Toán 8 Chuyên đề 1: Số chính phương42382

nguyễn xuân thụ thcs yên phương ý yên Chuyên đề SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số nguyên II TÍNH CHẤT: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n  N) Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n  N) Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2  Z  x2 + 5xy + 5y2  Z Vậy A số phương Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n  N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) ThuVienDeThi.com Đặt n2 + 3n = t (t  N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n  N nên n2 + 3n +  N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + số phương 1 k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 4 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1 1 1  S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) 4 4 4 k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) Ta có k(k+1)(k+2) = 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + Theo kết  k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương Bài 4: Chứng minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số  10 n    ; Kết quả: A =     10 n    B =    ;  2.10 n    C =    Bài 5: Chứng minh số sau số phương: a A = 22499…9100…09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + = 225.102n – 90.10n + = ( 15.10n – ) ThuVienDeThi.com 2  A số phương b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 + n chữ số n chữ số = n chữ số n chữ số 10 n  10 n  10 n  10 n  5.10 n   10n + +1= 9  10 n   10 n  4.10 n   = =    số phương ( điều phải chứng minh) Bài 6: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n  N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 khơng thể tận n2+2 không thẻ chia hết cho  5.( n2+2) khơng số phương hay A khơng số phương Bài 7: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n  N n>1 khơng phải số phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ] = n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n  N, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2  n2 – 2n + khơng phải số phương Bài 8; Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a  a   a2  Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96  Ta có: + + + + = 25 = 52 số phương Bài 9: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương a b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m  N)  a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + ThuVienDeThi.com = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t  N) Khơng có số phương có dạng 4t + (t  N) a2 + b2 khơng thể số phương Bài 11: Chứng minh p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng thể số phương Vì p tích n số nguyên tố nên p  p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m  N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ  m2 lẻ  m lẻ Đặt m = 2k+1 (k  N) Ta có m2 = 4k2 + 4k +  p+1 = 4k2 + 4k +  p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)  mâu thuẫn với (1)  p+1 số phương b p = 2.3.5… số chia hết cho  p-1 có dạng 3k+2 Khơng có số phương có dạng 3k+2  p-1 khơng số phương Vậy p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng số phương Bài 11: Giả sử N = 1.3.5.7…2007 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 khơng có số số phương a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – Có 2N   2N-1 khơng chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k  N)  2N-1 khơng số phương b 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vì N lẻ  N không chia hết cho 2N  2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư  2N khơng số phương c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư  2N+1 không số phương Bài 12: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 2007 chữ số Chứng minh ab  số tự nhiên 10 2008  Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2008 chữ số  ab+1 = ab  = (10 2008  1)(10 2007 chữ số 2008  5) +1= (10  10 2008   10 2008    = 3   ThuVienDeThi.com )  4.10 2008 2008 chữ số 2008 59  10 2008    =    Ta thấy 102008 + = 100…02  nên 2007 chữ số 10 2008   N hay ab  số tự nhiên Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số  ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2  ab  = (3a  1) = 3a + N B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589 Giải a Vì n2 + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)  (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n+1)2 = 11  (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1  k+n+1 = 11  k = k–n-1=1 n=4 b Đặt n(n+3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2  (4n2 + 12n + 9) – = 4a2  (2n + 3) - 4a2 =  (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1  2n + + 2a =  n = 2n + – 2a = a=2 c Đặt 13n + = y2 ( y  N)  13(n – 1) = y2 – 16  13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)  (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 số nguyên tố nên y +  13 y –  13  y = 13k  (Với k  N)  13(n – 1) = (13k  )2 – 16 = 13k.(13k  8)  n = 13k2  8k + Vậy n = 13k2  8k + (Với k  N) 13n + số phương d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m  N)  (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2  (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 2: Tìm a để số sau số phương: a a2 + a + 43 b a2 + 81 ThuVienDeThi.com c a2 + 31a + 1984 Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40 c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n = Bài 4: Tìm n  N để số sau số phương: a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n2 + 4n + 97 d 2n + 15 Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m  N) Từ suy m2 – n2 = 2006  (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m  số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2)  m + n m – n số chẵn  (m + n)(m - n)  Nhưng 2006 không chia hết cho  Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 6: Biết x  N x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Đẳng thức cho viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x  N < x ≤ (2) Từ (1) (2)  x nhận giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776 ThuVienDeThi.com Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24 Vì n+1 2n+1 số phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m  N) Ta có m số lẻ  m = 2a+1  m2 = 4a (a+1) + 4a (a  1) m2 1  n= = = 2a(a+1) 2  n chẵn  n+1 lẻ  k lẻ  Đặt k = 2b+1 (Với b  N)  k2 = 4b(b+1) +1  n = 4b(b+1)  n  (1) Ta có k2 + m2 = 3n +  (mod3) Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2  (mod3) k2  (mod3) m2  (mod3)  m2 – k2  hay (2n+1) – (n+1)   n  (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3)  n  24 Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a  N) 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q  N ; p+q = n p > q  a+48 = 2p  2p – 2q = 96  2q (2p-q -1) = 25.3 a- 48 = 2q  q = p-q =  p =  n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m  N 32 < k < m < 100 a, b, c, d  N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ ThuVienDeThi.com  Ta có A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2  m2 – k2 = 1111  (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do m – k == 11  m = 56  A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = k  N, 32 ≤ k < 100 Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10)  k +10  101 k-10  101 Mà (k-10; 101) =  k +10  101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110  k+10 = 101  k = 91  abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b  N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb  11  a + b  11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18  a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn  b = Số cần tìm 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y  N Vì y3 = x2 nên y số phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999  10 ≤ y ≤ 21 y phương  y = 16  abcd = 4096 Bài 5: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd phương  d  { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố  d = Đặt abcd = k2 < 10000  32 ≤ k < 100 ThuVienDeThi.com k số có hai chữ số mà k2 có tận  k tận Tổng chữ số k số phương  k = 45  abcd = 2025 Vậy số phải tìm 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab ( a,b  N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba 2 Ta có ab - ba = ( 10a + b ) – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 )  11  a2 - b2  11 Hay ( a-b )(a+b )  11 Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11  a + b = 11 2 Khi ab - ba = 32 112 (a - b) Để ab 2- ba 2là số phương a - b phải số phương a-b = a-b=4  Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11  a = 6, b = 5, ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332  Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11  a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm 65 Bài 7: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta số phương Tìm số phương ban đầu ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Gọi số phải tìm ab với a,b  N ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3  (10a+b)2 = ( a + b )3  ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t  N ) , a + b = l ( l  N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99  ab = 27 ab = 64  Nếu ab = 27  a + b = số phương  Nếu ab = 64  a + b = 10 khơng số phương  loại Vậy số cần tìm ab = 27 Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống Gọi số lẻ liên tiếp 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n  N) Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 ThuVienDeThi.com Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ ≤ a ≤  12n( n + ) = 11(101a – )  101a –   2a –  Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 2a-1 lẻ nên 2a –  { 3; 9; 15 }  a  { 2; 5; } Vì a lẻ  a =  n = 21 số càn tìm 41; 43; 45 Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số ab (a + b ) = a3 + b3  10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab  3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b a + b – nguyên tố a + b = 3a a + b – = 3a a +b–1=3+b a+b=3+b  a=4,b=8 a=3,b=7 Vậy ab = 48 ab = 37 Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp đặt nhân tử chung – Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử – Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác – Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) ThuVienDeThi.com 10 Phương pháp dùng đẳng thức - Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử - Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử – Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm – Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Phối hợp nhiều phương pháp - Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) II PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ ThuVienDeThi.com 11 Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) Cách (tách hạng tử bậc bx): Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn - Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) - Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) - Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) - Làm xuất hiệu hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Tách thành số hạng nhóm : - f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) c) Cách (tách hạng tử tự c) - Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) d) Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) ThuVienDeThi.com 12 e) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần III Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử Hướng dẫn Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức Lời giải f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử Lời giải Cách : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) Đối với đa thức bậc từ trở lên (Xem mục III Phương pháp nhẩm nghiệm) Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 - 5xy + 2y2 ; b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Hướng dẫn a) Phân tích đa thức tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c Ta tách hạng tử thứ : 2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = (x - 2y)(2x - y) a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = = (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z) = (x - y)(y - z)(x - z) Chú ý : ThuVienDeThi.com 13 1) Ở câu b) ta tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y)) 2) Đa thức câu b) đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức Vì vậy, ngồi cách phân tích cách tách trên, ta cịn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Xem phần VII) III PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM Trước hết, ta ý đến định lí quan trọng sau : Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc tách số hạng f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải ước hệ số tự Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách sau Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Từ định lí trên, ta có hệ sau : Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có nhân tử x – Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + ThuVienDeThi.com 14 Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác số ngun Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x) Dễ thấy không số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không nghiệm f(x) Chỉ –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau : = (x – 3)(4x2 – x + 6) Hệ Nếu ( số nguyên) có nghiệm hữu tỉ Z (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an , p, q Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - thành nhân tử Hướng dẫn Các ước –5 ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy số không nghiệm f(x) Như f(x) khơng có nghiệm nghun Xét số , ta thấy đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau : nghiệm đa thức, f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) IV PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình ph ương Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) ThuVienDeThi.com 15 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ 13 Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tử Lời giải Cách x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Cách Thêm bớt x2 : x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Ví dụ 15 Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử Lời giải x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử x2 + x + V PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp Ví dụ 16 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ThuVienDeThi.com 16 x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức cho có dạng : (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Lời giải Cách Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng : Đặt Do : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = = (x2 + 3x - 1)2 Dạng phân tích với x = Cách A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 VI PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Ví dụ 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - Lời giải Thử với x= ±1; ±3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Đồng hệ số ta : ThuVienDeThi.com 17 Xét bd= với b, d Ỵ Z, b Ỵ {± 1, ± 3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành 2c = -14 - (-6) = -8 Do c = -4, a = -2 Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) VII PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại Ví dụ 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y) Lời giải Thay x y P = y2(y – z) + y2( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y) Ta thấy thay x y, thay y z, thay z x p khơng đổi (đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x – y) chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z (x Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) VIII PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT Đưa đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 Lời giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) ThuVienDeThi.com 18 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca) b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Đưa đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c a + b + c = 2(a + b + c) b) Đa thức cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Theo kết câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) II Bài tập: Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 2ab2 – a2b – b3 23 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 a + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) ThuVienDeThi.com 19 x + x2 – 4x - 25 a – a4 + 2a3 + 2a2 x – x2 – x + 26 (a + b)3 – (a – b)3 x + x3 + x2 - 27 X – 3x2 + 3x – – y3 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + + xm + – x - 10 x – x2 + 2x - 29 (x + y)3 – x3 – y3 11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12 a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13 a – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz 14 a – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5 15 x + 3x2 – 3x - 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 16 x – 3x2 – 3x + 17 x – 4x2 + 4x - 18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 6x + 23 x3 – 5x2y – 14xy2 x2 – 7xy + 10y2 24 x4 – 7x2 + a2 – 5a - 14 25 4x4 – 12x2 + 2m2 + 10m + 26 x2 + 8x + 4p2 – 36p + 56 27 x2 – 13x + 36 x3 – 5x2 – 14x 28 x2 + 3x – 18 a4 + a2 + 29 x2 – 5x – 24 a4 + a2 – 30 3x2 – 16x + x4 + 4x2 + 31 8x2 + 30x + 10 x3 – 10x - 12 32 2x2 – 5x – 12 11 x3 – 7x - 33 6x2 – 7x – 20 12 x2 – 7x + 12 34 x2 – 7x + 10 13 x2 – 5x – 14 35 x2 – 10x + 16 14 x2 – 3x – 36 3x2 – 14x + 11 15 x2 – 7x + 37 5x2 + 8x – 13 16 x2 – 7x + 38 x2 + 19x + 60 17 6x3 – 17x2 + 14x – 39 x4 + 4x2 - ThuVienDeThi.com 20 ... k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương Bài 4: Chứng minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88 ? ?8 + 2n chữ số n+1 chữ số n... 2n + số phương Bài 8; Cho số phương có chữ số hàng chục khác cịn chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng... chữ số Chứng minh ab  số tự nhiên 10 20 08  Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 1020 08 + 20 08 chữ số  ab+1 = ab  = (10 20 08  1)(10 2007 chữ số 20 08  5) +1= (10  10 20 08 