 : p v6 li
Vay a! — 1 có ít nhất I ước nguyên tổ lớn hơn a
Bài 23: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết được dưới dạng 4k + I hoặc 4k + 3 (n € N*) Giải: Gọi a là số nguyên tố lớn hơn 2 +) Với a = 3 => a= 4.0 + 3 thỏa mãn +) Với a > 4 thì: a= 4k; 4k + 1; 4k +2; 4k + 3
Trang 11
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I
oAN com
Vì a là số nguyên tố nên a = 4k, 4k + 2 loại
Vậy a sẽ được viết dưới dạng 4k + 1; 4k + 3 Bài 24: Cho a =^ = Xét xem với n bằng 3, 5, 7, 9 thì n là số nguyên tố hay hợp số? GIải: 3 z z Với n =3 =a=—=;:= 3 là sô nguyên tô Các ý còn lại các em HS tự thay nhé Bài 25: Chứng minh rằng tồn tại 2016 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp só Giai: Goi N = 1.2.3 2017 Xét day s6 sau: N+2;N+3;N+4; ; N +2016; N+ 2017 Tacó:N+2:2;N+3:3;N+4:4; ;N+2017:2017
Vậy, tồn tại 2016 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
Bài 26: Chứng minh rằng chỉ có duy nhất một bộ ba số nguyên tố mà hiệu của hai số liên
tiếp bằng 4
Hướng dẫn giải:
- Với số nguyên tố 2 không có hai số nguyên tố nào thỏa mãn điều kiện bài toán
- Với số nguyên tố 3 có hai số nguyên tố 7 và 11 là thỏa mãn Vì: 7— 3 =4; 11—7=4
- Với các số nguyên tô lớn hơn 3 tồn tại hai dang 3k + 1 hoặc 3k + 2
- Trong ba số nguyên tố tồn tại hai số nguyên tố khi chia cho 3 có cùng số dư
+) Giả sử hai số nguyên tố a, b và a = 3k + 1,b = 3p + 1 thỏa mãn hiệu của hai số a —b bang 4 (a> b, a, b, k, p € N*) thi:
Trang 12
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co 3k+1~ (3p+1)=3k~ 3p =3.(k-p)=4 Mà 3.(k - p) : 3, 4 không chia hết cho 3 nên suy ra: Không có giá trị k, p nào thỏa mãn
+) Giả sử hai số nguyên tố a, b và a = 3k + 2, b = 3p + 2 thỏa mãn hiệu của hai số a —b bang 4 (a> b, a, b, k, p € N*) thi:
3k +2—(3p + 2) =3k — 3p =3.(k- p) =4
Mà 3.(k - p) : 3, 4 không chia hết cho 3 nên suy ra: Không có giá trị k, p nào thỏa mãn
Vậy, chỉ có ba số nguyên tố 3, 7, 11 là thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 27: Chứng tỏ rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia hết
cho 6
Giải:
+) Ta có: a + n là số nguyên, a> 3 => n là số chăn => n chia hết cho 2
+) Vì ba số a, a + n, a + 2n là ba số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra: Tôn tại hai số trong ba sô trên khi chia cho 3 có cùng sô dư
Gi1ả sử a và a + n là hai sô có cùng sô dư khi chia cho 3
Suyra:a+n—-a:3=>n:3
Suy ra: n chia hết cho (2.3) = 6
Bài 28: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì: (p - 1)(p + 1) chia hết cho
24
Giải:
Trang 13
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I
oAN co
+) Xét ba s6: p— 1; p; p + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp
Ma p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 3
Suy ra: Một trong hai số p — 1 hoặc p + 1 chia hết cho 3 => (p - 1)(p + 1) : 3 +) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p là số lẻ => p = 2k + => (p-I)p+1)=(2k+1- 1)2k+1+1)=2k.(2k+2)=4.k(k+ 1) Mà k, k + 1 1a hai số tự nhiên liên tiếp => k.(k + 1) : 2 > (p-1)(pt+1):8 > (p-1)(p+1): 24
Bài 29: Tìm số nguyên tố có ba chữ số › biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì
được một số là lập phương của một số tự nhiên GIải:
Gọi số nguyên tố có ba chữ số là: abc Suy ra: Số ngược lại là: cba
Suy ra: 5< cba < 93 Ta có bảng sau:
cba 53=125 6° = 216 P= 343 83 = 512 93 = 729
abc 521 612 343 215 927
Thoa man | Loại Loại Loại Loại
Suy ra: Số cân tìm là: 521 Bài 30: Tìm 3 số nguyên tổ liên tiếp sao cho: p? + q2 + 1? cũng là số nguyên tó GIải: Gia su p <q <r: +)p=2=>>q=3:r=5Sptgtr=2?+ 3? +5? =38 1a hop sé (Loai) +)p=3=>q=5;r=7=>pˆ+q+r7?=3?+ 2+7? = 83 là số nguyên tố (thỏa mãn)
Trang 14Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co +) Với p > 3: Mọi số nguyên tổ lớn hơn 3 tồn tại một trong hai dạng: 3k + 1; 3k + 2 Nếu p= 3k + 1 => p?= (3k + 1)? = 9k? + 6k + 1 chia 3 dw 1 Nếu p= 3k + 2 = p?= (3k +2)? = 9k? + 12k + 4 chia 3 du 1
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì bình phương của chúng luôn chia 3 du 1
Suy ra: p”; q2; ?? khi chia cho 3 đều du 1 Suy ra: pˆ + q2 + r7? chia hết cho 3 (Loại)
Bài 31: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tổ a, b, c sao cho abc < ab + be + ca Giải: GI1ả sử a<b <c = abc < ab + be + ca < 3bc => a < 3 =>a= 2 > 2bc<2b + bc + 2c “> be<2(b+c) > be <4c > b<4 > b=3 la thoa man 3c<2(3+c) > c<6 > c=5 là thỏa mãn
=> Bộ 3 số (a; b; c) là: (2; 3; 5) và các hoán vị của chúng
Bài 32: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho p1 + qP =r Giải: Ta có: p1+ qP =r; p, q, r là các số nguyên tố => r là số nguyên tổ lẻ => một trong hai số p1, qP là số chăn Giả sử p =2 => 21+ qˆ =r
Trang 15Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com +) Với q= 3 =>r= 2 + 32 = 17 là các số nguyên tổ (Thỏa mãn) +) Với q> 3 => q= 2k + I vì q là số lẻ
Ta có: q là số nguyên tổ lớn hơn 3 nên suy ra: q2 chia cho 3 du 1
Với q= 2k + I =>21+ q2= 2#! + q2 = 2.4* + q2 chia hết cho 3 => r chia hết cho 3 là hợp
số (Loại)
KL: (p, q,r)= @, 3, 17); G, 2, 17)
Bài 33: Tìm các số nguyên tổ x, y, z thoa man x¥ + 1 =z
GIải:
Nếu x là số lẻ => xỲ là số lẻ => x? + 1 là số chăn => z không phải là số nguyên tố
Suy ra: x là số chăn, x là số nguyên tố => x = 2
Suy Ta: 2 + ]=z
+) Với y= 2 =>z= 2? + 1 = 5 là các số nguyên tô thỏa mãn +) Với y= 3 =>z= 23 + 1 =9 là hợp số (Loại)
+) Với y > 3: Suy ra: y là số nguyên tố lẻ => y = 2k + I
Suy ra: z= 27! + 1 = 4.2 + 1 chia hết cho 3 => z là hợp số (Loại) KL: (x, y, z) = (, 2, 5)
Bài 34: Cho các số p = b° + a, q= aP +c,r= c*+b (a, b, c € N*) là các số nguyên tố Chứng minh răng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau
Giải: Via, b,c € N*:
+) Nếu a, b, c cling chan hoac cung lé thi p, q, r là các số chăn lớn hơn 2 (Loại)
Trang 16
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I
oAN co
+) Nếu hai số trên cùng lẻ, số còn lại là chấn: Giả sử a, b cùng lẻ, c là số chăn nên suy ra: p = bf +a là sô chăn, mà p là sô nguyên tô nên suy ra: p= 2 =>a=b=1
>q=l+c;r=c+rl==q=t
+) Nếu hai số trên cùng chăn, số còn lại là số lẻ: Giả sử a, b cling chan, c là số lẻ
Suy ra: p = b* + a là số chăn, mà p là số nguyên tổ => p = 2
Mà a, b € Nš nên suy ra: p > 2 (Loại)
Vậy 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau
Bài 35: Tìm số nguyên tổ x, y biết:19x + 57 = yŸ Giải: Ta có: 19x + 57 = y? <=> ]9.(x† + 3) = y? Mà 19 là số nguyên tố nên suy ra: y? : 19 => y : 19, mà y là số nguyên tố => y = 19 f> xf+3= 192: 19= 19 => xf'=ló=2# => x=2 là số nguyên tổ (thỏa mãn) D/s:x =2, y= 19 Bai 36: Cho x, y, z, t la các số nguyên dương thỏa mãn x7 + z? = y? + t? Chimg minh rang: x+y+z + t là hợp số Giải: Xét: x+yˆ+z2+f?—-(x+y+z+tÐ)=(-x)+(yˆ-y)+(Z-z) + ( - Ð =x(x- l)+ y(y- l)+z{z- 1) + t(t- 1)
Vì x— 1, x là hai số nguyên liên tiếp => (x - 1).x : 2
Tương tự: y(y - 1): 2; Z(z - l): 2; tít - I): 2
Trang 17
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Suy ra: x?+ yˆ+zˆ+t-(x+y+z+9):2(1) Mặt khác: x” + yˆ + zˆ + t? = (x + z?)+(yˆ+t)=(yˆ+tf)+(y+t)=2(y?+t):2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x+y+z+t:2
Vì x, y, z, là các số nguyên dương nên x + y + z + t> 4 nên suy ra: x + y + z + t là hợp SỐ Bài 37: Tìm các số nguyên tô có bốn chữ số abcd sao cho ab, øc là các sô nguyên tô và bŸ +c=cd+b GIải: Ta có: ab, đe, abcd là các số nguyên tố => b, c, d là các số lẻ Ta có: b+c =cd +b <=> b*-b=10c+d-c <> b(b- 1)=9e +d <=>(b-1)b=9e+d Vì b— 1, b là hai số tự nhiên liên tiếp, b là số lẻ, b là chữ số nên suy ra: (b - 1).b € {6; 20; 42; 72}
+) Nếu 9c + d = 6, vì c là số lẻ nên 9c + d > 9 loại
+) Néu 9c + d= 20, vì e là số lẻ nên: e = 2, d = 2 là thỏa mãn Vì đ là số lẻ nên d = 2 loại
+) Nếu 9e + đ = 42, vì c, d là số lẻ nên không có giá trị c, d nào thỏa mãn
+) Nếu 9e + đ= 72, vì c, d là số lẻ nên c = 7; d= 9 là thỏa mãn
Vậy số abcd = a979
Vi a979 là số nguyên tổ nên: a + 9 + 7 + 9 =a + 18 + 7 không chia hết cho 3 => a có thể thuộc vào tập hợp: {1; 3; 4; 6; 7; 9} a I E Ẻ L6 |7 E |
Trang 18Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co abcd 1979 3979 4979 6979 7979 9779 = a979 = 23.173 | =13.383 |=7.997 |=79.101 |= 7.11.127 Thoa Loại Loại Loại Loại Loại mãn Vi a979 là số nguyên tố nên a = 1 là thỏa mãn Vậy số cần tìm là: 1979 Bài 38: Tìm 24 chữ số tận cùng của 1001 Giải: Ta co: 100! = 1.2.3.4.5 100 Số thừa số 2 trong tích trên là: | + | + | + | + ] + val =50+25 +12 4 8 16 32 +64+3+1=99 Số thừa số 5 trong tích trên là: ¬ nh | =20+4= 24 => 24 chữ số tận cùng của 100! Là chữ số 0 Bài 39: Cho số 100! được phân tích ra các thừa số nguyên tổ là: 2*.3Y.57.7!.11m,13" Tìm x, y, z, t,m, n GIải: - Bước 1: Các số nguyên tố nhỏ hơn 100 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 - Bước 2: Giá trị số mũ của từng lũy thừa là:
+) x= [FP] + FE] + [FS] + [FE] + [] + [Fe] = 50 + 25 + 12+ 6 +3 +1 = 99
+yy= [PS] + [A] + [A] + |e] = 334+ 11 +3 +1 =48 9 27
+)2= [2] + [Ee] -20+4=24
+) t=[-|+ [2] =14+2= 16
Trang 19
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti r I oAN co 9n=E] _ [100] _ +)n= | 7 Sô mũ của các sô nguyên tô còn lại các em làm tương tự nhé
Trang 20Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti r I
oAN co
CHUYEN DE 6: SO NGUYEN TO - HOP SO
% Giáo viên giảng dạy: Thầy Thich « Tel: 0919.281.916 (Zalo) “¢ Email: doanthich@gmail.com s* Website: www.toanlop6.com BAI TAP REN LUYEN Bài 1: Cho A = 5 + 57 + %3 + +5!90 a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?
b) Sô A có phải là sô chính phương không?
Bai 2: Cho a, n eN*, biết a": 5 Chứng minh: a? + 150 : 25
Bài 3: Tìm các số nguyên tổ p để 4p+11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30
Bài 4: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số 8) 4=13.15.17+91 b) B=2.3.5.7.11413.17.19.21 C) C =12.3+3.41+4 240 đ) D=45+36+72+81 €) Z—=91.13—29.13+12.13 Ø) G=4.19—5.4 h) H =3°+3.17+34.3° i) 1=74+7 474747 k) 4=1.3.5.7 13+20 l) B =147.247.347-13 Bai 5: Cho n=29k vol ken VOi gia tri nao cua k thi n: a) Là số nguyên tố b) Là hợp số c) Không là số nguyên tố cũng không là hợp số
Trang 21Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Bai 6: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 là hợp số
Bài 7: Chứng minh rằng: nếu §p-I và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp só Bài 8: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tó
Bài 9: Viết dãy số tự nhiên từ I đến 101 làm thành một số A
a) A có phải là hợp số hay không?
b) A có phải là số chính phương hay không? c) A có thể có 35 ước hay không?
Bài 10: Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi p? + 2003 là số nguyên tố hay hợp số? Bai 11: Cho p va p + 8 đều là số nguyên tố (p > 3) Hỏi p + 100 là số nguyên tổ hay
không?
Bài 12: Tìm số tự nhiên n sao cho p = (n - 2)(n? + n - 5) là số nguyên tố Bài 13: Tìm chữ số a để 23a là số nguyên tố
Bai 14: Tìm hai số nguyên tố có tông bằng 309
Bài 15: Chứng minh rang hai sé 2008! — 1 va 2008! + 1 không thể đồng thời là số
nguyên tố
Bai 16: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng: (a - 1)(a + 4) chia hết cho 6
Bài 17: Chứng minh rằng nếu p và 8p? + 1 là hai số nguyên tổ thì 8p? — 1 là số nguyên tó Bài 18: Cho 2"— 1 là số nguyên tố Chứng minh rang m là số nguyên tố
Bài 19: Cho 2" + 1 là số nguyên tố với n > 2 Chứng minh rằng 2"— 1 là hợp só
Bai 20: Cho m va m? + 2 là hai số nguyên tố Chứng minh rằng mỶ + 2 cũng là số nguyên tô Bài 21: Tìm các số nguyên tổ x, y là nghiệm của phương trình: x'-2yˆ—-1=0 Bài 22: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r Tìm r biết rằng r không là số nguyên tô
Trang 22Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Bài 23: Tìm số nguyên tố p sao cho p và p + 3 đều là số nguyên tố Bài 24: Tìm các số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: p+2vap+ 10 Bài 25: Chứng minh rằng:
a) Mọi số nguyên tổ lớn hơn 2 đều có dạng: 4 + I b) Mọi số nguyên tổ lớn hơn 3 đều có dạng: 6 + l
Bài 26: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 1 : 6
Bài 27:
a) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p? — q7 : 24
b) Nếu a,a+n,a +2n (a,n€ N*) là các số nguyên tổ lớn hơn 3 thì n : 6
Bài 28: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho 7p + q và pq + 17 đều là các số nguyên tố Bài 29: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi n2 + 2018 là số nguyên tố hay là hợp số?
Bài 30: Giả sử p, p? + 2 là các số nguyên tô Chứng minh rằng: p + p” + 1 cũng là số nguyên tố
Chúc các em học tập tốt ©!
Thay Thich
Trang 23
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co HUONG DAN BAI TAP REN LUYEN Bài 1: Cho A = 5 + 52 + 53 + +5100 c) Số A là số nguyên tố hay hợp số? đ) Sô A có phải là sô chính phương không? Hướng dẫn Giải: a) A=5.(1+5+52+ + 5”): 5 là hợp số
b) Ta có: 5 : 5 nhưng 5 không chia hết cho 25; 52 : 5 và 25; 5 : 5 va 25; .; 51:5 va 25 nên suy ra: A : 5 nhưng không chia hết cho 25 nên suy ra: A không phải là số chính phương
Bai 2: Cho a, n eN*, biết a": 5 Chứng minh: a2 + 150 : 25 Giải:
Ta có: a": 5 =>a: 5 => a2”: 25, mà 150 : 25 = a^+ 150: 25
Bài 3: Tìm các số nguyên tố p dé 4p+11 1a sé nguyén tố nhỏ hơn 30 Giải: +®)p=2 =>4p + II =4.2+ 11 = 19 là số nguyên tố +)p=3 = 4p + II =4.3 + II =23 là số nguyên tố +)p>5=>4p + 1II> 4.5 + II =31 >30 loại Bài 4: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số 8) 4=13.15.17+91 = 13.15.17 + 7.13 : 13 và lớn hơn 13 là hợp số b) B=2.3.5.7.11413.17.19.21 = 2.3.4.7.11 + 13.17.19.3.7 : 3 và lớn hơn 3 là hợp số €) C=12.3+3.41+240 : 3 và lớn hơn 3 là hợp sô
Trang 24Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com d) D=45+36+72+s1 ¡ 3 và lớn hơn 3 là hợp số €) Z=91.13—29.13+12.13 : 3 và lớn hơn 3 là hợp số g) G=4.19-5.4 : 4 và lớn hơn 4 là hợp số h) H=3”+3.17+34.3` : 3 và lớn hơn 3 là hợp số i) I1=7+7??+7?`+7*+?Š : 7 và lớn hơn 7 là hợp số k) 4=1.3.5.7 13+20 ï 5 và lớn hơn 5 là hợp số l) ø=147.247.347—13 : 13 và lớn hơn 13 là hợp số Bài 5: Cho ø= 29x với xe Với giá trị nào của k thì n: a) Là số nguyên tố b) Là hợp số c) Không là số nguyên tố cũng không là hợp số Giải: Ta có:n=29kvớik€N a) Vì 29 là số nguyên tô nên để n là số nguyên tố thì k= 1 =n= 29 b) Dé n là hợp số thì k > 2 c) Đề n không là số nguyên tố cũng không là hợp số thì: k= 0 => n=0 Bai 6: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 1a hợp số Giải: Ta có: 2001.2002.2003.2004 + 1 =( 4) + 1 =( 5) : 5 là hợp số Bài 7: Chứng minh rằng: nếu §p-I và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp só
Trang 25Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Giải: +) Nếu p = 2 => 8p — 1 =8.2-~ 1 = 15 là hợp số (Loại) +) Nếu p = 3 => 8p — 1 = 8.3 — 1 = 23 là số nguyên tố => 8p + 1=8.3+1=25 là hợp số +) Nếu p > 3 thì p= 3k + I hoặc p = 3k+2 - Với p= 3k + 2 => 8p— 1= §(3k+2)— 1= 24k + 15 : 3 là hợp số (Loại) =>p= 3k + I là số nguyên tổ => §p + 1=8(3k + 1)+ 1= 24k +9: 3 là hợp số (đpcm) Bài 8: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố Giải:
Ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là ba số nguyên tổ thì 3 số nguyên tố đó cũng liên tiếp Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp là: n; n + 2; n + 4 +) Với n=2 =>n+2=2+2 =4 là hợp số (Loại) +) Với n= 3 =>n+2=5;n + 4=7 là ba số nguyên tố liên tiếp +) Với n>3:n =3k + 1 hoặc n= 3k + 2 (k€N*) - Với n= 3k + I ==n+2=3k+ 1+2 =3k + 3 : 3 và lớn hơn 3 là hợp số - Với n= 3k+2 =>n+4= 3k +6: 3 và lớn hơn 3 là hợp só Bài 9: Viết dãy số tự nhiên từ I đến 101 làm thành một số A
d) A có phải là hợp số hay không?
e) A có phải là số chính phương hay không? f)_A có thể có 35 ước hay không?
Giải:
Trang 26Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Ta co: A = 1234567891011 101 a) +) Tông các chữ số từ 1 đến 9 là: 1 +2 + 3 + +9= 45 +) Tổng các chữ số từ 10 đến 99 là: (10 +§)(1+2+3+4+ +9)= 18.45 +) Tổng các chữ số từ 100 đến 101 là: (1 +0+0)+(1+0+1)=3 Suy ra: Tổng các chữ số của A là: 45 + 18.45 + 3= 45.19 +3 : 3 Suy ra: A là hợp số b) Ta có: A chia hết cho 3 nhưng không hết cho 9 nên suy ra: A không phải là số chính phương
c) A không thê có 35 ước vì: A không phải là số chính phương (35 là số lẻ)
Bài 10: Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi p? + 2003 là số nguyên tố hay hợp số? Giải:
Ta có: p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
=> p khi chia cho 3 dư 1
=> p?+ 2003 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => pˆ+ 2003 là hợp số Bai 11: Cho p va p + 8 đều là số nguyên tố (p > 3) Hỏi p + 100 là số nguyên tô hay không? Giải: Vì p >3 là số nguyên tố => p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 Nếu p= 3k+ 1=>p+8=3k+1+8§=3k+ 9: 3 và lớn hơn 3 là hợp số
Nên suy ra: p = 3k +2 => p + 100 = 3k +2 + 100 = 3k + 102 : 3 và lớn hơn 3 là hợp só Bài 12: Tìm số tự nhiên n sao cho p = (n - 2)(n? + n - 5) là số nguyên tó
Trang 27
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Giải: Để p là số nguyên tổ thì: +®)n—2=I<=>n=3=>p= 1.(3?+3 - 5) =7 là số nguyên tố (thỏa mãn) +)n+n—5=l<=>nñ+n-6=0 <=> n° + 3n— 2n— 6= 0 <=> n(n + 3)— 2(n+3)= 0 <=>(n+3)(n-2)=0 Vì n là số tự nhiên =>n + 3> 3>0=>n—2=0<=>n=2 => p=(2-2).1 =0 không phải là số nguyên tố (Loại) Với n€N và n # 3, n # 2 thì p là hợp số
Vậy với n = 3 thì thỏa mãn yêu câu bài toán
Bài 13: Tìm chữ số a để 23a là số nguyên tố Giải: Để 23a là số nguyên tố thì a € {1; 3; 5; 7; 9}
Xét các giá trị cua a thuộc tập hợp trên thì chỉ có a = 3; a = 9 để 23a là số nguyên tố
Bài 14: Tìm hai số nguyên tố có tông bằng 309
Giải:
+) Nếu hai số nguyên tố là hai số lẻ thì tổng là số chăn (Loại)
Suy ra: Một trong hai số nguyên tố là số 2 Suy ra: Số còn lại là: 309 — 2 = 307 (thỏa mãn)
Trang 28
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Bài 15: Chứng minh rằng hai số 2008!%9 ~ và 2008! + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố Giải:
Xét ba số tự nhiên lién tiép 1a: 2008! — 1; 20081; 2008! + 1
Vi la ba số tự nhiên liên tiếp nên suy ra: Một trong ba số chia hết cho 3
Ma 2008! không chia hết cho 3 Nên suy ra: Một trong hai số: 2008!99 — 1, 2008!99 + 1
chia hết cho 3
Nén suy ra: hai s6 2008! — 1 va 2008! + 1 không thê đồng thời là số nguyên tó Bai 16: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng: (a - 1)(a + 4) chia hết cho 6
Giải:
Ta có: a là số nguyên tổ lớn hơn 3 => a là số lẻ => a— 1 là số chăn
> (a- 1)(at+4):2 (1)
Mặt khác a là số nguyên tổ lớn hơn 3 => a = 3k + 1,a=3k+2(k € N*)
- Với a= 3k + I[=>a— I=3k=>(a- l)(a +4): 3
- Với a= 3k+2=>a+4= 3k +6 = (a- 1)(a+4) : 3
Với mọi số nguyên tố a > 3 thì: (a - 1)(a +4): 3 (2)
Ma (2, 3) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra: (a - l)(a + 4): 6
Bài 17: Chứng minh rằng nếu p và 8p? + 1 là hai số nguyên tố thì 8p? — 1 là số nguyên tó GIải:
+) V6i p=2 => 8p? + 1 =8.4 + 1 =33 là hợp số (Loại)
+) Với p = 3 => 8p? + 1 = 73 là số nguyên tố
=> 8§pˆ—1=8.9— I =7I là số nguyên tó
Trang 29Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com +) Với p > 3 thì p = 3k + I hoặc p = 3k + 2 => p’ chia 3 du 1 => 8p” chia 3 dư 2
> 8p? + 1 chia hét cho 3 (Loại) Vay voi p = 3 là thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 18: Cho 2"— 1 là số nguyên tố Chứng minh rằng m là số nguyên tó
Giải:
Giả sử m là hợp số => m= p.q(p,q€N:;p,q> 1)
Suy ra: 2™— 1] =2?4~ ] =(29P_— I =(21- 1).[(29P! + (29P2+ + T]
Vì q> 1 nên suy ra: 2#— 1 > 1 và [(2P!+(29P2+ +1]>1
Suy ra: 2"— 1 là hợp số, mâu thuẫn với đề bài
Suy ra: m là số nguyên tố
Chit ¥: a" — b" = (a - bya"! + ab + ab? + +b") day la hang dang thivc ta sẽ sử
dụng trong chương trình Toán lớp 8 Như vậy, bài toán này các em có thể tham khảo thêm nhé!
Bài 19: Cho 2" + 1 là số nguyên tố với n > 2 Chứng minh rằng 2"— 1 là hợp só Giải:
Ta có: Xét ba số: 2" — 1; 2": 2" + 1 1a ba số tự nhiên liên tiếp
Trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 Mà 2" + 1 là số nguyên tố, 2"
không chia hết cho 3 nên suy ra: 2"— 1 chia hết cho 3
Mà n > 2 nên suy ra: 2"— 1 > 3 nên suy ra: 2"— 1 là hợp số
Bai 20: Cho m va m? + 2 là hai số nguyên tố Chứng minh rằng mỶ + 2 cũng là số nguyên
tố
Giải:
Trang 30
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com +) Voi m= 2 => m + 2 = 6 là hợp số (Loại) +) Với m= 3 => mẺ + 2 = I1 => m + 2 = 29 là các số nguyên tố +) Với m> 3 =>m = 3k + I,m=3k+2 => m chia 3 du 1 > m? + 2 chia hết cho 3
> Khong có giá trị m nào thỏa mãn Vậy với m = 3 là thỏa mãn yêu câu bài toán
Bài 21: Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình: x'-2yˆ—-1=0
GIải: Ta có: x— 2y — =0
<=> x?= 2V + ]
+) Với x =2 => 2y? + l =4<=> 2y =3 (Loại)
+) Với x = 3 => 2y? + l =9 <=> y° =4 => y = 2 là số nguyên tô thỏa mãn +) Với x >3: Vì x là số nguyên tố => x = 3k + 1, x= 3k+ 2
> x? chia 3 du 1
- Néu y =2 => x? =9 => x =3 (Loai)
- Néu y =3 => x? = 19 loại
- Nếu y > 3, y là số nguyên tố => yŸ chia 3 dư I => 2y? + 1 chia hét cho 3 (Loai)
Vậy x = 3, y = 2 là thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 22: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r Tìm r biết rằng r không là số nguyên
tố
Giải:
Gọi a là số nguyên tố => a = 30k +r = 2.3.5.k +r
Trang 31
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com Vi a là số nguyên tổ => r không chia hết cho 2; 3; 5 và các bội của 2; 3; 5 Suy ra: r € {1; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29}
Vir khong 1a s6 nguyén t6 nén suy ra: r= 1 1a thoa man
Bài 23: Tìm số nguyên tố p sao cho p và p + 3 đều là số nguyên tố Giải: +) Xét với p = 2 =>p +3 =2 +3 = 5 là số nguyên tố +) VỚI p= 3 =>p + 3= 3 +3 = 6 là hợp số +) Với p > 3, mà p là số nguyên tố => p là số lẻ => p + 3 là số chăn : 2 là hợp số (Loại) Đ/s:p=2 Bài 24: Tìm các số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: p+2vap+ 10 Giải: +) Xétp=2 =>p+2=2 +2 =4 là hợp số (Loại) +) Xétp= 3 =>p+2=3+2=5;p+ 10=3 + 10 = 13 là các số nguyên tố (Thỏa mãn) Vớip>3=>p=3k+1;3k+2 Nếu p= 3k+1=>p+2=3k+1+2=3k+ 3= 3(k + 1): 3 là hợp số Nếu p= 3k+2=>p+ 10=3k+ 2+ 10= 3k+ 12= 3(k +4) : 3 là hợp số Vậy với p > 3 thì không có giá trị p là số nguyên tố nào thỏa mãn yêu cầu bải toán Đ/s:p=3 Bài 25: Chứng minh rằng:
Trang 32Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com a) Mọi số nguyên tổ lớn hơn 2 đều có dạng: 4 + I b) Mọi số nguyên tổ lớn hơn 3 đều có dạng: 6 + l Giải: a) Ta có: a khi chia cho 4 tồn tại ở bốn dạng: 4k; 4k + 1; 4k + 2; 4k + 3 hoặc: 4k — 1; 4k; 4k + 1; 4k + 2 Chú ý: 4k - I =4k— 4+ 4— 1 =4(kK- 1) + 3 chia 4 dư 3
Vì a là số nguyên tổ lớn hơn 2 nên suy ra: a tồn tại ở hai dạng: 4k + 1; 4k— 1
b) Ta có: a khi chia cho 6 tồn tại ở 6 dang: 6k; 6k + 1; 6k + 2; 6k + 3; 6k + 4; 6k +5 Hoac: 6k; 6k — 1; 6k + 1; 6k + 2; 6k — 2; 6k +3 Vì a là số nguyên tổ lớn hơn 3 nên a tồn tai 6 hai dang: 6k + 1; 6k + 5 hay 6k — 1 Vi 6k —1=6k—6+6-1=6(k-1)+5 chia6dw5 Bai 26: Cho p va p + 2 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 1 : 6 Giải: Vi p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p = 3k + 1;p = 3k + 2 Với p= 3k + 1 =>p+2=3k+3 : 3 là hợp số (Loại) > p=3k+2 > pt+1=3k+2+1=3k+3=3(k+1):3 Ma p là số nguyên tố => k là số lẻ => k + 1 là số chăn =>k+ 1:2 >pt+1:6 Bai 27:
c) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thi p? — q? : 24
d) Nếu a, a+n,a + 2n (a, n€ N*) là các số nguyên tổ lớn hơn 3 thì n : 6 Giải:
Trang 33Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co a) Ta có: p”— qˆ = (p - q)(p + q) +) Vì p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra: p và q là hai số lẻ > p=2n+1;q=2m+ 1 > p?—q? =(2n—2m)(2n + 2m + 2) =4.(n- m)(n+ m+ 1)
Nếu n, m cùng là số chăn, cùng la sé 1lé => n—m la s6 chan => p?— q?: 8
Nếu n, m một trong hai số là số chăn, số còn lại là số lẻ thì: n + m + 1 là số chăn => pˆ-dq?:8
+) Vì p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra:
Nếu p, q cùng số dư khi chia cho 3 => p— q: 3
Nếu p, q khác số dư khi chia cho 3, giả sử p = 3k + 1; q=3x+2
Suyra:p+q=3k+1+3x+2=3(k+x+1):3 Suy ra: pˆ— q7 : 24
b) +) Ta có: a + n là số nguyên, a > 3 => n là số chăn => n chia hết cho 2
+) Vì ba số a, a + n, a + 2n là ba số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra: Tôn tại hai số trong ba sô trên khi chia cho 3 có cùng sô dư
Giả sử a và a + n là hai số có cùng số dư khi chia cho 3
Suyra:a+n—-a:3=>n:3
Suy ra: n chia hết cho (2.3) = 6
Bài 28: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho 7p + q và pq + 17 đều là các số nguyên tố GIải: l4+q 9) Với p=2“> | + 17 là các sô nguyên tô -_ Nếuq=2 thì 14+ q= 14+ 2 =16 là hợp số (Loại) -_ Nếuq=3 thì: 14+q= 17; 2q + 17 = 23 là các số nguyên tố (Thỏa mãn) -_ Nếuq>3 thì: q= 3k + 1 hoặc 3k + I:
Trang 34Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com .q=3k+ 1 => 14+q= 14+ 3k+ 1= 15 + 3k =3(5 + k) : 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số (Loại) q=3k+2=>2q + 17=2.(3k+ 2) + 17 = 6k + 21 =3(2k +7) : 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số (Loại) 21 ; J
+) Với p= 3 => | 3q +17 +4 là các sô nguyên tô
-_ Nếuq=2 thì: 21 +q=23; 3.q + 17 =23 là các số nguyên tô (thỏa mãn)
- Nếu q >3 thì: 21 + q là số chăn và lớn hơn 2 nên là hợp số (Loại) D/s: (p, q) € {(2, 3); (3, 2)} Bai 29: Cho n 1a sé nguyén té lén hon 3 Hi n? + 2018 1a s6 nguyén t6 hay 1a hop s6? Giải: Với n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra: n= 3k + 1 hodc n= 3k + 2 (k € N*) +) Nếu n= 3k + 1 => n? + 2018 = (3k + 1)? + 2018 = 9k? + 6k + 1 + 2018 = 9k? + 6k + 2019 : 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số +) Néu n= 3k + 2 => n? + 2018 = (3k + 2)? + 2018 = 9k? + 12k + 4 + 2018 = 9k? + 12k + 2022 : 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số
Vậy với n là số nguyên tố lớn hơn 3 thi n? + 2018 1a hop sé
Bài 30: Giả sử p, p? + 2 là các số nguyên tố Chứng minh rằng: p + p? + 1 cũng là số nguyên tố Giải: +) Nếu p= 2 => p*+2=4+2 = 6 là hợp số (Loại) +) Nếu p = 3 => p?+2=9 +2 = I1 là số nguyên tố (thỏa mãn) => pŸ + pˆ+ 1= 33+3?+ 1 =37 là số nguyên tố
+) Nếu p > 3 là số nguyên tố => p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k € N*)
Với p= 3k + l =>p2+2 = (3k + 1+ 2= 9k2 + 6k +3 : 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số (Loại)
Trang 35
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: r I oAN com V6i p=3k +2 => p?+2=(3k +2)? +2 =9k? + 12k + 6 : 3 va lén hon 3 nén là hợp số (Loai) Vay voi p= 3 va p? +2 =11 la cdc sé nguyén t6 théa man yéu cau bai toan Chúc các em học tập tốt ©! Thay Thich