Đại 9 chuyên đề 1 căn bậc hai

TOÁN CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI & HẰNG ĐẲNG THỨC (Buổi 1) A – LÝ THUYẾT I Căn bậc hai: CĂN BẬC HAI số thực a số x cho x2 = a - Số thực a dương: có hai bậc hai số đối nhau: số dương kí hiệu a số âm kí hiệu  a - Số 0: có bậc hai số 0, ta viết 0 - Số thực a âm: khơng có bậc hai, ta nói biểu thức a khơng có nghĩa hay khơng xác định CĂN BÂC HAI SỐ HỌC số thực a số không âm x mà x2 = a Với a ≥ 0, ta có: - Số x bậc hai số học a x = a  x 0 x  a   2  x  a a   - a 0 ( a ) a Với a, b số dương, ta có: a) Nếu a < b a  b b) Nếu a  b a < b B – BÀI TẬP DẠNG 1: Phân biệt bậc hai bậc hai số học: Bài tập 1: Tìm câu câu sau: a) Căn bậc hai 0,81 0,9; b) Căn bậc hai 0,81 0,09; c) Căn bậc hai 0,81 0,9 –0,9; Bài tập 2: Tìm câu câu sau: d) 0,81 0,9 e) 0,81 0,9 a) Số khơng có bậc hai d) Căn bậc hai số học b) Căn bậc hai e) Căn bậc hai số học  c) Căn bậc hai  Bài tập 3: Tìm bậc hai số học số sau suy bậc hai chúng: 16; 25; 144; 0,09; 16 ; 225; 121; 10 000; DẠNG 2: Chứng minh số số vô tỉ Bài tập 3: Chứng minh số vô tỉ Giải: Chứng minh phương pháp phản chứng: Giả sử số hữu tỉ m m 5 n Như biểu diễn dạng phân số tối giản n , tức  m ( 5)    n  hay 5n2 = m2 Suy (1) Đẳng thức chứng tỏ m2  5, mà số nguyên tố nên m  Đặt m = 5k (k  ), ta có m2 = 25k2 (2) Từ (1) (2) suy 5n2 = 25k2 nên n2 = 5k2 (3) Từ (3) ta lại có n2  mà số nguyên tố nên n  m m n chia hết phân số n không tối giản, trái với giả thiết Vậy số hữu tỉ, số vơ tỉ Bài tập 4: Chứng minh rằng: a) số vô tỉ c) 1 số vô tỉ b) số vô tỉ d)  số vơ tỉ DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn: Bài tập 5: Giải phương trình: 0,01 Chú ý phương trình dạng:  x 0  a x   x    a a) Lưu ý: Nếu x <  phương trình vơ nghiệm x 15 d) x 1 2 b) x  3 c) x 14 a e) x2  x  20 4 f) x2   b) 2x  Bài tập 6: Tìm x không âm, biết: a) x  DẠNG 4: So sánh số có căn: Bài tập 7: So sánh hai số: a) c) 26 15 b) Bài tập 8: So sánh hai số: a) d)  35 –30  15 với b) 24  45 với 12 Bài tập 9: So sánh hai số: a)  15 với 65  c)  11 với  d) 37  15 với 13  b) Bài tập 10: So sánh số: 30  45 a) 12 Hướng dẫn đáp số: b) với Bài tập 1: Câu c) d) Bài tập 2: Câu c) d) Bài tập 4: a) b) Chứng minh tương tự c) Giả sử 1 số hữu tỉ Đặt 1 x (x  ), ta có:   1 x   1 x   x2  x2  Vì x số hữu tỉ nên x2 – số hữu tỉ, số hữu tỉ Như số hữu tỉ, điều vô lý Vậy 1 số vô tỉ d) Giả sử  = m (m số hữu tỉ) = m2 – nên số hữu tỉ, vơ lý Bài tập 5: Giải phương trình: x  3 a)  x 3 1 4  x 42 16 x2 1 2 b)  x 1 22 4  x 4  3  x Vậy … Vậy … x2  x  20 4 x2  x  20 42 16 x2  x  0 ( x 1)( x  4) 0  x    x  Vậy … c)    d) x2   Do –1 < nên phương trình vơ nghiệm Bài tập 7: So sánh hai số: a)  3 Có: 22   Do 12 < 18 nên  3 4.3 12 3 2 < 3 2 ; 32  2 9.2 18 hay < b)  5 Có: 62  5 Do 180 > 150 nên 36.5 180  5 5 6 > 5 6 ; hay > c) 26 15 Ta có 15 = 3.5, nên ta so sánh: 26 Bài tập 8: So sánh hai số: 2 52 25.6 150   d) 37  15 với Có: 37  36  37  36 ; 15  16   15   16 Nên 37  15  36  16 6  2 Bài tập 9: So sánh hai số: 13  13   1,5 6 b) Mặt khác: (1,5)2 = 2,25;  2 2 13   Suy ra: 1,5 > , đó: CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI & HẰNG ĐẲNG THỨC (Buổi 02,03,04) A – LÝ THUYẾT II Căn thức bậc hai đẳng thức :  Điều kiện xác định A A ≥ (tức để thức A có nghĩa điều kiện biểu thức A phải lớn 0) a a  Với số thực a, ta có:  Với A biểu thức, ta có đẳng thức:  A  A   A A ≥ A A < BỔ SUNG: A 0 (hay B 0) A = B  A B A + B =  A = B = B – BÀI TẬP DẠNG 1: Tìm giá trị x để biểu thức chứa có nghĩa: Bài tập 1: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: 2 A = 4x  B = 2x  4x  x    3x x D= C = 2x  x Bài tập 2: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: A= x  3x  x 3 5 x B= x2  x  x2  5x  C= D= Bài tập 3: Tìm điều kiện xác định biểu thức: b) B = a) A = x  x  Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định biểu thức: x  x 1 x b) B = x  2 c) C =  x  x  d) D = x  x  Bài tập 5: Tìm điều kiện xác định biểu thức: a) A =  x b) B =  x  2 d) D = x  x 1 16  x2  x2  x 14 f) F = x 1 a) A =   16x c) C = x  x  15 e) E = x  x  DẠNG 2: Tính, rút gọn biểu thức: Bài tập 6: Tính: a)  ( 0,81)2 c) 49 144  256 : 64 Bài tập 7: Rút gọn biểu thức: a)    b)    c) 11   11  Bài tập 8: Rút gọn biểu thức: a) 1    36  b) 2 d) 72 : 36  225 d)  2   64a  2a với a ≥ b) 9a  6a với a c) a  6a   a  6a  với a d) a  a   a  a  với ≤ a ≤ Bài tập 9: Cho biểu thức: A = x  x2  x  a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A Bài tập 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 11; b) x  x  c) x  x  d) 3x  x  Bài tập 11: Rút gọn phân thức sau: 12 b) B =    a a   2a  a a a) A = c  2c 1 c) C = c1 Bài tập 12: Cho x < 0, rút gọn biểu thức: P = x  (5 x  1)2 DẠNG 3: Sử dụng đẳng thức để giải phương trình, bất phương trình: Bài tập 13: Giải phương trình: a)  12 x  x 4 b) x2  x 1  x2  x  1 Bài tập 14: Giải phương trình: a) x2  x 1  x2  x  3 b) 3x2  18x  28  x2  24 x  45   x  x Bài tập 15: Tìm giá trị x cho: x 1  x  Bài tập 16: Tìm giá trị x cho: 2 a) x  x  b) Bài tập 17: Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: x2  x   x  x  y  z  2 x   y   z  Bài tập 18: Cho biểu thức: A = x2  x   x2  x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A = Bài tập 19: Cho biểu thức: A = x  x  12 x  a) Rút gọn A b) Tính giá trị A với x = Bài tập 20: Cho biểu thức: B = x  x  x  a) Rút gọn B b) Tìm x để B = –9 Bài tập 21: Tìm x biết rằng: x  x 1 5  x Bài tập 22: Giải phương trình: a) x  x 1  x 1 b) x2   x2  x  0 2 c) x   x  0 Bài tập 23: Giải phương trình: a) x2  x   x2  x   x2  x  3  b)  x2  x   x  x  1  c) x  x   45 x  30 x   x  x  DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức chứa căn: Bài tập 24: Tìm GTNN biểu thức: A = x  x   x  x 1 Bài tập 25: Tìm GTNN biểu thức sau: 2 a) A = x  x 1  x  12 x  2 b) B = 49 x  42 x   49 x  42 x  Bài tập 26: a) Tìm giá trị lớn biểu thức: A =  x2  x  4 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x  x ( x 1)  ( x 1)  2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 25 x  20 x   25 x Hướng dẫn đáp số: DẠNG 1: Tìm giá trị x để biểu thức chứa có nghĩa: Bài tập 1: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: a) Để A có nghĩa x  0  (2 x  1)(2 x 1) 0 Suy ra:   2 x  0   x 2    x  x      x    2         x      x      x     2 x 1 0   x    Vậy A có nghĩa x  1 x 2 2 b) Ta có: x  x  2( x  x 1)  2( x 1)   với x Vậy B có nghĩa với x c) Để C có nghĩa  x  x   x(2  x)  Suy ra:  x   x    0  x   2  x   x      x     x   x     x    x  Vậy C có nghĩa < x < d) Để D có nghĩa   x2  3  x  x      x 0  x   x 0  3x 0  3x 0   , khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy khơng có giá trị x để D có nghĩa Bài tập 2: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: a) x2  3x  có nghĩa  x  3x  0  ( x  1)( x  2) 0 Suy ra:   x  0    x  0   x  0     x  0   x 1    x 2   x 1     x 2  x 2    x 1 Vậy với x ≤ x ≥ x  3x  có nghĩa 2 b) x  x  ( x  x  4) 1 ( x  2) 1  với x Vậy biểu thức cho có nghĩa với x c) Biểu thức cho có nghĩa khi:   x  0   x     x   x   5  x      x  0    x      x    5  x    x  Vậy C có nghĩa –3 ≤ x < d) Biểu thức cho có nghĩa khi: x  x    ( x  2)( x  3)  Đáp số: x < x > Bài tập 3: Tìm điều kiện xác định biểu thức: a) Điều kiện xác định A là: x2  x    x  x 1   ( x  1)2   x    x  1    x    x 1   x   2 x 1 0   x  x   b) Điều kiện xác định B là:  Giải (1) ta được: x  (1) 2 x 1 0   x  x 1 (2) x  (2)    x  x 1 Giải (2) ta có: (3)  x 1  Giải (3) ta được:  x   (Lấy kết 3a) Kết hợp với x  x > 0, ta x >  điều kiện xác định B 2 Chú ý: Sẽ sai lầm cho (2)  x  x 1 , đến đáp số sai là:    x     x   2 Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định biểu thức: a)  x 0  x    x  3 x 5x2    x   x 5 b) c) –(2x – 1) ≥  2x – =  x = d) (x – 1)(x + 2) >  x > x < –2 Bài tập 5: Tìm điều kiện xác định biểu thức: a) x 1   1 x  4  x  0    1  x  0  x 3     x  1 b) c) (x – 3)(5 – x) ≥  ≤ x ≤ d) Mọi x x 1 e)  f) Giải 2x + > x > Giải x2 ≤ 16 –4 ≤ x ≤ Giải x2 – 8x + 14 ≥ được:   x      x     x 2  x   x2  x 14 0  ( x  4)2 2    x   Kết luận:   x 4  2 DẠNG 2: Tính, rút gọn biểu thức: Bài tập 6: Tính:  x  ( x  2)   x  ( x 2)  x 4    x 4  b) Bài tập 7: Rút gọn biểu thức: a) –0,63 a) b) c) c) 86 d) –13 ( 1)2  (  1)2  1    1   2 (  1)2  ( 1)2    (3  2)2  (3  1    2)2       2 3    2 2 d) x  ( 11) ( x  11)( x  11) Bài tập 8: Rút gọn biểu thức: a) b) 64a  2a  8a  2a 8a  2a 10a (vì a ≥ 0) 9a6  6a3 3 3a3  6a3 - Nếu a ≥ - Nếu a < 3a3  6a3 3.3a3  6a3 3a3 3a3  6a3 3.( 3a3 )  6a3  15a3 2 c) (a  3)  (a  3)  a   a  - Nếu a < –3 |a + 3| + |a – 3| = –a – – a + = –2a - Nếu –3 ≤ a ≤ |a + 3| + |a – 3| = a + – a + = - Nếu a > |a + 3| + |a – 3| = a + + a – = 2a d) ( a  1)2  ( a   1)2  a  1  a   Với ≤ a ≤ a  1 > 0, a   ≤ 0, ta có: a  1  a    a  1  a  1 2 Bài tập 9: a) Biến đổi biểu thức được: A = x  ( x  2)2  x  x  Điều kiện xác định A là:  x 0 x  x  0  x  x    2   x x  x   x 0  x 1   x  0 b) Nếu x ≥ A = x  ( x  2)  Nếu ≤ x < A = x  (2  x)  x  Bài tập 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) x2 – 11 = x  ( 11) ( x  11)( x  11) b) x  x  ( x )  x  ( x  2)( x  3) c) x  x  ( x )  x  ( x 1)( x  3) 3x  x  3  x  x   3  ( x  x 1)  3 3  (( x )  x 1)  ( 3)    d)  ( x  1)2  ( 3)2  3( x   3)( x   3)  =  Bài tập 11: Rút gọn phân thức sau: a) ĐK: a ≠ (a a  2a)  (8  a ) a( a  2)  4(2  a ) (a  4)( a  2)    a 2 a a a A= ,a≠4 12 12 12   6 6 1  1 1   b) B = c) ĐK: |c| ≠  c 1 (c 1)2 c 1  c  c1 C= c 1  c   1 c   c  - Nếu c < –1 c 1 c 1   c   c  - Nếu –1 < c ≤ c 1 c 1  c  c - Nếu c > c ≠ Bài tập 12: P = x  5x  Do x < nên 5x – < 0, P = x  (1  x)  x  Lại x < nên 7x – < Vậy P = – 7x DẠNG 3: Sử dụng đẳng thức để giải phương trình, bất phương trình: Bài tập 13: Giải phương trình: a) b)  x  4  x 3,5  12 x  x2 4  (2 x  3) 4  x  4     x    x  0,5 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {–0,5; 3,5} x2  x 1  x2  x  1  ( x  1)2  ( x  3)2 1  x   x  1 - Với x < x – < x – < 0, ta có phương trình: – x + – x =  2x =  x = 1,5 không thỏa mãn điều kiện x < - Với ≤ x ≤ x – > x – < 0, ta có phương trình: x – + – x =  0x = –1, phương trình vơ nghiệm - Với x > x – > x – > 0, ta có phương trình: x – + x – =  2x =  x = 2,5 không thỏa mãn điều kiện x > Vậy phương trình cho vơ nghiệm, hay tập nghiệm phương trình S =  Bài tập 14: Giải phương trình: a) Phương trình viết dạng: x   x  3 Xét ba trường hợp: x < 1; ≤ x ≤ 2; x > Đáp số: x = 0; x = 2 b) Phương trình viết dạng: 3( x  3) 1  4( x  3)  4  ( x  3) Vì (x – 3)2 ≥ với x nên: 3( x  3)2 1  4( x  3)2  ≥ + = Mặt khác – (x – 3)2 ≤ với x Vì phương trình cho có nghiệm vế trái vế phải Điều xảy khi: (x – 3)2 =  x – =  x = Bài tập 15: Điều kiện xác định x 1 x ≥ –1 Với điều kiện x + > nên (1) tương đương với: ( x 1)2  ( x  3)2  x 1  x  x   x  x   Bất phương trình (3) với x, vì: 25 25 x2  x  x2  2.x     x     4 2  Vậy giá trị phải tìm x x ≥ –1 Bài tập 16: a) Đặt x2  a 0  a 0  Ta có: a ≤ a2  a2 – a ≥  a(a – 1) ≥   a 1 (1) (2) Kết hợp (1) với (2) ta a = a ≥ Với a = ta x  Với a ≥ ta x ≥ x ≤ –2 Đáp số: x  ; x ≥ 2; x ≤ –2 b) Giải bất phương trình: |x – 3| > x – 6,ta nghiệm x Bài tập 17: Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ Đẳng thức cho biến đổi thành: ( x   1)2  ( y   2)2  ( z   3)2 0 (3) ( x   1)2 0   ( y   2) 0   ( z   3)2 0 Suy ra:   x  1   y  2    z  3  x 2   y 6  z 12  Bài tập 18: 6   x  a) A = |x – 3| – |x + 3| =  với x < –3 với –3 ≤ x ≤ với x > b) Giải –2x = với điều kiện –3 ≤ x ≤ 3, ta x =  Bài tập 19: x   a) A = 4x – |3x – 2| = 7 x  với x ≥ 2/3 với x < 2/3 2   0 b) Với x = A = 7x – = Bài tập 20: 6 x  với x ≥ –3  a) A = 5x + |x + 3| =  x  với x < –3 b) Xét hai trường hợp:  x   6 x   x = –2 (thỏa mãn) x     x   x = –1,5 (loại) Bài tập 21: (2 x  1) 5  x  x  5  x  x – ≤ 2x – ≤ – x  –4 ≤ x ≤ Bài tập 22: A 0 (hay B 0) a) Áp dụng A = B  A B Đáp số: x1 = 0; x2 = –1 A = b) Áp dụng A + B = 0   B = Đáp số: x =  x  0 2 x  x     x  ( x  4)2 c)   x 4   ( x  4)( x   x 2 x    ặc 5) 0  x 2 ho x  c) Vậy S = {±2; ± } Bài tập 23: ( x  2)2 1  ( x  2)2   ( x  2)  3  a) b) Vế trái T ≥   3  , dấu “=” xảy  (x – 2)2 =  x =  ( x  1)2   ( x  3)2 1  ( x  1)2 0    0  ( x  3) 1 1  , dấu “=” xảy  c) Vế trái T ≤ khơng xảy Vậy phương trình cho vô nghiệm (3x  1)2 1  5(3x  1)2    (3x  1)2 Vế trái T ≥  3 ; Vế phải P ≤ 3 ; Dấu “=” xảy  3x – =  x = DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức chứa căn: 2 Bài tập 24: Ta có: A  x  x 1  x  x 1  ( x 1)2  ( x  1)2  x 1  x  Cách 1:  x 1   x  , điều - Nếu x < –1 A = –x – – x + = –2x > (1) - Nếu –1 ≤ x ≤ A = x +1 – x + = (2) - Nếu x > A = x + + x – = 2x > (3) Từ (1), (2) (3) suy Min A =  –1 ≤ x ≤ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức |A| + |B| ≥ |A + B| Dấu đẳng thức xảy AB ≥ A = x 1  x   x 1   x  x 1 1  x 2 Vậy A =  (x + 1)(1 – x) ≥  –1 ≤ x ≤ Bài tập 25: a) A = |2x – 1| + |3 – 2x| x  Giải tương tự 24, ta A = b) B = |3 – 7x| + |3 + 7x| 3  x  Giải tương tự 24, ta B = Bài tập 26: 1   x  x     x    1   a) A = (dấu “=” xảy  x = ) Vậy Max A = (khi x = ) 2 b) B = (2 x  x  1)   3 (dấu “=” xảy  2x2 – x – =  (2x + 1)(x – 1) =  x = 1; x = – ) Vậy B = (khi x = x = – ) c) C = |5x – 2| + |5x| = |2 – 5x| + |5x| C ≥ |2 – 5x + 5x| = |2| = (dấu “=” xảy  (2 – 5x).5x ≥0  x 0  x 0    2  x 0   x 0  ≤ x ≤ ) Vậy C = (khi ≤ x ≤ )