Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẢNG THỨC A2  A A Tóm tắt lý thuyết Căn thức bậc hai a Định nghĩa: Với A biểu thức đại số A gọi thức bậc hai A A gọi biểu thức lấy biểu thức dấu b A có nghĩa (hay xác định) Ví dụ: A có nghĩa A  3x có nghĩa 3x 0  x 0 Hằng đẳng thức: Ví dụ 1: A 0   A,  A 0  A2  A   A,  A   122  12 12; ( 7)   7 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: ( x  2) với x 2 Lời giải Ta có: ( x  2)  x   x  x 2 B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức chứa có nghĩa Cách giải: Chú ý +) +) A có nghĩa A 0 A có nghĩa A 0 A  B  A  B 0 có nghĩa A  B 0 +) A có nghĩa A  +) A có nghĩa A  +) A  B có nghĩa A  B 0 +)   A 0   A  B 0 A  B có nghĩa  +) A2 có nghĩa A 0 +) +) +)   A 0   A  B 0 A  B có nghĩa  A.B  A.B 0 có nghĩa A.B có nghĩa   A 0   B 0    A 0    B 0 +)   A 0  B     A 0 A  B có nghĩa   B   A   B  AB     A     B  +) x n   n  x  n (n 0) x n x n   (n 0) x  n  +) Bài 1: Tìm x để thức sau có nghĩa a d  3x b x  15 e x  10 5x  c  3x  f x2  8x  Lời giải a) Ta có:  3x có nghĩa  x 0 b) Ta có: x  10 có nghĩa  x  10 0  x 5   x  0  x  4 c) Ta có:  x  có nghĩa d) Ta có: x 15 có nghĩa  3x  15 0  x  e) Ta có: f) Ta có: 5x  1 1  x  0  x  có nghĩa 10  x 9  x  x  0   x  1  x   0   x  x  có nghĩa  x  2   x a  x a     x  a  2 Chú ý: Với a số dương, ta có:  x a   a  x a Bài 2: Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa a x( x  2) b x  3x  d  x2 e  x2  2x  c 2x2  4x  Lời giải a) Ta có:  x  x( x  2) 0   x( x  2) có nghĩa  x 0 x x x2 x  x  2 -2 │ + + - 0 │ + + +  x  x  3x  0  ( x  1)(5 x  8) 0    x 8 5 x  3x  có nghĩa  b) Ta có: 2 c) Ta có: x  x  có nghĩa x  x  0  2( x  1)  0 Vậy biểu thức ln có nghĩa d) Ta có:  x có nghĩa  x 0  x 4   x 2 e) Ta có:  x  x  có nghĩa  ( x 1)2 0  x  0  x 1 Bài 3: Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a 2x  b 2 x 1 c  2x d x2 x  x e x  x  x 2 g x  h x   3x x Lời giải a) Ta có: 4 3  0  x    x  x  có nghĩa 2x  b) Ta có: 2 2  0  x    x   x  có nghĩa x 1 1  0   x   x  3x  2 c) Ta có:  2x có nghĩa d) Ta có: x có nghĩa  x   x 0  x  0 x    x x    e) Ta có: x  có nghĩa  x 2  x2  x    x  0 x    x x    f) Ta có: x  có nghĩa  x 2  x 2  x    x 2 x   x2   x 2 x   x  g) Ta có: có nghĩa k) Ta có:  x     x x    3x  x có nghĩa  3x 0  x2    x   x 0 (vơ lý) Vậy khơng có giá trị x làm biểu thức có nghĩa Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Cách giải: Sử dụng đẳng thức:  A,  A 0  A2  A   A,  A   Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau x  x f x  a A  144   49 0, 01 64 C  0, 04   c   1,  B  0, 25   b  121  81    15 2 d  2, 25  : 169  D 75 : 32        5  32 Lời giải  49 7 A  144  0, 01  122    0,1 1, 05 64 8 a) Ta có: B  0, 25   b) Ta có:   15  C  0, 04   c) Ta có:   1,   2, 25  : 169     152   1,5   : 132     121  81  C 90  d) Ta có:  0,5  D 75 : 32          32  D 3 Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau a   22  12 c  (1  b 5) ( 3 2)  d 17  12   e 62  6 f  2   g 24    h 41  12  41  12 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có:   22  12  (2  ( 3 5 2)    (1  5) 3   2)  (3  2) 2 2  2 3   3  (  1) 2  2 d) Ta có: 17  12    (3  2)  (2  1) 4 e) Ta có:     (  1)  (  1) 2 5  2    ( 1)  (2  f) Ta có: 2) 3 24     4(6  5)  (  2) 2    3 g) Ta có: 41  12  h) Ta có: 41  12   6    6   Bài 3: Thực phép tính sau a) c)  A 3 C  4   42  B           b)  52  9 29  12 d) D  13  30   Lời giải a) Ta có:  A 3   52   2    1 2        (  1)   ( 1)  B          3              b) Ta có:  c) Ta có: C  9 29  12  5 9 20  12     5    (2  3) 9 d) Ta có: 13  30    13  30  (2  1)  13  30  (2 1)  13  30  2  13  30 (  1)  13  30( 1)  43  30  25  2.5.3 18  (5  2) 5  Bài 4: Rút gọn biểu thức sau a) A 4 15   15 b) c) C  49  12  49  12 a) Ta có: 4 15    3  1   d) D  29 12  29  12 Lời giải A B   15   15  15 4  15  b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: B   3  1   2   1  2 5  C  49  12  49  12  D  29  12  29  12      3 5  3 5  C 4  D 6 Bài 5: Chứng minh a) c)  11      8    b) 11   11  6 d)     Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có:  VT 11  9  2.3   2  VP  đpcm VT  11   11      6 VP     7      VT       đpcm đpcm   71     VP  Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa biến Cách giải: Sử dụng đẳng thức:  A,  A 0  A2  A   A,  A   Bài 1: Rút gọn biểu thức sau a) A  64a  2a (a 0) b) B 5 25a  25a( a  0) c) 16a  6a (với a bất kỳ) d) 9a  6a (với a ) 2 e) E  a  6a   a  6a  (với a ) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: 64a  2a( a 0)  8a  2a 10a  A 10a 25a  25a(a  0) 5 5a  25a  50a  B  50a c) Ta có: d) Ta có: +) +) 16a  6a  4a  6a 10a  C 10a 9a  6a 3 3a  6a (với a ) (với a ) a   3a  6a 3.( 3a )  6a  15a3 a 0  3a  6a 9a  6a 3a e (khó) A  a  6a   a  6a  với a A  a  a   a  6a   a   a  +) Nếu a   a   a   a    a  2a a   a  a    a 6 +) Nếu  a a a   a  a   a  2a +) Nếu a  Bài 2: Rút gọn biểu thức sau a) A 4  x6 x x 9  x x   x; x 9  b) B x  12 x   2 x  3x    Lời giải A 4 a) Ta có:  x   x  3  x 3   A 3  x  3 x  x    x 9    2 x      x  12 x  x    B   3x  3x    2 1 x     b) Ta có: Bài 3: Thực phép tính a) A 5  x  10 x x  25  x  25 x 5   x 25 b) Lời giải B x2  x 1  1 x  2x  2  a) Ta có: A 4 x   x 25    1  1 x   x  x 1    B    2x  1   1 x   2   b) Ta có: Bài 4: Rút gọn biểu thức sau b) B 4 x  x  x  4( x 2) a) A  a  a   a  a  1(1 a 2) c) e) C x2  x  ( x 2) x2 E 4 x  d) D 2 x   ( x  x  9)( x  3) (0  x 9) x Lời giải a) Ta có: A  a  a   a  a  1(1 a 2)  a    a   Với a 2  a    0; a   0 , ta được: A  a  1  a    a  1  b) Ta có: c) Ta có: B 4 x  C a   2 x  x  4( x 2) 4 x  x  4 x  ( x  2) 3 x  x2 x2  x  ( x 2)  x2 x2 - Nếu x   A  - Nếu x   A 1 d) Ta có: D 2 x   x x  10 x  25 2 x   x x +) Nếu x  0  x 5  A 2 x   2 x +) Nếu x 5  A 2 x  e) Ta có: E 4 x   x 6 x 9  x x   x 9 x  10 x  25 x  E 4 x   x 6 x 9  x3 x  4   x  x  3  x 3  3  x  3 x3  x    x 9  Bài 5: 2 Cho biểu thức: A  x  x   x2  x  a Với giá trị x A có nghĩa b Tính A x  Lời giải a) Ta có: A  x2  x2   x  x   ( x   1)  ( x   1)  x    x2    x   x  0  x 1    x 1 A có nghĩa b) Ta có: x   x 2  x  1  x  1  x   0  A  x    x   2 x  Bài 6: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy  yz  zx 1 (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y ) A x y z 2  x  y 1 z2 Tính: Lời giải 2 2 Ta có:  y ( xy  yz  zx)  y ( x  y )( y  z );1  z ( y  z )( z  x);1  x ( x  z )( x  y )  A x( y  z )  y ( z  x )  z ( x  y ) 2( xy  yz  zx ) 2 Vậy A 2 Dạng 4: giải phương trình Cách giải: Chú ý số cách biến đổi tương đương liên quan đến thức bậc hai 10   x   x   x  25 0    x 5  x   x   Ví dụ: 10)  A 0 A  B 0    B 0 Bài 1: Giải phương trình sau a x  x  2 x  b x  x  2 c x  x  2 x  d x  x  2 Lời giải a) Ta có: 2 x  0  x 1 x  x  2 x     x 2   2  x  x  4 x  x   x  x   x   b) Cách 1: Ta có: Cách 2: Ta có c) Ta có:   x 0 x  x  2  x  x  22  x  4  x    x 2   x  1   x  x  x  2  x   2  x 2 2 x  0 x  x  2 x    2  x 1 2 x  x   x  1  x  0  x 4  x  x    d) Ta có: Điều kiện  x  x  2  x  x   0   x    x  4.2  4   x   2  x 4 Bài 2: Giải phương trình sau a x  3x   x  b Lời giải a) Ta có:  x  0 x  3x   x      x  x  x  12  x 1  x 3  x  x   x  12 x   x 1 x  x   x  12 x   x   x     x 5  b) Ta có: Bài 3: Giải phương trình sau a ( x  3) 3  x b x  20 x  25  x 5 c (3  x) 4 d x  x  2( x 1) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: ( x  3) 3  x  x  3  x  x    x  x  20 x  25  x 5  (5  x) 5  x   x 5  x   x 0  x    x 4  x  1,5 (3  x) 4   x 4      x   x  3,5 x  x  2( x 1)  x   x   2  ( x   1) 2  x   2  x  3   x  9  x 10  x   1(loai ) Bài 4: Giải phương trình sau a x  x   x  x  1 b 2x2   4x  c  x x  Lời giải a) Ta có: x  x   x  x  1  ( x  1)  ( x  3) 1  x   x  1(1) x   x   0; x    (1)   x   x 1  x  (loai ) +) Với +) Với x 3  x  0; x  0  (1)  x    x 1  x  1(loai) x   x   0; x    (1)  x   x  1  x  (loai ) +) Với Vậy phương trình vơ nghiệm 13 b) Ta có:  x  4 x  0  2x2   x     2 x  4 x    x 0(loai)   x 2(tm)   x 1   x  0   x   x x      x  1;   2 x   x   ( x  1)   (t / m )   x   c) Ta có:   Bài 5: Giải phương trình sau a x  x  x  c x   x  x  0 d (Khó) b x2   x  3x  18 x  28  x  24 x  45   x  x Lời giải a) Ta có: x  x 1 x    x  0  ( x  1)  x   x   x     x   x     x   ( x  1)   x 1   x 1   x       x  x 0    x 0(loai )  x   1;  2     ( x  1)( x  2) 0   x 1(t / m)   x  2(t / m) b) Ta có: x  x  x  x  3    x   ( x  3)  (x    ( x  3)( x  3)  ( x  3) 0 3)( x  3)  ( x  3) 0 14 x  x  x  x 0 x   0  x 1   0 x   0  x    x  0 x   x  x  0     x  x  0 c) Ta có:   x 2    x   x   x   d (Khó) Ta có: 3x  18 x  28  x  24 x  45   x  x  3( x  3)   4( x  3)  4  ( x  3)2 (1) Ta có: VT  1 4;VP 4 Vậy phương trình có nghiệm hai vế  ( x  3) 0  x 3 Vậy x 3 Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN biểu thức Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức: A  B  A  B Dấu “=” xảy  A.B 0 Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau 2 a) A  x  x   x  x  b) B  x    x 2 c) C  x  x   x  12 x  2 d) 49 x  42 x   49 x  42 x  Lời giải a) Ta có: A  x  x 1  x  x 1  A  x   x  Cách 1: +) Nếu x    A  x   x   x  2(1) +) Nếu   x 1  A  x   x  2(2) +) Nếu x   A  x   x  2 x  2(3) Từ (1)(2)(3)  MinA 2    x 1 15 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức A  B  A B A  x   x   x    x  x    x 2 Vậy MinA 2  ( x  1)(1  x) 0    x 1 b) Ta có: c) Ta có: B  x    x  MinB 2  C  x  x   x  12 x   x    x  (2 x  1)  (3  x) 2  (2 x  1)(3  x) 0  d) Ta có: x  2 Dmin 6  x  2 3 x  7 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định sau sai 16 a 3x xác định x 0 c x xác định x 5 b  9x xác định x 0 d 4 x  xác định x  Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: A) 3x xác định  3x 0  x 0 B)  9x xác định   x 0  x 0 C) x x  0  x  0  x 5 xác định D) 4 4  0 x 70 x7 x  xác định x Câu 2: Điền vào chỗ (…) để khẳng định a) Điều kiện xác định c) Điều kiện xác định 3xy là… b) Điều kiện xác định  4x là… x  81 là… d) Điều kiện xác định Lời giải A) Điều kiện xác định 3xy là: x 0 x B) Điều kiện xác định  4x là: C) Điều kiện xác định x  81 là: x  x 9 D) Điều kiện xác định 5y  1 y x là: x 0 17 5y  x là… Câu 3: Điều kiện xác định a 1 a là: a) a 0 b) a 0 c) a  d) a   Lời giải Chọn đáp án C a 1 a2 1 0  a   a  3 a a (vì a   ) Điều kiện xác định    6  Câu 4: Biểu thức     2 3 3 có giá trị số nào? a) b)  c) d)  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có   6  1   2        1  3  (do  ) 6     Câu 5:   có kết rút gọn số nào? a) b) c)  10 d) 10 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có 9  5  2   2 5   2 (do  ) Câu 6: Rút gọn 19  10  26  10 ta số nào? 18   a)  b) c)  10 d) 10 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có 3 19  10  26  10  10    10     10  10   10    10  Câu 7: Nếu x phương trình  12 x  x 5  x có nghiệm số nào? a) x 1, b) x 1, c) x 1,8 d) x 1,9 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có Vì x  12 x  x 5  x   3 2 x  5  x   x 5  3x  3x   0,  x 5  x  x  5  x  x  1, nên ta có: (thỏa mãn) Câu 8: Với điều kiện x , 10 phương trình  10 x 10 x 3  10 x có nghiệm số nào? x a) 10 x  c) x b) 10 10 d) Một kết khác Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có  10 x  10 x 3  10 x  2 10 x  3  10 x   10 x 3  10 x 19 Vì x 1   10 x    10 x 3  10 x   10 x 3  10 x  x  10 10 (thỏa mãn) Câu 9: Giá trị biểu thức A  4a  4a   2a  số a) b) c) 10 d) 12 Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có A  a  4a   2a    2a  1  2a   a   2a  3 a   A         2   10 2 Khi Câu 10: Trong kết luận sau, kết luận sai a) Biểu thức y  x  ln có nghĩa với giá trị x b) Biểu thức y   x ln có nghĩa với giá trị x y c) Biểu thức d) Biểu thức 1 x x  2  ln có nghĩa với giá trị 2 x x  có nghĩa  x 3 y  x 3  Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: 2 A) y  x  có nghĩa x  0 (luôn đúng) 2 B) y   x có nghĩa  x 0  x 9  x 3    x 3 y C)  x  2 1   2x  có nghĩa 20 x  0  x  a