Đs chuyên đề 1 căn bậc hai, căn thức bậc hai

Chương CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Căn bậc hai số học  Căn bậc hai số học số thực a không âm số không âm x mà x a  Với a 0  x 0 x a    x   a a Phép tốn tìm bậc hai số học số gọi phép khai phương Với hai số a, b khơng âm, ta có: a  b  a b Căn thức bậc hai  Cho A biểu thức đại số, người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu  A 0 xác định (hay có nghĩa) A 0  Hằng đẳng thức A2  A Chú ý  Với a 0 thì: x a  x a x a  x  a   A 0  hay B 0  A B  A B  A  B 0  A B 0 B Một số ví dụ Ví dụ 1: So sánh cặp số sau mà khơng dùng máy tính a) 10 3; c) b) 17 ; 35  15  123 ; d)  Giải Tìm cách giải Khi so sánh hai số  So sánh a b a b khơng dùng số máy tính, ta có thể:  a  b  So sánh  Sử dụng kĩ thuật làm trội Trình bày lời giải a) Ta có 10   10  nên 10   b) Xét  32  2  18  17 nên c) 2    18; 17  17  17   17 35  15   36  16  6   11 , 123  121 11 suy d) Ta có 35  15   123  2       2 Ví dụ 2: Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa: a)  2x ; b) x   11  x ; c) x  x 3 x 9 Giải Tìm cách giải Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý:  A có nghĩa A 0  A có nghĩa M 0 M Trình bày lời giải a)  2x có nghĩa  x 0  x  b) x   11  x có nghĩa x  0 11  x 0   x 11 c) x  x  có nghĩa x  0 x  0  x   3; x 3 x 9 Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: a) A    b) B a   6 ; a  2a  với a  Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng:   a 2 a   a 1  A  B neáu A B lưu ý: A  B   B  A neáu A  B Trình bày lời giải a) Ta có A    6 A   1  A  A b) B a   B a      1    1   1  51   2 a  2a  với a   a  1 B a   a  a     a  2a Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A 3  x  x  33 ; b) B  x  x  18  ; c) C  x  y  xy  x  y  10  y  y  2020 Giải a) Ta có: A 3  x  x  33 3   x    25 3  25 8 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x 2 b) Ta có: B  x  x  18    x  4 Vậy giá trị nhỏ biểu thức B 2  1   x 4 c) Ta có: C  x  y  xy  x  y  10  y  y  2020  C  x 2 y  1    y    2012  C   2012 2015 Vậy giá trị nhỏ C 2015  x  y  0  Khi   y  0  x 1   y 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  x  12 x  36  x  16 x  64 ; b) B   x  2   x  9   x  1945 Giải Tìm cách giải Thống nhìn biểu thức ta bỏ đưa biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Để tìm giá trị nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng:  A  B  B  A A 0  A  B  A  B Dấu xảy A.B 0 Trình bày lời giải a) Ta có: A  x  12 x  36  x  16 x  64   x  6  x  8  A  x   x   x    x  x    x 2 Vậy giá trị nhỏ A  x     x  0 hay  x 8 b) Ta có: B  x  2   x  9   x  1945 B  x   x   x  1945 B  x   1945  x  x   x   1945  x  1943 Vậy giá trị nhỏ B 1943  x    1945  x  0 x  0 tức x 9 Ví dụ 6: Cho a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn ab  bc  ca 2020 Chứng minh biểu thức A a  2020   b  2020  c  2020 số hữu tỉ Giải  Ta có: a  2020 a  ab  bc  ca  a  2020  a  b   a  c    1 Tương tự, ta có: b  2020  b  a   b  c  c  2020  c  a   c  b  Từ (1) ,(2), (3) suy A   A a b  2  3  a  b  a  c  b  c  b  a   c  a  c  b   a  b a b Vì a, b số hữu tỉ nên a  b số hữu tỉ Vậy A số hữu tỉ Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa số hữu tỉ có kết số hữu tỉ Ví dụ 7: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a  b 2 Chứng minh rằng: a  8b  b  8a 6  1 Giải Tìm cách giải Quan sát phần kết luận giả thiết Định hướng chung nghĩ tới biến đổi phần thức phần kết luận thành dạng bình phương Với suy nghĩ ấy, khai thác phần giả thiết Chúng ta có hai hướng suy luận: Hướng thứ Dùng thừa số để cân bậc 2 2 Hướng thứ hai Từ giả thiết suy ra: b 2  a ; a 2  b , dùng phương pháp thế, để thức cịn biến Trình bày lời giải Cách Thay a  b 2 vào (1) ta có: Vế trái: a  4b  a  b   b  4a  a  b   a  4a 2b  4b  b  4a 2b  4a  a 2  2b   b  2a  a  2b  b  2a 2 3  a  b2  3.2 6 Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh 2 2 Cách Từ giả thiết suy ra: b 2  a ; a 2  b thay vào (1) ta được: a4    a2   b4    b2   a 2  4  b  4  a   b  (do a  4; b  ) 4  a   b 6 Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Ví dụ 8: Tính tổng: S   8.12  8.22  8.10032       12.32 32.52 20052.2007 (Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007) Giải Ta có  8n   2n  1  2n 1  1 8n   4n  1  16n  8n   8n   4n  1 2  4n  4n 1 1      1     với n 1  2n  2n    2n  1  2n 1  4n   Suy  8n   2n  1  2n  1 1 1  1      *  2n  2n   Thay n từ đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được: 1 1 11 1 1 1  S 1                21 3 2 5  2005 2007  1  1003 S 1003     1003  2007  2007 C Bài tập vận dụng 1.1 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: b) B  a) A  x  ; c) C  x 2x  e) E  x  x  5x  d) D  1 ; x2  ; ;   2x x Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện để A có nghĩa x  0  x  b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa x  x     x    x  1   x  x  dấu x    Trường hợp  x   x    x 1  x 1 x    Trường hợp  x   x    x6  x 1 Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa x  1; x   c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: 2 x  0    x  x    x    x  2x     x 2    x  1     Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: S  x / x  ; x 1   d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là:  x    x 1  x  0   1  x  0  x 3    x  1  x    x 2  x  Vậy với  biểu thức D có nghĩa  x 2   x  0  x e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là:    x 0  x2  0    x  x 0  không tồn x để biểu thức E có nghĩa 1.2 a) Cho x, y , z khác thỏa mãn x  y  z 0 Chứng minh rằng: 1 1 1  2    x y z x y z b) Tính giá trị biểu thức: A  1 1 1 1 1            2 3 4 199 2002 Hướng dẫn giải – đáp số  1 1  1 1 1 a) Xét:             x y z  x y z  xy yz zx  Mà 1 zx y    0 xy yz zx xyz  1 1 1      2 2 2 x y z  x y z 1 1 1  2    x y z x y z b) Áp dụng câu a, ta có:  K     K  0 nên:  1 1 1 1   2 2    2 K K  K  1   K  1 K  K  Suy ra:  1 1  1   2 K K K 1  K  1 Thay k 2,3,…, 199, ta được: 1 1 1 1 99 A 1          198   198 3 199 200 200 200 1.3 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn 1 1 1 1 2009           12 22 22 32 k  k  1 2009 x    x 0 (thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng công thức  1 1  1   ta có: 2 n  n  1 n n 1 1 1 1 2009  1           2 k k1 2009 k  1  2009   20092   k 1     k 1 2009 k 1 2009  k 2008 1.4 Tìm số x, y , z thỏa mãn đẳng thức:  2x  y  2   y  2   x  y  z 0 Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có:  x  y    y    x  y  z 0  * Mà  x  y  0;  y  2 0; x  y  z 0 ;  x  y 0   Nên đẳng thức (*) xảy  y  0  x  y  z 0   x 1   y 2  z   1.5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  25 x  20 x   25 x  30 x  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P   5x  2   x  3  5x   5x  P  x    x 5 x    x 1 5 x  0  x  Đẳng thức xảy khi:  5 3  x 0 Vậy giá trị nhỏ P x  5 1.6 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c 2 a  b2  c 2 Chứng minh rằng: 1 b  1 c   b 1 a  1 c   c 1 a  1 b  a  a2 2  b2 Hướng dẫn giải – đáp số  c2 2  * 2 2 Từ a  b  c 2   a  b  c  4  a  b  c   ab  bc  ca  4 2 Mà a  b  c 2   ab  bc  ca  2  ab  bc  ca 1 2 Ta có: a  a  ab  bc  ca  a   a  b   a  c  Tương tự, ta có: b   b  a   b  c   1  2 c   c  a   c  b   3 Từ (1), (2) (3) thay vào vế trái (*), ta có: a 2 2 1 b  1 c   b 1 a  1 c   c 1 a  1 b  a  a2  b2  a  b  b  c  a  c  b  c   a  b  a  c  c2  a  b  a  c  a  c  b  c  a  b  b  c b c a  b  c   b  a  c   c  a  b  2  ab  bc  ca  2 1.7 Cho x  62  6 19 10 2020 Tính giá trị biểu thức: T   x  x 21  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x        x    1   5 2 5 1   1 19 10 2020 Vậy T    21  1 1.8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A   x  2019  b) B   x  2018 c) C   x  2017  2  x 2020  ;   y  2019    x  2018 2   x  2020    x  2019  ;   x  2020  Hướng dẫn giải – đáp số a) A  x  2019  x  2020  a b  a  c  a b  b  c  b  c  a  c  x  2019  2020  x  x  2019  2020  x 1 Vậy giá trị nhỏ A x  2019 0 2020  x 0 hay 2019  x 2020 b) Giá trị nhỏ B 2018  x 2020 y 2019 c) Giá trị nhỏ C 2018  x 2019 1 1.9 Giải phương trình: x  x   x  4 Hướng dẫn giải – đáp số 1 Ta có: x  x   x  4 1  x  x   x   4 4  1 1  x   x    4  x  x   4 2  1  x   x   4  4  x  1  2    x   x  4 x  1  x    4 2   1      x    x 2 4 1.10 Giải phương trình: a) x  x   x  0 ; b) x   x   x   2 x  4 Hướng dẫn giải – đáp số a) x  x   x  0   x  3  x  0  x   x  0 Trường hợp 1: Xét x 3 phương trình có dạng: x   x  0  x 5  x 5 Trường hợp 2: Xét  x  phương trình có nghiệm:  x  x  0 vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S   5;5 b) x   x   x   2 x  4  x   x    x   2 x   4    x    x   4   2x     x  1 2x     Ta có: Vậy vế trái 3  4 x  3  2x  x   x   4 Do vế trái vế phải khi: x  3  2 x  9   x 7   Vậy tập nghiệm phương trình là: S  x / x 7    1.11 Tìm giá trị nhỏ của: A  a   a   a  15  a  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A  a   a    a   a   16  A  a 1    A  a  1  4  a 1  a  a 1 24 a  A 2 Đẳng thức xảy  a  4  a  16 Vậy giá trị nhỏ A a 17 1.12 Rút gọn biểu thức: a) A     ; b) B  x  y   c) D   x  xy  y với x  y ;  2020   2021  2020 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A      A    A   61  1  b) B  x  y  B x  y   1   2 x  xy  y với x  y ;  x  2y B  x  y  x  y x  y   y  x  2 x   c) D   D 1    2020 2020  2020    2021  2020  2020    2020  2021  2020 1.13 Cho x y hai số thực thỏa mãn: 2019 x  2020 2019 x  2020   2022 2020 x  2021 2021  2020 x y Tính giá trị y Hướng dẫn giải – đáp số Điều kiện để y có nghĩa 2019 x  2020 0  1 2020 x  2021   2019 x  2020  2019 x  2020 0  0   2021  2020 x 2020 x  2021 Từ (1) (2) suy ra: 2019 x  2020 0 hay x  2020 2019 Suy y 2022    x  y   x3  y   x  x 1.14 Tính biết x  1; y   y  x   x y  xy  y    Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: Với x   x   x    Do Từ 1 4x   x  y   x3  1    4x   y3    4x   x   x y  xy  y   x  10    x  y   x3  y3  6  x y  xy  y  x  y   x  y   x  xy  y  y  x  xy  y   x  y 6 y  x 7 y  Mà x  1; y  nên 6 x  y x  y 1.15 Cho A      , gồm 100 dấu Chứng minh A số tự nhiên Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A   Mặt khác    3;     3  A  Do  A  Chứng tỏ A số tự nhiên Nhận xét: Nếu A nằm hai số tự nhiên liên tiếp A khơng phải số tự nhiên 1.16 Cho ba số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn 1   a b c Chứng minh A  a  b  c số hữu tỉ Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết ta có bc  ac ab  2ab  2bc  2ca 0 Suy a  b  c a  b  c  2ab  2bc  2ca  a  b  c   A  a  b  c  a  b  c số hữu tỉ 1.17 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c    b c    a c  a  b 2 Chứng minh rằng: abc 2 c  a 2b c (thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP, Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có a  b  c   abc  a  b  c  1 abc 2 2 Do đó:  b c abc  a  b  c   b c bc  a  b   a  c  2 Tương tự, ta có:  a c ac  a  b   b  c   a 2b ab  b  c   a  c  1 b c  1 a c   1 b c  1 a c  c a b c c 1 a b  2 Suy ra:  2 2 2 2 2 2 bc  a  b   a  c  ac  a  b   b  c   c ab  a  c   b  c  1.18 Cho x, y thỏa mãn  x  1,  y   a  b a  b x y  1 1 x 1 y Tính giá trị biểu thức P  x  y  x  xy  y (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết, suy ra: x   y   y   x    x    y   x  y  3 xy  x  xy  y  x  y    x  y    x  y  1 Vậy P  x  y  x  xy  y  x  y  x  y  Từ giả thiết, ta lại có: x 1 x  1 x Tương tự ta có: y  Suy  x  y  , ta có P  x  y 1  x  y 1