Bài giảng môn toán lớp 10 Phép biến đổi tương đương áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị40863

Phép biến đổi tương đương áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị I - Phép biến đổi tương đương 1) Phương pháp chung - Từ BĐT ban đầu biến đổi tương đương BĐT ( ngược lại) - Một số ví dụ; CMR ; a3 + b3 + abc  ab (a + b + c) VD1; Cho a;b; c > Lêi gi¶i: Ta cã a3 + b3 + abc  ab (a + b + c)  a3 + b3 + abc  a2b + ab2 + abc  (a+b)(a2_ab+b2)  ab (a+b)  (a+b) (a-b)2  Ta cã: a; b; >  a+b >0 (a - b)2   a, b  (a + b).(a - b)2 (Luôn đúng) a, b > a3 + b3 + abc  ab (a+b+c) (§pCM) VD2: Cho a, b, c > CM: ab bc ca    abc c a b Lêi gi¶i: ab bc ca    abc c a b  a2b2 + b2c2 + c2a2  abc (a + b + c) Ta cã  2(a2b2 + b2c2 + c2a2)  abc(a + b + c)  (a2b2 + b2c2 - 2ab2c)+ (a2b2 + a2c2- 2a2bc) + (b2c2 + c2a2 - 2abc2)   b2(a - c) + a2(b - c)2 + c2(a - b)2  ( Luôn a ; b ; c > ) Vậy bất đẳng thức chứng minh VD3: Cho a , b , c độ dài cạnh Cm: DeThiMau.vn Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh a b c a c b       b c a c b a Bài làm Đặt M = a b c a c b      b c a c b a cã M = a b b c c a      b a c b a c a  b b  c2 c2  a M   ab bc ac cã M ca  cb  ab  ac2  bc2  ba abc M  a  c   b2  ac  ab  bc  abc M a  c. c  b   b  a  abc c ab a  bc b  ca  a  b b  c c  a  a.b.c 1  a  b  b  c  c  a   abc  abc abc  M   VËy a b c c b     1 b c a a a VD4 :Cho ab  CM: 1   a2  b2  ab (1) Bài giải Ta có (1) a2  b2  2  a  b   a b ab  DeThiMau.vn (V× a; b; c > 0) Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh     a  b   ab  1  a  b  a b   (V× ab  )  a b  ab  2a b  a  b  2ab      ab a  2ab  b  a  2ab  b   ab  1  a  b  ( Luôn a n  )  1   ab  a  b2  a  b DÊu “=” x¶y   ab  VD5:Cho a  ; b  ; c  CM: 1     abc a  b c3 Bài làm áp dơng kÕt qu¶ ë vÝ dơ ta cã: 1   1 a  b3 T­¬ng tù:  1 1   c  1  abc   a3  2  a3 b3 abc    1 1 1         3  a  b  c3  abc abc   1 a b mµ :    3 1 a b        abc        1  2  3 4  a b  abc     abc  a b c4   1 1      abc  a  b  c3 abc DeThiMau.vn Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh 1     abc  a  b  c3 DÊu “=” x¶y  a = b = c = d VD6: Cho  abc Víi: A  B  C hb hc h h h    b  a  c hb hc ha hc hb (ha ; hb ; hc ®­êng cao h¹ tõ A; B; C xuèng c¹nh cđa  ) Bµi lµm: A Gäi S lµ diƯn tÝch  ABC t­¬ng tù: (1)  hb  2S b hc  ; 2S 2S 2S a  b  c 2S 2S 2S a b b  b c 2S  S  a.h a  h a  2S c B a 2S 2S 2S b  a  c 2S 2S 2S a c b b c a a c b      a b c b a c  b c  c2 a  a b  a c  c2 b  b a   c(b  a)(a  b)  c2 (b  a)  ab(b  a)   (b  a)(ac  bc  c2  ab)   (b  a)(c  b)(a  c)  L¹i cã A  B  C b  a    a  c  c  b     a  b  c (Quan hƯ c¹nh – gãc  )  b  a  c  b  a  c    §pcm a  c DÊu”=” x¶y (=)  a  b c a DeThiMau.vn C Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh VD7 : CM: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca Tõ ®ã chøng minh: a  b  c8 1    a b c a b c3 Víi a , b , c , > Bài giải: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca (*)  2(a2 + b2 + c2 ) - 2.(ab + bc + ca)  (=) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2  ( lu«n ®óng ) DÊu “=” x¶y (=) a = b = c Ta cã : a2 + b2 + c2  ab + bc + ca a4 + b4 + c4  a2b2 + b2c2 + c2a2 a8 + b8 + c8  a4b4 + b4c4 + c4a4 ¸p dơng (*)  a8 + b8 + c8  a4b4 + b4c4 + c4a4  a2b3c3 + a3b2c3 + a3b3c2 1 1  a  b  c8  a b c3     a b c  a  b  c8 1    3 a b c a b c Dấu đẳng thức xảy (=) a = b = c VD 8: Cho a ; b ; c độ dài cạnh cđa  ; p lµ nưa chu vi Cm: 1 1 1    2    pa pb pc a b c Bµi giải Từ bất đẳng thức 1 x y xy (x ; y không âm ; xy ) (Dễ dàng CM BĐT Côsi) Ta cã: 1 4    pa pb 2p  a  b c 1   pb pc a 1   pc pa b Cộng vế BĐT ta được: DeThiMau.vn Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh 1 1   2   4    a b c pa pb pc  1 1 1    2    pa pb pc a b c *Chó ý : BiÕn ®ỉi ngược lại ta C/m BĐT cách biến đổi tương đương thực nN VD 9: Cho a> b > ; m > n am  bm CM : m a  bm ; m  N an  bn  n a  bn (*) Bµi lµm:     (*)  a m  b m a n  b n  a n  b n  a m  bm   a m a n  a m b n  b m a n  b m b n  a n a m  a n b m  b n a m  b m b n    a m b n  a n b m     2.a n b n a m  n  b m  n  Cã a > b  (1) a m  n  b m 1  (1) (*) Đpcm *Một số tập áp dụng: 1) Cho z y x  C/m: 1 1 y     x  z  x z y  x  z   1   x z 2) Cho a , b , c số thực dương thoả mÃn abc = CMR: 1    a  b  c  b  c  a  c2  a  b  ( Chó ý BĐT Nesôlsit ) DeThiMau.vn (*) Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh x y z    yz xz xy 3) NÕu a, b, c độ dài cạnh CM: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 (*) 4) CM: a  b  c2  d  a  c  b  d 5) CM:  a  b  d  c    a  c  b  d    a  d  b  c   ab  bc  cd  da  ac  bd (a, b, c, d  0) 6) CM: a  b  c2  a  b  c    3   7) CM: a) a b c   1 ab bc ac (a, b, c  0) x2 x2  z2  y2 z2 b)   z xyz x (0  x  y  z) 8) Cho a, b, c  CMR: a  b  c  a   b  c  a  b   c2  a  b  c   3abc II - áp dụng BĐT để tìm cực trị - Một số BĐT thường gặp để tìm cực trị * BĐT Côsi: Cho n số không âm: a1, a2, an ta có: (a1+ a2+ + an )  n n a1a a n * BĐT Bunhiacôpxki: Cho số (a1, a2, an) vµ (b1, b2,, bn) Ta cã: DeThiMau.vn Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương H¹nh  a1b1  a b   a n b n    a12  a 22   a 2n DÊu “ = ” x¶y   b   b 2n  a1 a a    n b1 b bn * B§T trị tuyệt đối a b ab * BĐT tam giác Ta phải áp dụng linh hoạt bất đẳng thức để tìm cực trị Khi tìm cực trị biểu thức ta nên xem xét biểu thức phụ -A; A2 để toán thêm ngắn gọn ; A * Sau ta xét vài ví dụ VD1: Tìm max có biểu thức: A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z không âm x+y+z=1 + Có bạn giải sau: áp dụng B§T:  a  b   4ab Ta cã:  x  y  z   x  y  z   4x  y x  x  y  z  4x  y y  x  y  z   64xyz  x  y  y  z  z  x  1 64 *Chú ý: Lời giải hoàn toàn sai lầm chưa tìm dấu áp dụng BĐT max A + Ta có lời giải hoàn chỉnh sau: áp dụng BĐT Côsi cho số không âm ta có: xyz  xyz    27   (1) DeThiMau.vn Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh 2x y z  x  y  y  z  z  x      27 (2) Nhân vế (1) (2) ta 8 272 729 xy  x  y  y  z  z  x   DÊu “=” x¶y  x = y = z = ** T­¬ng tù ta dễ mắc phải sai lầm ví dụ sau - T×m cđa biÕt 2x2 + 3y2  A = 2x +3y B5 Lêi gi¶i sai: Gäi B = 2x2 + 3y2 ta cã XÐt 1  A + B =  x  1   y    2   (1) Mµ B    B   25 *Chó ý : Sai lầm ở chỗ ta chưa xét dấu hai BĐT Cộng vế cña (1); (2)  A   * Mét sè tập áp dụng BĐT Côsi: 1) Tìm cña A  x2  4x  x x  0 x3  x2 C   1 x x x  0 B    x  1 L êi gi¶i: x  4x  4 ) A x4 42 x x x x  A   A   x  T­¬ng tù giải B,C +) x3 1 x x x.x B   x      33  2 2 x x x 2.2x DeThiMau.vn Gi¸o án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh B B  ) C  3 x32 1  x  x x 1  x     552 22 1 x x  x x 1 x x  C    x 5 2) T×m max cđa A = (2x-1) (3-5x) B C x2 x 2  x x 2 Bài giải A  2x  1  5x    3x     5x  5 2 2  1     5x    5x     4 40  11  A max A  x 40 20 T­¬ng tù chóng ta dƠ dàng giả phần B; C 3) Cho a, b, c > T×m cđa A 4a 5b 3c2   a 1 b 1 c 1 XÐt: 4a 4a   4    a  1  a 1 a 1 a 1   a  a áp dụng BĐT Côsi cho số không âm (a -1); DeThiMau.vn 10 ta có: a Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh 4a 16  16 a 1 5b 3c2 T­¬ng tù với ta tìm A = 48 ; b c 4) Cho a, b, c không âm CMR a + b + c = a  2ab  b  2c2  c2  2a Tìm A = Dễ dàng CM ®­ỵc xyz x  y  z  3  2 2 áp dụng BĐT trªn ta cã: abb a  2b  a  b  b       a  2b   a  2b  2 2 2 T­¬ng tù: b  2c2  c2  2a  3  b  2c   2a  c   a  2b  b  2c2  c2  2a  a  b  c A3 DÊu “=” x¶y (=) a  b  c * áp dụng BĐT Bunhiacopxki 1) Tìm min; max cña A 3 x2 4 5x 1  x   B  3x   x  Bµi lµm DeThiMau.vn 11 3x  Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh A x x áp dụng BĐT Bunhia copxti có sè (3; 4) vµ Cã:  A2  x    x   3 2   x 1 ;   x  ta cã   42  x    x   100  A  10 A max  10  x4 5x 61  x 25 A2  x    x  tm     x 1   x 9  x 1   x   2   x    x   36  A   A   x  Tương tự giải cho B 1 x y xy * Chú ý thêm BĐT suy từ BĐT Côsi (2) Dựa vào BĐT ta giải tập sau: 1 Cho x; y > TM: x  y   T×m max; CM: A 1    2x  y  z x  2y  z x  y  2z Theo B§T ta cã 1   2x  y  z  x  y    x  z   1 1  1 1 1          x  y x  z  16  x y x z  1 1  1 1 1          2x  y  z  x  y x  z  16  x y x z  DÊu “=”x¶y  x = y = z Tương tự: DeThiMau.vn 12 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh 1 1 1       x  2y  z 16  x y y z  1 1 1 1       x  y  2z 16  x z y z  Céng tõng vÕ B§T trªn  1   1 2x  y  z x  2y  z x  y  2z DÊu “=” x¶y (=) x= y = z = * Một toán tìm cực trị ta áp dụng nhiều BĐT để giải Vídụ : Cho sè d­¬ng a, b, c ; a +b +c = m lµ h»ng sè a2 b2 c2 T×m cđa A   bc ac ab Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta cã:  a  b  c   3  a  b  b  c  a  c   1 1    33  ab bc ac  a  b  b  c  c  a  1    a  b  c      ab bc ca abc abc abc    ab bc ac c a b     ab bc ac  a b   c     a  b  c  a  b  c  ab bc ac a2 b2 c2 abc m      bc ca ab 2 Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ta cã: a2 bc a2 bc     a bc bc T­¬ng tù: DeThiMau.vn 13 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương H¹nh b2 ca  b ca c2 ab  c ab Céng tõng vÕ  A  m Cách 3: áp dụng BĐT Bunhia copxti ta có:  a2 b2 c2       b  c  c  a  b   bc ca ab b c  a  bc ca  ab  ca ab  bc Cách 4: Giả sử a b  c  suy a  b  c2 1   bc ca ab áp dụng BĐT Trêbưsép cho số 1   a2 b2  2  a b c          bc ca ab bc ac ab   a2 b2 c2 1       a  b  c     bc ac ab bc ca a b m  a  b  c   Theo C1  18 * Một số toán áp dụng BĐT trị tuyệt đối Ví dụ: Tìm ; max A  x 1  x   x   x  H­íng dÉn: §ỉi: DeThiMau.vn 14 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh A x x   x  x   x2  3x  2x  x4   x 1  x   x  x  4 *áp dụng BĐT điểm * Một số tập Bài 1: Tìm B  x 1  x   x Bài 2: Tìm min; max p = x2+y2 với x, y số thoả mÃn x2+ xy + y2 = Bài 3: Tìm max p a) A = 4x3 - x4 b) B = x y  víi x, y  1 ;  y x 1  c) C  xy  2xy  x  4y  z  víi x   ;  vµ y   ; Bài 4: Tìm max a.a p x y z   y x x víi x, y, z ; Bài 5: Tìm cña a) A  x  y  z víi x, y, z TM: xy + yz + zx = b) B  x   y   z  víi x, y, z TM: x  y  z 5 Bµi 6: Cho a, b >0 ; a + b =1 T×m Max Q  a b   2a  2b Bµi 7: Cho a, b, c, d >0 T×m cđa ac bd ca db    ab bc cd da Bµi 8: Cho x, y, z, t > TM x + y + z + t = DeThiMau.vn 15 (§S = 4) Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phương Hạnh T×m Min cđa 1 1    x y z t (ĐS = 16) Bài 9: Cho a, b, c cạnh tam giác cã a + b + c = m lµ mét h»ng sè T×m Max cđa a  b  b  c2  c2  a Bµi 10: Cho x, y, z TM 2xyz + xy + yz + zx  T×m Min cđa xyz §S =  1 xyz    Bài11: Cho số dương x, y, z > TM x  y  z  x  y  z   29xyz Tìm Min xyz ĐS: x=y=z=2 Bài12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c = T×m Max cđa ab  bc  ca b) Cho a, b, c cạnh tam giác Tìm Max biểu thức bc ac  ab  A  3    a   b   c   DeThiMau.vn 16 §S: abc ... giác Ta phải áp dụng linh hoạt bất đẳng thức để tìm cực trị Khi tìm cực trị biểu thức ta nên xem xét biểu thức phụ -A; A2 để toán thêm ngắn gọn ; A * Sau ta xét vài ví dụ VD1: Tìm max cã biĨu... CMR: a  b  c  a   b  c  a  b   c2  a  b  c 3abc II - áp dụng BĐT để tìm cực trị - Một số BĐT thường gặp để tìm cực trị * BĐT Côsi: Cho n số không ©m: a1, a2, an ta cã: (a1+ a2+ ... z x  y  2z DÊu “=” x¶y (=) x= y = z = * Một toán tìm cực trị ta áp dụng nhiều BĐT để giải Vídụ : Cho số d­¬ng a, b, c ; a +b +c = m số a2 b2 c2 Tìm A   bc ac ab C¸ch 1: ¸p dơng BĐT Côsi