Bài 2 căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa thức bậc hai + Nắm vững điều kiện xác định biểu thức chứa thức bậc hai + Hiểu đẳng thức A2  A  Kĩ + Giải phương trình, bất phương trình chứa bậc hai + Biết cách xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa + Biết cách so sánh bậc hai + Rút gọn biểu thức dạng A2 Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Căn thức bậc hai Căn thức bậc hai Với A biểu thức đại số, ta gọi A thức bậc hai A , A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu Điều kiện xác định Biểu thức A xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị không âm Nhắc lại số dạng bất phương trình Chia hai vế bất phương trình cho số dương bất phương trình khơng đổi chiều, cịn chia hai vế bất phương trình cho số âm bất phương trình đổi chiều Với a số dương:  Nếu x  a x  a x   a  Nếu x  a  a  x  a Hằng đẳng thức Chú ý A2  A Một cách tổng quát, với A biểu thức, ta có Định lí Với số A , ta có: A2  A , có nghĩa là: A2  A  A2  A A 0 (tức A lấy giá trị không âm)  A2  A A  (tức A lấy giá trị âm) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA bậc hai biểu thức dấu có nghĩa II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình Trang Bài tốn Giải phương trình Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình: a) 3x 12 Hướng dẫn giải Với a 0 , ta có:  Nếu x a x  a x  a x  2  x 2 a) 3x 12  x 4    x  Vậy phương trình có nghiệm x 2; x  b) x  2  x  4  x 3  Nếu b) x a x a Vậy phương trình có nghiệm x 3 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau a) x 4 b)  x 1 c) 3x 6 d) x  Hướng dẫn giải  x 2 a) Ta có x 4    x  Vậy phương trình có nghiệm x 2; x  b) Ta có  x 1  x 0  x 0 Vậy phương trình có nghiệm x 0 c) Ta có 3x 6  x 2  x  Vậy phương trình có nghiệm x  2; x  d) Ta có x  Vì  số âm nên phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình sau a) 3x  2 c) x  6 b) x  3 d) x   Hướng dẫn giải a) Ta có 3x  2  3x  4  x 3  x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 1 b) Ta có  x 2 2 x  3  x  9  x 4    x  Trang Vậy phương trình có nghiệm x 2; x  c) Ta có x  6  x  2  x  4  x 5  x  Vậy phương trình có nghiệm x  d) Ta có x  0   nên phương trình vơ nghiệm Bài tốn Giải bất phương trình Phương pháp giải Ví dụ: Giải bất phương trình sau a) x  b)  x  1 9 c) d) x  5 f) x   2x   Với số dương a ta có e) x   Hướng dẫn giải x a  x  a   x   a x  x2  a) Ta có x    x2  x   x a  x a   x  a Vậy x  x    x  a  a  x  a b) Ta có  x  1 9  x a  a  x  a   2 x     2 x  3   2 x 4   x 2  x  a x  a Vậy   x 2 c) Ta có x    x a x a  x   32  2x    x  10  x 5  x  a  x  a Vậy x  d) x  5  x a  x a  2 x  52  2 x  25   2 x 24 Trang  x 12  Đặc biệt:  x 12 e) x   Khi a  bất phương trình Vì x 0 với x x  a; x a; x  a; x a có nghiệm với Mà   nên bất phương trình vơ nghiệm x thỏa mãn điều kiện xác định, bất phương f) trình x  a; x a; x  a; x a vô nghiệm Điều kiện xác định: x  0  x 1 Chú ý: x 0; x 0 với x thỏa điều kiện Vì Vậy   x   x  0 với x 1 Mà   nên bất phương trình nghiệm với xác định x thỏa điều kiện xác định Vậy bất phương trình có nghiệm x 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải bất phương trình sau a) x  b)  x  c)  x  3 25 d) x  x  0 Hướng dẫn giải a) Ta có x  nên   x  Vậy   x  b) Ta có  x  nên x     x  Vậy   x   x  5  x 8  x 4   c) Ta có  x  3 25    x    x   x  Vậy x 4 x  d) Ta có x  x  0  x  x   0   x  1 3   x     1 x  1 Vậy    x   Ví dụ Giải bất phương trình sau a) x 3 b) x 1  c) x  5 d) 3x  Hướng dẫn giải Trang x   x  32  x  a) Ta có Vậy x  b) Ta có x 1    x   32  x     x  Vậy   x  c) Ta có x  5  4 x  52  4 x  25   4 x 24  x 6  Vậy  d)  x 6 3x  Ta có 3x 0 mà   nên bất phương trình vơ nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giải phương trình sau: a) x 9 b)  x 2 c) x 3 d) x  Câu 2: Giải phương trình sau: a) 3x  2 b) x  1 c) x  9 d) 3x   Câu 3: Giải bất phương trình sau: a) x  b)  x  c)  x  3 16 d) x  x  0 Câu 4: Giải bất phương trình sau: a) x 2 b) x   c) x  3 d) 3x   Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức Bài tốn 1: Biểu thức A có nghĩa A có nghĩa Trang Phương pháp giải Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a)  x Hướng dẫn giải A có nghĩa A 0 Biểu thức Chú ý:  f  x  b)  x2 a)  x có nghĩa  x 0  x 1 Vậy x 1 0 với x thỏa điều kiện xác b) 2  x , ta có x 0 với x nên x  9 định Vậy biểu thức có nghĩa với x Ví dụ mẫu Ví dụ: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: a)  2x c)  x  1 b)  x2 d)   x  1 Hướng dẫn giải a) Biểu thức  2x xác định  x 0   x   x 3 Vậy điều kiện xác định x 3 b) Biểu thức  x xác định  x 0  x 3   x  Vậy điều kiện xác định   x  c) Biểu thức  x  1 2 xác định  x  1 0 Mà  x  1 0 , x Vậy biểu thức xác định với x d) Biểu thức 2   x  1 có nghĩa   x  1 0 2 Mà   x  1 0, x nên biểu thức có nghĩa  x  1 0  x 1 Vậy biểu thức xác định x 1 Bài tốn 2: Biểu thức B có nghĩa A Trang Phương pháp giải Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: 5x  a) 1 x  x  2 Hướng dẫn giải 5x  a) có nghĩa  x   x  1 x B có nghĩa A  A Biểu thức b) Vậy biểu thức có nghĩa x  b) có nghĩa  x     x  2 Chú ý:  f  x   0 với x thỏa mãn điều kiện xác định Mà  x   0   x   0  x  0  x 2 Vậy biểu thức có nghĩa x 2 Ví dụ mẫu Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a) c) x x b) x2 x  x 1 2x  d)  x2 x x2 1 Hướng dẫn giải a) x có nghĩa x    x  x Vậy biểu thức có nghĩa x  b) 2x  1 x có nghĩa  x     x  Vậy biểu thức có nghĩa   x  c) x2 2 x  x 1 có nghĩa x  x     x  1  Mà  x  1 0x nên  x  1   x 1 Vậy biểu thức có nghĩa x 1 d) x x 1 có nghĩa x   Trang Mà x 0x nên x  1, x  x   0x Vậy biểu thức có nghĩa với x Bài tốn 3: Biểu thức chứa nhiều bậc hai có mẫu thức Phương pháp giải Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a) A   x   x b) B  x   x 1 x  3x Hướng dẫn giải Tìm tất điều kiện biểu thức chứa a) A có nghĩa khi: mẫu thức sau kết hợp lại 1  x 0   1  x 0 Chú ý:  x 1    x 1   x   Biểu thức A có nghĩa A 0 Vậy biểu thức A có nghĩa   x 1  Biểu thức B có nghĩa A  A b) B có nghĩa khi: B  Biểu thức có nghĩa A 0 A  x  0    x  3x 0 2 x 4    x  x  3 0  x 2   x 0   x 3   x 2   x 3 Vậy biểu thức B có nghĩa x 2; x 3 Ví dụ mẫu Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a) A  2 x x x2 c) C   x  2 x  b) B  x   3x  d) D   x  x2 x Hướng dẫn giải   x 0  a) A có nghĩa khi:  x    x 2   x 2  x 1 Vậy biểu thức A có nghĩa  x 2  x  0  b) B có nghĩa khi:  3 x  0  x 1  x 2   x 2 Vậy biểu thức B có nghĩa x 2 x    c) C có nghĩa khi:   x  0 x   x 1   x  Vậy biểu thức C có nghĩa x  Trang   x 0  d) D có nghĩa khi:  x  0   x  0   x 2   x    x 1    x 2   x 1    x 2 Vậy biểu thức D có nghĩa   x 1 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: a) 6 x c)  x  1 b)  x d)   x  1 Câu 2: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a) c) x x x2  x  b) x2  x 1 Câu 3: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a) A  c) C  x2 1 3 x x  x2 d) x x 9 b) B  x   x2   x  2 x  2 x x 1 x d) D   x  Dạng 3: Rút gọn biểu thức dạng A2 Bài toán 1: Rút gọn biểu thức dạng A2 với A số có chứa bậc hai số học Phương pháp giải Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: 62 P  6  Hướng dẫn giải Đưa biểu thức bậc hai dạng bình P  6  62 phương tổng hiệu, sau áp   1  dụng đẳng thức  1 A A    51   51   1   1 1 51  Vậy P  Trang 10 Ví dụ mẫu Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:  a) A   2  b) B   c) C   d) D  2 Hướng dẫn giải  a) Ta có A    1    Vậy A   b) Ta có B     2    2   2  2 Vậy B   c) Ta có C     2.2     5  5 2 Vậy C   2 2 42 d) Ta có D     2 2 Vậy D    1 2 1  1 Bài toán 2: Rút gọn biểu thức dạng A2 với A biểu thức chứa biến Phương pháp giải Ví dụ: Rút gọn biểu thức: P  x2  6x  Hướng dẫn giải Đưa biểu thức bậc hai dạng bình phương tổng hay bình phương hiệu P  x2  6x   x  2.3.x  33  Chú ý: Với A biểu thức, ta có có nghĩa là:   x  3 x A2  A , Nếu x 3 P  x  Nếu x  P 3  x A2  A A 0 (tức A lấy giá trị không âm) Trang 11  A2  A A  (tức A lấy giá trị âm) Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a) A  x 2  2 b) B  x  x  c) C  x  x  x  Hướng dẫn giải a) Ta có A  x 2 2    x  x  b) Ta có B  x  x  1 1 1   x  x      x    x   2 2   Nếu x  1 B x  2  Nếu x  1 B   x 2 c) Ta có C  x  x  x   x  x  2.2 x  22  2 x    x  2 x2  x   Nếu x 2 C  x  x   Nếu x  C  x  x  Ví dụ 2: Cho biểu thức: P 3 x   x  12 x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x 1 c) Tính giá trị P x 2 Hướng dẫn giải a) Ta có P 3 x   x  12 x   2.2 x.3  32 3 x    2x 3 x    x  3 3 x   x  Trang 12  Nếu x  P 3x   x  5 x   Nếu x  P 3 x   x  x  b) Khi x 1  thay x 1 vào biểu thức P  x  ta P 1  3 Vậy P 3 x 1 c) Khi x 2  thay x 2 vào biểu thức P 5 x  ta P 5.2  6 Vậy P 6 x 2 Bài tốn 3: Giải phương trình chứa biểu thức A2 với A biểu thức chứa biến Phương pháp giải Ví dụ: Tìm x biết x  x   x 5 Hướng dẫn giải Đưa biểu thức bậc hai dạng bình Ta có x  x   x 5 phương tổng hay bình phương   x  1  x 5 hiệu áp dụng đẳng thức A2  A  x   x 5 (1) Chia trường hợp tìm x thỏa mãn  Nếu x 1 x   x  Khi (1) trở thành: x   x 5  3x 6  x 2 (thỏa mãn điều kiện x 1 )  Nếu x  x  1  x Khi (1) trở thành:  x  x 5  x 4 (không thỏa mãn điều kiện x  ) Vậy x 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm x , biết 3x  x  12 x  4 Hướng dẫn giải Ta có 3x  x  12 x  4  2.2 x.3  32 4  3x   2x   3x   x  3 4  x  x  4 (1) Trang 13  Nếu x  (1) trở thành 3x  x  4  x  4  x 7  x (không thỏa mãn điều kiện x  )  Nếu x  (1) trở thành 3x  x  4  x  4  x 1 (thỏa mãn điều kiện x  ) Vậy x 1 Ví dụ 2: Cho biểu thức Q 2 x  x  x   a) Rút gọn Q b) Tìm x biết Q 7 Hướng dẫn giải a) Ta có Q 2 x  x  x    Q 2 x   x  3 3  Q 2 x  x    Nếu x 3 Q 2 x  x   3 x  Nếu x  Q 2 x  x   x  b) Ta xét hai trường hợp:  Nếu x 3 3x 7  x  (không thỏa mãn điều kiện x 3 )  Nếu x  x  7  x 1 (thỏa mãn điều kiện x  ) Vậy x 1 Q 7 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tính giá trị biểu thức: a) A   3  c) C   b) B   d) D  3 Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  1 b) B  x  x  Trang 14 Câu 3: Cho biểu thức P 5 x   x  x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x 1 c) Tính giá trị P x 3 Câu 4: Tìm x , biết 3x  x  x  4 Câu Giải phương trình sau: a)  x  3 11  b) x  10 x  25 27  10 c) x  x 27  10 d) x  x 16  e) x  x 1  Câu Rút gọn biểu thức sau: a) A   10    10  b) B  c) C  d) D  Câu Cho 7  7  11 2  3 2 1 1  27  38  5 2 P x4 x  x x 16 1  x x a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Tìm số ngun x để P số nguyên Trang 15 ĐÁP ÁN - BÀI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình Câu  x 3 a) Ta có x 9   Vậy tập nghiệm phương trình S   3;3  x  b) Ta có  x 2  x 0  x 0 Vậy S  0  x   3  2 ;  c) Ta có x 3  x    Vậy S     2    x   d) Ta có x  phương trình vơ nghiệm Vậy S  Câu a) Ta có 5  x  2  x  4  x  Vậy S   3 b) Ta có x  1  x  1  x 0  x 0 Vậy S  0 c) Ta có x  9  d) Ta có x  3  x  9  x 12  x 3 Vậy S  3 3x   phương trình vơ nghiệm Vậy S  Câu a) Ta có x     x  Vậy nghiệm bất phương trình   x   x 1 2 b) Ta có  x   x    Vậy nghiệm bất phương trình x  x   x1  x  4  c) Ta có  x  3 16    x    x 7  x   Vậy nghiệm bất phương trình x 7 x  d) Ta có x  x  0  x  x   0   x   2    x      x 2  Vậy nghiệm bất phương trình   x 2  Câu a) Điều kiện x 0 Ta có b) Điều kiện x  Ta có x   x  x 1   x 1   x  Kết hợp điều kiện ta   x  Vậy nghiệm bất phương trình   x  Trang 16 c) Điều kiện x  Ta có Kết hợp điều kiện ta d) Ta có x  3  x  9  x 5 1  x 5 Vậy nghiệm bất phương trình  x 5 2 3x  1    nên bất phương trình vơ nghiệm Vậy bất phương trình vơ nghiệm Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa Câu a) Điều kiện  x 0  x 6 b) Điều kiện  x 0  x 1   x 1 c) Ta có  x  1 0x với x biểu thức ln có nghĩa 2 d) Ta có x 0x  x  1x    x  1  1x    x  1  0x khơng có x để biểu thức xác định Câu a) Điều kiện x    x  b) Điều kiện  x   x     x  2 c) Điều kiện x  x     x  1  Mà  x  1 0x nên x  x    x  d) Với x Câu a) x   b)  x 2 c) x  1; x 2 d)   x 1; x 0 Dạng 3: Rút gọn biểu thức dạng A2 Câu a) A 3  c) C 2  b) B   d) D  1 Câu 2 a) A  x   x  b) B  x  Câu a) P 5 x   x  b) P  x 1 c) P 9 x 3 Câu Trang 17 3x  x  x  4  3x   x  1 4  x  x  4 4   x  4  3x  x   3   x  4  3x   x  3 x   x 1 (thoa man dieu kien)   x 3 (khong thoa man dieu kien) Vậy x 1 Câu 2  a)  x  3 11    x     2   x  3   x 6     x     x  2  b) x  10 x  25 27  10   x      x 10    x  2   x  5  2   x     x  5   c) x  x 27  10  x  x  28  10   x  1    x  5     x     x 4     x     2x 1    4 x    6 x   d) x  x 16   x  x  21   x   x  2   x 2      x     e) x  x 1   x  x   2    51 x  5   x    1    x  2   x2 2 3     x       x2     3  x    x   Câu a) A   10    10  Trang 18 A   10    10    10    10   16  64  10    A2 16     16  24  16  2  12   10    A  10  (do A  ) 7  7 b) B   11  7  7 Ta có    11  Vậy B   c) C   3 2   14  44   2   11  3 2    21     1 1  2 1 1 1   27  38  d) D    2 1  1  1 5 3 2 5 2   5 2 3   3   5 3 2  5     5  2 2 2 1 Cách khác: Ta có D   27  38 2 42   5 3 2  Do D  5 2 3 4  27  38  2   27 2   38   4    4 2 6 2 2  (1)   (2) 5  2   2 1 Câu Trang 19  x  0   x  x  0 a) P có nghĩa  x  x  0   1   16   x x b) Ta có    x 4   x   0   x   0         x       x 4   x   1  x 0 x4 x  x x x 44 x 4  x 4 x 4 = 16 16 1  1  x x x x P x 2     4 1   x x 4 2  x 2   1 Trường hợp 1: Với x 8 ta có P  Để P số ngun x 4 x 2x 2 x   x x x    1; 2; 4;8  x   5;8; 20;68 so sánh điều kiện x 8 ta x   8; 20;68 Trường hợp 2: Với  x  ta có P  4x 16 4  x x Để P số nguyên  x     1; 2; 4;8;16  x   5;6;8;12; 20 so sánh điều kiện  x  ta x   5;6 Vậy x   5;6;8; 20;68 Trang 20