Chuyên đề 1: Vận dụng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị Chúng ta đà biết với a 0; b th× a + b ab (1) (dÊu “=” x¶y a = b) Đó bất đẳng thức Co-si hai số không âm Bất đẳng thức mở rộng n số không âm: với a1,a2,,an th× a1 + a2 +…+ an n n a1 a a n ( dÊu “=” x¶y a1= a2= …=an) Víi hai sè d¬ng a, b tõ bất đẳng thức (1) ta suy ra: Nếu ab= k (không đổi) min(a+b) = k (khi a = b) Nếu a+b = k(không đổi) max(ab) = k2 (khi vµ chØ a = b) Kết mở rộng n số không âm: Nếu a1a2an = k (không đổi) Min(a1+a2+…+an) = n n k (khi vµ chØ a1=a2=…=an) Nếu a1+a2++an = k (không đổi) n k max(a1a2an) = (khi vµ chØ a1=a2=…=an) n VËn dụng bất đẳng thức Cosi ta tìm giá trị lớn nhất,nhỏ số biểu thức Ta hÃy bắt đầu ví dụ đơn giản ThÝ dơ 1: Cho x>0,y>0 tho· m·n ®iỊu kiƯn 1 Tìm giá trị nhỏ x y x y 1 Giải: Vì x>0, y>0 nªn 0; 0; x 0; y Vận dụng bất đẳng thức Co-si x y biểu thức A= hai số dương xy 1 ta x y 1 11 1 suy x y x y xy 4 Vận dụng bất đẳng thức Co-si hai số dương x, y ta được: A= x y x y (dÊu “=” x¶y x y 4) VËy A =4 (khi vµ chØ x=y= 4) Nhận xét phương pháp giải: Trong thí dụ ta đà vận dụng bất đẳng thức cosi theo hai chiều ngược Lần thứ ta đà làm trội ®iỊu kiƯn tỉng 11 b»ng c¸ch vËn dơng x y 1 , từ x y ab ab ®Ĩ dïng xy Lần thứ hai ta đà làm giảm ttổng ( x y ) cách vận dụng bất đẳng thøc cosi theo chiỊu a+b ab ®Ĩ dïng kết xy ThuVienDeThi.com Không phải lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức cosi số đề bài.Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để vận dụng bất đẳng thức cosi tìm cực trị Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức Thí dụ2: Tìm gia trị lớn biểu thức: A= 3x 3x Giải: ĐKXĐ : x 3 A2 = (3x-5) + (7-3x) + (3x 5)(7 3x) A2 (3x 3x) (dÊu “=” x¶y 3x- = 7- 3x x = 2) VËy max A2 = maxA=2 (khi vµ chØ x=2) NhËn xÐt vỊ cách giải: Biểu thức A cho dạng tổng hai thức.Hai biểu thức lấy có tổng không đổi(bằng2).Vì vậy,nếu ta bình phương biểu thức A xuất hạng tử hai lần hai thức.Đến vận dụng bất đẳng thức cosi: ab a b BiƯn ph¸p hai : Nhân chia biểu thức với mét sè kh¸c x9 5x ThÝ dơ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức A Giải: ĐKXĐ: x x9 x9 3 x x9 3 A 5x 5x 5x 5x 30 x9 (dÊu b»ng x¶y x 18 ) VËy maxA= (khi vµ chØ x= 18) 30 Nhận xét cách giải : Trong cách giải trên, x- biểu diễn thành chỗ vận dụng bất đẳng thức cosi, tích x9 ta đà gặp may măn x9 làm trội thành tổng x9 x có d¹ng kx cã thĨ rót gän cho x ë díi mẫu,kết số 3 Con số tìm cách lấy bậc hai 9,số có đề bài(bạn đọc tự phân tích) Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đà cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số 1) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử Thí dụ 4: Cho x ,tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = Gi¶i: A= 3x 16 16 16 x x x 44 x.x.x x x x ThuVienDeThi.com x 16 x3 DÊu b»ng x¶y x 16 x3 x VËy minA = 8(khi vµ chØ x = 2) NhËn xÐt : Hai sè d¬ng 3x 16 có tích số.Muốn khử x3 x3 tử phải có x3= x.x.x ta phải biểu diễn 3x= x+x+x dùng bất đẳng thức cosi với số dương 2) Tách hạng tử chưa biết chứa biến thành tổng cđa mét h»ng sè víi mét h¹ng tư chøa biÕn cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức đà cho(có thể sai khác số) Thí dụ 5: Cho 00 x+y = 2a (a>0) x y Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc A= HD: x y a xy a 2 x y 2a a A (dÊu “=” x¶y x y a ) xy a xy Bài 2: Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc A= x 23 x HD: §KX§: x 23 maxA2 = 36 maxA = (khi vµ chØ x=14) Bài 3: Cho x+y = 15,tìm GTLN,GTNN biểu thøc B = x4 y 3 HD: x 4; y B B (khix 4; y 11hoacx 12; y 3) MaxB2 = 16 max B 4(khix 8; y 7) Bài 4: Tìm GTNN cđa biĨu thøc A = HD: A x 2x 6x víi x> 2x 5 3 x 10 (dÊu “=” x¶y x x 10 2x 2x 2x Bµi 5:Cho a,b,x lµ số dương.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= ( x a )( x b) x ab ab (a b) x (a b) ( a b ) x x (dÊu “=” x¶y x ab ) HD: P x ThuVienDeThi.com Bµi 6: Cho x ,t×m GTNN cđa biĨu thøc Q x x 17 2( x 1) ( x 1) 16 x x 1 2 4 2( x 1) x 1 x 1 x 1 (dÊu “=” x¶y x ) x 1 x x 34 HD: Q Bài 7: Tìm GTNN M = x HD: Tương tự Ta có kết quả: minM = 10 (khi chØ x= 4) x 2000 x 2000 1000 1000 1000 1000 HD: N x x2 33 x 3.100 300 x x x x x 1000 (DÊu “=” x¶y x x 10 ) x Bµi 9: Cho x>0;y>0 vµ x+y Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: 12 16 P 5x y x y Bài 8: Cho x>0, tìm GTNN cđa biĨu thøc N = 12 16 12 16 ) ( y ) 12 x y x y x y 12 16 vµ y x 2; y 12 12 32 (dÊu “=” x¶y x x y HD: P 2( x y ) (3x Bµi 10:Cho x>y xy=5,tìm GTNN biểu thức Q x 1,2 xy y x y x 1,2 xy y ( x y ) 3,2 xy 16 HD: Q ( x y) 16 x y x y x y 16 (dÊu “=” x¶y x y x y kết hợp với điều kiện xy=5 ta x y x=5;y=1 x=-1;y=-5.) Bài 11:Cho x>1,t×m GTLN cđa biĨu thøc A x 25 x 1 25 25 25 4( x 1) 4( x 1) 2.10 24 x 1 x 1 x 1 25 DÊu b»ng x¶y 4( x 1) x x 1 3x Bài 12: Cho 00 Mặt khác 1+a=1+(1-b-c) = (1-b) + (1-c) (1 b)(1 c) T¬ng tù, b (1 a)(1 c) ;1 c (1 a)(1 b) (1 a )(1 b)(1 c) (1 a ) (1 b) (1 c) 8(1 a )(1 b)(1 c) (1 a )(1 b)(1 c) A DÊu “=” x¶y 1-a=1-b=1-c a=b=c= (1 a )(1 b)(1 c) Suy Bµi 17: Cho x,y tho· mÃn điều kiện x+y = x>0 Tìm GTLN cđa biĨu thøc B = x2y3 HD: NÕu y th× B NÕu y th× : 1= x+y = x x y y y xx y y y x2 y3 55 55 2 3 22333 108 x2 y3 108 Suy ra: x2 y3 108 3125 x y DÊu “=” x¶y x ; y 5 ThuVienDeThi.com ... dùng trực tiếp bất đẳng thức cosi số đề bài.Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để vận dụng bất đẳng thức cosi tìm cực trị Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình... giải: Biểu thức A cho dạng tổng hai thức. Hai biểu thức lấy có tổng không đổi(bằng2).Vì vậy,nếu ta bình phương biểu thức A xuất hạng tử hai lần hai thức. Đến vận dụng bất đẳng thức cosi: ab a... xÐt vÌ phương pháp giải: yz x2 vào hạng tử thứ có đề bài ,để vận dụng bất yz Ta đà thêm đẳng thức cosi khử (y+z) Cũng hạng tử thứ hai 3 Dấu đẳng thức xảy đồng thời (1),(2),(3) x=y=z= Nêu ta thêm