HH9 – Tiết 67 - ÔN TẬP CUỐI NĂM Dạng 1: Hệ thức lượng tam giác vuông, tỉ số lượng giác Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE AB, HF AC a) Tính EF, biết BH 13,5cm, CH 6cm b) Chứng minh AE AB AF.AC c) Qua A kẻ AK vng góc EF , cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC d) Chứng minh SABC 2 SAEHF tam giác ABC tam giác vuông cân Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD ) Biết AB 5a, BC 3a, AD 13a , AB BD tan A tan D Tính cot A cot D Dạng 2: Đường tròn Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I điểm tùy ý cạnh AB Qua I kẻ IN CD, IM AC a) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp b) CHứng minh MA.MN MB.MI c) Cho biết AB 5cm, BC 2cm Xác định vị trí điểm I cạnh AB để AN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC O Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn Phân giác góc A cắt BC O D , cắt đường tròn E Gọi K M hình chiếu điểm D AB AC a) Chứng minh tứ giác AMDK nội tiếp đường tròn b) Chúng minh tam giác AKM cân c) Đặt BAC Chứng minh MK AD.sin d) So sánh SAKEM với S ABC O Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB Các điểm C D thuộc cung AB cho sđ CD 90 ( C thuộc cung AD ) Gọi E giao điểm AC BD , K giao điểm AD BC a) Tính số đo góc CED b) Chứng minh ECKD nội tiếp c) Chứng minh OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECKD d) Khi cung CD di chuyển nửa đường trịn điểm K di chuyển đường nào? Dạng 3: Hình trụ, hình cầu, hình nón Bài 6: Một hình trụ có bán kính 5cm Một mặt phẳng qua trục OO’ , phần mặt phẳng giới hạn hình trụ hình chữ nhật có diện tích diện tích hình trịn đáy hình trụ Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ Bài 7: Cho tam giác đêu ABC cạnh 6cm, đường cao AH Quay tam giác ABC đường tròn nội tiếp, đường trịn ngoại tiếp tam giác nửa vịng quanh AH , ta hình nón hai hình cầu a) Tính diện tích tồn phần hình b) Tính thể tích hình HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Hệ thức lượng tam giác vng, tỉ số lượng giác Bài 1: (Hình H1) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE AB, HF AC a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật có ba góc vng, EF AH Tam giác ABC vng A, AH BC , ta có: AH BH HC 13,5.6 81 AH 9 cm EF 9 cm b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AH AE.AB AE AB AF.AC AH AF.AC c) Tứ giác AEHF hình chữ nhật nên AE HF, AF HE AEF HFE c g c Ta có E1 H1 Mà H1 C ( phụ với H2 ) nên C E1 Mặt khác B 90 C B A1 A 90 E 1 Suy tam giác AIB cân I nên IB=IA Tương tự IA=IC, Suy IB=IC Vậy I trung điểm BC S ABC 2 S AEHF 4 SAEF d) Ta có S ABC 4 S AEF Mặt khác S BC ABC AFE g g ABC 4 SAEF EF BC 2 EF BC EF Mà AH=FE nên AH BC AH AI Vì AH AI nên AH=AI H trùng với I Khi tam giác ABC tam giác vng cân (Hình H2) Cho hình thang cân ABCD ( BC AD ) Biết AB=5a, BC=3a, AD=13a, Bài 2: tan A tan D AB BD Tính cot A cot D Tam giác ABD vuông B, ta có: BD AD AB 144a BD 12a ABCD hình thang cân nên AC BC 12a, AB CD 5a CAD BDA c.c.c ACD 90 BD 12 a 12 AB 5a AC 12 a 12 tanD CD 5a AB 5a cot A BD 12 a 12 CD 5a cotD AC 12 a 12 tan A 12 12 tanA+tanD 5 5, 76 5 cot A cot D 12 12 Vậy Dạng 2: Đường tròn Bài 3: (Hình H3) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I điểm tùy ý cạnh AB Qua I kẻ IN CD, IM AC a) Ta có: IMC INC IBC 90 Ba điểm M, N, B thuộc đường tròn đường kính IC Tứ giác BINC hình chữ nhật nên điểm C thuộc đường trịn đường kính IC Vậy bốn điểm B, M, N, C thuộc đường tròn đường kính IC hay tứ giác BMNC nội tiếp b) Ta có: MAB MIN ( phụ với góc MIA) MBA MNI ( hai góc nội tiếp chắn cung MI) Do MNI MBA g.g ta có: MN MI MN.MA MB.MI MB MA MA.MN MB.MI c) AN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC AN NB N AN NB AB Đặt AI x x IB 5 x Dễ thấy AN AI IN x 22 , NB 22 x Do : AN BN AB x x 0 x 1 x 4 Vậy có hai vị trí cảu điểm I cạnh AB: AI 1cm, AI 4cm để AN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC Bài 4: (Hình H4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc A cắt BC D, cắt đường trịn (O) E Gọi K M hình chiếu điểm D AB AC a) Tứ giắc AMDK tứ giác nội tiếp có K M 180 b) Ta có: AKD AMD(ch cgn) AK AM Vậy tam giác AKM cân A c) Cách 1: Gọi giao điểm KD với AC S Ta có: K1 A2 (hai góc nội tiếp chắn cung MD) KMS ADA g g KM KS KS KM AD AD SA SA KS sin BAC sin KM AD.sin SA Mà d) Dễ thấy AE KM 1 S AKEM KM.AE AE.AD.sin 1 2 Kẻ CJ AB , ta có: 1 SABC AB.CJ AB.AC.sin 2 ADC ABE g.g AD AC AD.AE AB.AC AB AE TỪ (1), (2), (3) suy SAKEM với S ABC Bài 5: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Các điểm C D thuộc cung AB cho sđ CD 90 (C thuộc cung AD) Gọi E giao điểm AC BD, K giao điểm AD BC 180 sdCD 180 90 CED 45 2 a) Ta có: 0 b) Xét ECK EDK 90 90 180 Chứng tỏ ECKD nội tiếp c) Gọi I trung điểm EK Ta có: A D 1 K ABD D D A ABD D 90 Suy OD ID hay OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECKD d) ta có: AKB CKD 135 Điểm K nhìn AB cố định góc 1350 nên K di chuyển cung chứa góc 1350 dựng đoạn thẳng AB Dạng 3: Hình trụ, hình cầu, hình nón Bài 6: Một hình trụ có bán kính 5cm Một mặt phẳng qua trục OO’, phần mặt phẳng giới hạn hình trụ hình chữ nhật có diện tích diện tích hình trịn đáy hình trụ Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ Diện tích hình chữ nhật AA’B’B SAA 'B'B AB.A A ' 10h Diện tích hình trịn đáy hình trụ S O r 25 Vì S AA 'B'B S O 10 h 25 h 2,5 Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq 2 rh 78,5 cm Diện tích tồn phần hình trụ Stp 2 rh 2 r 235,5 cm Thể tích hình trụ V r h 196, 25 cm Bài 7: (Hình H7) Cho tam giác đêu ABC cạnh 6cm, đường cao AH Quay tam giác ABC đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác nửa vịng quanh AH, ta hình nón hai hình cầu Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: AH AC.sin 60 3 cm r HC.tan 30 cm R 2r 2 cm a) Diện tích tồn phần hình nón là; HC.AC HC 3.5 32 27 cm Diện tích mặt cầu nhỏ là: Diện tích mặt cầu lớn : 4 r 12 cm 4 R 4 48 cm 1 HC AH 32.3 9 3 cm 3 b) Thể tích hình nón Thể tích hình cầu nhỏ : Thể tích mặt cầu lớn là: 3 cm 32 3 cm