Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa Bài 1: So sánh số sau: a) 2711 818 b) 6255 vµ 1257 c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n Bài 2: So sánh số sau: a) 523 vµ 6.522 b) 7.213 vµ 216 c) 2115 vµ 275.498 Bài 3: So sánh số sau a) 19920 200315 b) 339 1121 Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu lớn hơn? a) 7245 7243 7244 7243 Bài Tìm xN, biết: a) 16x < 1284 b) 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100 :218 18 chữ số Bài 6: Cho S = + 2+ + + + So sánh S với 5.28 Bài 7: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi chữ số Hy so sánh m 10.9 Bài 8: Hy viết số lớn cách dùng chữ số 1,2,3 với điều kiện chữ số dùng lần Chuyên đề 2: Chữ số tận cïng cđa mét tÝch cđa mét l thõa: Bµi 1: Tìm chữ số tận số sau 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 Bµi 2: Tìm hai chữ số tận số 5n.(n>1) Bài 3: Chøng tá c¸c tỉng hiƯu sau chia hÕt cho 10 a) A = 98.96.94.92 – 91.93.95.97 b) B = 405n+ 2405 + m (m , n N ; n 0) Bài 4: Tìm chữ số tận c¸c sè sau: 67 a) 234 b) 579 75 Bài 5: Tìm số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thõa sè? Bµi 6: TÝch 2.22.23 210 52.54.56 514 Tận chữ số 0? Bài 7: Cho S = + 31+ 32 + 33 + + 330 Tìm chữ số tận S, từ suy S số phương Chuyên đề Số nguyên tố Hợp số Phân tích số thừa số nguyên tố Bài Chứng tỏ số sau hợp số: ThuVienDeThi.com A 676767 B 108 + 107 + C 175 + 244 + 1321 D 311141111 E 10100- Bài Cho số 360 a) Phân tích số 360 thõa sè nguyªn tè b) Sè 360 cã ước c) Tìm tất ước 360 Bài Các số sau số nguyên tố hay hỵp sè: a) 1025 b) 113 + 123 + 133 + 143 Bài Chứng minh bình phương số nguyên tố khác chia cho 12 dư Bài Tìm số n N*, cho n3 - n2 + n - số nguyên tố Bài Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 số nguyên tố nhỏ 30 Bài Các số sau số nguyên tố hay hợp số? a = 1.3.5.7 13 + 20 b = 147.247.347 – 13 Bµi Cho nN* Chøng minh r»ng sè 111 2111 hợp số n chữ số1 n chữ số1 Bài Tìm số bị chia thương phép chia: 9**:17 = **, biết thươnglà số nguyên tố Bµi 10 Cho a,nN*, biÕt an Chøng minh a2+150 25 Bµi 11 a) Cho n lµ sè kh«ng chi hÕt cho Chøng minh r»ng n2 chia dư b) Cho p số nguyên tốa lớn Hỏi p2 + 2003 số nguyên tố hay hợp số Bài 12: Mỗi số sau có ước: 90 ; 540 ; 3675 Bài 13: Tìm ước số: a) 119 b) 625 c) 200 Bài 14: Tính cạnh hình vuông biết diƯn tÝch cđa nã lµ: a) 5929m2; b) 32400m2 Bài 15: Tính cạnh hình lập phương biết thể tích 1728cm3 Bài 16: Tìm n N* biÕt: a) + + + + 2n = 210 b) + + + + (2n – 1) = 225 Chuyên đề Ước chung ước chung lớn Bài 1: Cho A tập hợp số nguyên tố; B tập hợp hợp số M tập hợp ước 20; N tập hợp ước cđa 50 a) T×m A B b) T×m M N Bài 2: Cho C tập hợp số chia hết cho 3; D tập hợp sè chia hÕt cho T×m C D ThuVienDeThi.com Bài 3: Tìm ƯCLN ƯC ba số 432; 504 720 Bài 4: Một phòng hình chữ nhật kích thước 630 x 480 (cm) lát loại gạch hình vuông Muốn cho hai hàng gạch cuối sát hai tường liên tiếp không bị cắt xén kích thước lớn viên gạch bao nhiêu? Để lát phòng cần viên gạch? Bài 5: Chứng minh số sau nguyên tố nhau: a) Hai số lẻ liên tiếp b) 2n + vµ 3n + (n N) Bµi 6: Cho (a, b) = 1, chøng minh r»ng: a) (a, a – b) = b) (ab, a + b) = Bµi 7: Cho a, b hai số tự nhiên không nguyên tố nhau, a = 4n + 3; b = 5n + (n N) Tìm (a, b) Bài 8: ƯCLN hai số 45 Số lớn 270, tìm số nhỏ Bài 9: Tìm hai số biết tổng chúng 162 ƯCLN chúng 18 Bài 10: Tìm hai số tự nhiên nhỏ 200 biết hiệu chúng 90 ƯCLN chúng 15 Bài 11: Tìm hai số biết tích chúng 8748 ƯCLN chúng 27 Bài 12: Cho a + 5b (a, b N) Chøng minh 10a + b Mệnh đề đảo lại có không? Bài 13: Một số tự nhiên a lần số có tổng chữ sè nh Chøng minh r»ng a : Bµi 14: Có 64 người tham quan hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi loại chỗ ngồi BiÕt sè ngêi ®i võa ®đ sè ghÕ ngåi, hái loại có xe? Bài 15: Tìm số tự nhiên a, b để A = 4a1b chia hết cho 12 Bài 16: Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng chúng 128 ƯCLN a,b 16 Bài 17: Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích chúng 216 ƯCLN a,b Bài 18: Cho hai số nguyên tố a vµ b Chøng minh r»ng hai sè 11a + 2b 18a + 5b nguyên tố có ước chung 19 Bài 19: Cho hai sè nguyen tè cïng Chøng inh r»ng tÝch ab vµ tỉng a + b cđa chóng cịng hai số nguyên tố Chuyờn Bội chung bội chung nhỏ Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số chia cho 18 ; 30; 45; có số dư là: ; 20; 35 Bài 2: Một xe lăn dành cho người tàn tật có chu vi bánh trước 63cm, chu vi bánh sau 186cm Người ta đánh dấu hai điểm tiếp đất cảu han bánh xe Hỏi bánh trước ThuVienDeThi.com bánh sâuphỉ lăn vòng hai điểm đánh dấu lại tiếp đất lúc Bài 3: Ba học sinh, người mua loại bút Giá ba loại 1200 đồng, 1500 đồng, 000 đồng Biết số tiền phải trả nhau, hỏi học sinh mua bút? Bài Tìm bội chung lớn 5000 nhỏ 10000 số 126 ; 140 ; 180 Bài Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 dư Tìm số biết xÊp xØ 1000 Bµi Khèi cđa mét trêng cã cha tíi 400 häc sinh, xÕp hµng 10; 12; 15 dư xếp hàng 11 không dư Tính số học sinh khối Bài Tìm hai số tự nhiên a b biết: BCNN (a, b) = 300 ; ¦CLN (a, b) = 15 Bài Tìm hai số tự nhiên a b biÕt tÝch cđa chóng lµ 2940 vµ BCNN cđa chúng 210 Bài Tìm hai số a b biết tổng BCNN với ƯCLN chúng 15 Bài 10 Tìm số tự nhiên a nhỏ có chữ số cho chia cho 11 dư 5, chia cho 13 dư Bài 11 Chứng minh a số lẻ không chia hÕt cho th× a2 – : Bµi 12 Chøng minh r»ng tÝch cđa sè tù nhiên liên tiếp chia hết cho 120 Bài 13: Tìm sè tù nhiªn bÐ nhÊt chia cho 2; 5; 11 26 dư Bài 14: Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a,b) = BCNN(ab) = 105 Bài 15: Tìm số tự nhiên nhỏ nhÊt chia cho d 6, chia cho 12 d 10, chia cho 15 d 13 vµ cxhia hÕt co 23 Bài 16: Tìm hai số có chữ sè biÕt tỉng cđa chóng lµ béi cđa 504 vµ thương số lớn chia cho số nhỏ bội cđa Bµi 17: Cho BCN(a,b) = 60 vµ a = 12 Tìm b? Bài 18: Cho số A chia hÕt cho vµ chia A ho hoặc dư Tìm A biết A < 400 Bµi 19: Tỉng sè häc sinh khèi cua trường có khoảng từ 235 đến 250 em, chia cho d 2, chia cho th× d 3, chia cho d 4, chia cho d 5, chia 10 d t×m sè häc sinh cña khèi CHƯƠNG II- SỐ NGUYÊN Chuyên đề 6-Tập hợp số nguyên Bµi Cho A = {x Z | x > -9}; B = {x Z | x < - 4}; C = {x Z | x ≥ - 2} T×m A B ; B C ; C A Bµi ViÕt tập hợp ba số nguyên liên tiếp có số ThuVienDeThi.com Bài Số nguyên âm lớn có chữ số số nguyên âm nhỏ nhát có chữ số có phải số nguyên liên tiếp không? Bài Tìm giá trị thích hợp a b: a) a00 > -111 b) a99 > - 600 c) cb3 < cba d) -cba 21 d) | x | < -1 Chuyên đề 7- PhÐp céng hai sè nguyªn TÝnh chÊt phÐp céng hai sè nguyªn Cho x {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10} y { -1 ; 1; 0; 1; ; 5} BiÕt : x + y = TÝnh nhanh : a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256 b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172) c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78 Tính tổng số nguyên x biết: a) 17 x 18 b) |x| < 25 Cho S1 = + (-3) +5 +(-7) + +17 S2 = -2 +4 +(-6) + +(-18) TÝnh tæng S1 + S2 Cho x y số nguyên tố có chữ số Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tổng x + y Chøng minh r»ng sè ®èi cđa tỉng hai sè b»ng tỉng hai sè ®èi cđa chóng ThuVienDeThi.com 7.Cho |x| = ; |y| = 11 TÝnh x + y Cho x, y hai số nguyên cïng dÊu TÜnh + y biÕt |x| + |y| = 10 9* TÝnh tæng : a) S1 = a + |a| víi a Z b) S2 = a + |a| + a + |a| + + a víi a Z- có 101 số hạng 10* Cho 18 sè nguyªn cho tỉng cđa sè bÊt kì số số âm Giải thích tổng 18 số số âm? Bài toán không thay 18 sè b»ng 19 sè Chuyên đề PhÐp trừ hai số nguyên Cho a b giá trị bảng sau Tìm hiệu a b Không cần thực phép tính cho biết b a a b 77 55 -29 -13 -6 -19 T×m x biÕt (x + 153) – (48 – 193) = – – – Cho |x| = ; |y| = 20 víi x, y Z TÝnh x – y Cho |x| 3; |y| víi x,y Z BiÕt x – y = a-b b-a T×m x y ? Tìm x Z biết : a) |x + 8| = b) | x+ a | = a víi a Z T×m x Z , biÕt: < | x – 2| < T×m x, y Z, biÕt | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11| 8* Cho x < y < vµ |x| - |y| = 100 TÝnh x – y Cho x {-2 ; -1; ; 1; ; 11} y { -89; -88; - 87; ; -1; ; 11} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x y 10 Cho x, y Z a) Với giá trị cđa x th× biĨu thøc A = 1000 - |x + 5| có GTLN, tìm GTLN b) Với giá trị y biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm GTNN c) Với giá trị x biểu thức C = | x – 100 | + | x + 200 | - có GTNN, tìm GTNN Chuyờn Quy tắc chuyển vế Quy tắc dấu ngoặc TÝnh hỵp lý: a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65 +374) ThuVienDeThi.com Đặt dấu ngoặc cách hợp lý để tính tổng đại số sau: a) 942 2567 + 2563 – 1942 b) 12 - 12 + 11 + 10 - + - + - + + -1 T×m x biÕt: a) 416 + ( x – 45) = 387 b) 11 – (x + 84) = 97 c) - (x + 84) + 213 = - 16 Chứng minh đẳng thức: a) - (- a + b + c) + ( b + c – 1) = (b –c + 6) – ( – a + b) + c Cho A = a + b – 5; B=-b–c+1 C = b – c – 4; D=b–a Chøng minh A + B = C – D Cho a > b ; TÝnh |S| biÕt: S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b) Cho M = a + b – vµ N = b + c – BiÕt M > N hái hiƯu a – c d¬ng hay âm ? Viết số nguyên vào đỉnh năm cánh cho tổng hai số hai đỉnh liền Tìm số nguyên đó? Chuyờn 10 Phép nhân hai số nguyên Ví dụ 1: Tìm a, b Z biÕt a.b = 24 vµ a + b = - 10 Giải Ta thấy ab > nên a, b cïng dÊu a + b = -10 nªn a, b dấu âm Do a b = 24 = (-1).(-24) = (-2).(-12)= (-3).(-8) = (-4).(-6) Trong c¸c trườnghợp có (-4) + (-6) = -10 VËy a = - 4; b = -6 hc a = - 6; b = - VÝ dô 2: Tìm tất cặp số nguyên cho tổng tích Giải Gọi hai số cần tìm x vµ y Ta cã xy = x + y xy – x – y = xy – x – y + = x(y – 1) – (y – 1) = y 1 x 1 x 2; y (y – 1)(x – 1) = y x 1 x 0; y T×m x Z biÕt: a) x(x+3) = b) (x – 2)(5 – x) = c) (x-1)(x2 + 1) = ThuVienDeThi.com Thu gän c¸c biĨu thøc sau: a) 7x – 19x + 6x b) –ab – ba 2 3 Cho A = (5m – 8m – 9m )(-n + 4n ) Với giá trị m n A T×m x biÕt: a) – 12(x – 5) + 7(3 – x) = b) 30(x + 2) – 6(x – 5) – 24x =100 T×m x Z biÕt: a) | 2x – | = 13 b) 7x + 3| = 66 c) | 5x – 2| T×m x Z biÕt: a) (x – 3) (2y + 1) = b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55 Tính giá trị biểu thức sau cách hỵp lý: a) 125.(-61).(-2)3.(-1)2n (n N*) b) 136.(-47) + 36.(-304) c) (-48).72 + 36.(-304) T×m x Z biÕt: a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + + (x + 99) = b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = Cho m n số nguyên dương: A= 2+4+6+ +2m m B= 2+4+6+ +2n n BiÕt A < B hy so sánh m n 10* Cho 16 số nguyên Tích số số âm Chứng minh tích 16 số số dương 11 Bỏ dấu ngoặc thu gọn biÓu thøc: a) (a + b)(a + b) b) (a – b)(a – b) c) (a + b)(a – b) Chuyờn 11 Bội ước số nguyên Các số sau có ước? a) 54 ; b) – 196 98 99 Cho S = – + – + + – a) Chøg minh r»ng S lµ béi cđa – 20 b) TÝnh S, tõ ®ã suy 3100 chia cho d Tìm số nguyên dương n cho n + ước 111 n bội 11 Tìm n Z để; a) 4n – chia hết n b) -11 lµ béi cđa n – c) 2n – lµ íc cđa 3n + T×m n Z cho : n – lµ béi cđa n + vµ n + lµ béi cđa n – Tng hp Tính giá trị biểu thức A víi x = - 43; y = 17 A = - 125(x + x + + x – y – y – – y) (x cã sè h¹ng, y có số hạng) Tìm x Z biÕt |x| T×m x Z a) – 3x + = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20 Cho A = {6 ;7; 8; } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8} ThuVienDeThi.com a) Cã bao nhiªu hiƯu d¹ng a – b víi a A; b B b) Cã bao nhiªu hiƯu chi hÕt cho c) Có hiệu số nguyên âm ? T×m x Z biÕt (x + 5)(3x – 12) > Chương III Phân số Trong số sau, số phân số: -5 ; 43 ; (a Z) a-3 (a Z) a 5 ; ; 7: 2a (a Z) 10 Trong phân số sau, phân số b»ng nhau? 15 -17 28 ; ; ; ; 60 15 -20 12 T×m x Z , biÕt : a) b) 111 91 y y c) x = 18 x b) -x2 = y vµ x < y < Chøng minh 1 1 1 1 b) 51 52 100 12 21 22 40 1 n a) Chøng minh: a a n a(a n) 1 4 S1 = S2 = 99.100 2001.2005 1.2 2.3 1.5 5.9 2 S3 = 999.1000 10.12 12.14 a) 10 T×m xN cho ThuVienDeThi.com x+1 2005 5 (5 x 1)(5 x 6) 2006 1.6 6.11 2 11 Cho P = (2n 1)(2n 3) 1.3 3.5 Chøng minh P < 1, n N* 1 1 n -1 n n n -1 n 99 99 1 b) áp dụng câu (a) hy chứng minh 100 202 100 12 a) Chøng minh n N, n > ta có 13 Tính giá trị biÓu thøc : S = 1 2002.2005 1.4 4.7 ¸p dơng tÝnh: P= 3 96.101 1.6 6.11 14 Tính giá trị biểu thức sau: A = 1+ 12 13 2006 2 1 1 999 1 1 997.3 999.1 1.999 3.997 C= Q= 1 98.99.100 1.2.3 2.3.4 B= 1 1 100 101 3 3 15 Chøng minh r»ng: a) 1 1 2 2007 b) 1 1 2 2007 5 10 ThuVienDeThi.com Phòng GD Quận Cầu giấy Đề KTCL Học sinh giỏi vòng II năm 2005 - 2006 Môn Toán - thời gian 120 phút Bài 1( 4đ): Tính nhanh: A = + - -7 + + 11 - 397 - 399 B = 2100 - 299 - 298 - - 22 - 21 - Bài (4đ): Số 36 chia cho số nguyên a trừ a Lấy kết chia cho a trừ a Lại lấy kết chia cho a trừ a Cuối số -a Tìm số a? Bài 3(3đ): Cho biÕt a + 4b chia hÕt cho 13, (a,bN) Chøng minh 10a + b chia hÕt cho 13 Bµi ( 3đ): Cho phân số 57643 85357 Hy tìm số nguyên cho tử số cộng với số mẫu số trừ số ta phân số Bài ( 6đ): Cho góc BOC 750 A mét ®iĨm n»m gãc BOC BiÕt gãc BOA b»ng 400 a) TÝnh gãc AOC b) VÏ OD lµ tia đối OA So sánh hai góc BOD COD 1) Cho biÓu thøc A = 2n 2n với n Z a) Với giá trị A A phân số 11 ThuVienDeThi.com b) Tìm giá trị A để A số nguyên Rót gän ph©n sè : 6.95 69.120 4.27 5.36.34 a) M = b) N = 12 11 81 234.82 1 Cho hai phân số (n Z n > 0) Chøng tá r»ng; n n 1 1 = 1- n n 1 n n 1 ¸p dơng tÝnh: a) + + 2.3 3.4 4.5 99.100 b) B = 12 ThuVienDeThi.com +1 +1+1 +1+ + 30 42 56 72 90 110 132 ...A 67 6 767 B 108 + 107 + C 175 + 244 + 1321 D 311141111 E 10100- Bµi Cho sè 360 a) Ph©n tÝch sè 360 thõa sè nguyªn tè b) Sè 360 cã bao nhiªu ước c) Tìm tất ước 360 Bài Các số sau... cho 12 Bài 16: Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng chúng 128 ƯCLN a,b 16 Bài 17: Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích chúng 2 16 ƯCLN a,b Bài 18: Cho hai số nguyên tố a b Chøng minh r»ng hai sè 11a... Bài 8: ƯCLN hai số 45 Số lớn 270, tìm số nhỏ Bài 9: Tìm hai số biết tổng chúng 162 ƯCLN chúng 18 Bài 10: Tìm hai số tự nhiên nhỏ 200 biết hiệu chúng 90 ƯCLN chúng 15 Bài 11: Tìm hai số biết tích