ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TỈNH ĐỒNG NAI – NĂM HỌC 2023-2024 MƠN TỐN CHUN – Thời gian 150 phút Câu (2,0 điểm) x x 1 x 3 x 56 0 1) Giải phương trình x y 5 x 1 y 1 6 2) Giải hệ phương trình Câu (1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn x Rút gọn biểu thức : A x 22 x x 2 x 2 x Câu (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn x y 2023 35 Câu 4.(1 điểm) Trong hình vng có cạnh đặt 99 điểm phân biệt Chứng minh có số 99 điểm nằm hình trịn bán kính Câu (2,0 điểm) 1) Cho hai số dương x y thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x y x y2 2) Cho đa thức P(x) hệ số thực Khi chia P( x) cho đa thức x dư chia P(x) cho đa thức x 1 dư Xét đa thức Q( x) x x Tìm đa thức dư chia P( x) cho Q(x) Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB 2 R Gọi H trung điểm OA.Vẽ dây CD vng góc với AB H Gọi M điểm di động cung nhỏ BC (M không trùng với B C), AM cắt CD I 1) Tính độ dài đoạn thẳng AC , BC , CH theo R 2) Chứng minh AD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IDM 3) Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC cho MB MC MD đạt giá trị nhỏ ĐÁP ÁN ĐỀ TUYỂN SINH 10 CHUYÊN ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2023-2024 Câu 1: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x 1 x 3 x 56 0 x x 12 x x 3 56 0 (1) Đặt a x x 12 a a 15 56 0 a 15a 56 0 a a (1) x 1 a x x 12 x x 0 x x 2 a x x 12 x x 0 x 2 Vậy S 1; 5; 2; 2 2) Giải hệ phương trình: 2 x y xy 5 x y 5 x 1 y 1 6 xy x y 6 x y 3 x y 3 xy 2 x y x y xy x y 5 xy 10 Vậy nghiệm hệ x y xy 5 xy x y 5 x y 2( x y ) 15 xy x y 5 x 1; y 2 x 2; y 1 1; ; 2;1 Câu 2:Cho số thực x thỏa mãn x Rút gọn biểu thức A x x x x A x x 1 x x 1 A x 1 A x 1 Vì x nên x 3 x 3 x 1 A x 1 1 x 1 x 1 x x 2 Vậy A 2 2 z Câu 3: Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn x y 2023 35 2 z z z Ta có 2023 35 7 289 7.57 nên x y 7 Vì bình phương số tự nhiên chia cho dư 0,1,2,4 2 2 2 Nên x 7; y 7 x, y x 7; y 7 x 49; y 49 x y 49 z z z Nếu z 2 2023 35 7 289 7.549 3549 (vơ lí) Vậy z 0;1 x 0; y 6 x 6; y 0 Với z 0 x y 36 Với x x y2 y z 1 x y 2058 x 46 x 0;1; 2;3; 4;5;6 2058 2057 2054 2049 16 2042 25 2033 36 2022 Khơng có Khơng có Khơng có Khơng có Khơng có Khơng có Khơng có y y y y y y y Vậy x 0; y 6; z 0 x 6; y 0; z 0 Câu 4: Trong hình vng có cạnh đặt 99 điểm phân biệt Chứng minh có số 99 điểm nằm hình trịn bán kính Chia hình vng thành 49 hình vẽ Mỗi phần lọt hình trịn bán kính Theo ngun lý Đirichle 99 điểm chia ngẫu nhiên 49 phần có điểm (49.2+1=99) Câu 5: (2,0 điểm) 1) Cho hai số dương x y thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x y Ta có: x y2 2 x y x y 2 x y x xy y x y 0 x y x y B x y B 2 (đúng) 22 2 x y2 1 x y x2 y2 4 x y2 1 B x y 1 4 x y 2 Dấu “=” xảy x y 1 B x y Vậy giá trị nhỏ biểu thức x y x y 1 x 5 dư Khi chia P( x) cho đa 2) Cho đa thức P ( x ) hệ số thực Khi chia P ( x) cho đa thức thức x 1 dư Xét đa thức Q( x) x x Tìm đa thức dư chia Đặt P ( x) T ( x) x x R( x) x x x x 1 Nên P ( x) R ( x) có số dư chia cho x x Nên R ( x) x a x 1 b 1 ax 5a bx b a b nên 5a a 6a 6 a b 1 P ( x) cho Q( x) Vậy R( x) x Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB 2 R Gọi H trung điểm OA Vẽ dây CD vng góc với AB H Gọi M điểm di động cung nhỏ BC ( M không trùng với B C ), AM cắt CD I 1) Tính độ dài đoạn thẳng AC , BC , CH theo R C M I A H O D AC AB AH 2 R R R AC R 2 BC AB AC 2R R 3R BC R R 3 CH AH BH R R 2 CH R B 2) Chứng minh AD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IDM OCD cân O có OH đường cao nên OH đồng thời trung trực Nên OH trung trực CD AC AD ACD ADC Mà ACD AMD ADC AMD IMD Suy AD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IDM 3) Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC cho MB MC MD đạt giá trị lớn C F M I A H O B D Ta có AC=OA=OC=R nên AOC CAO CAB 60 CAB CDB 60 BCD cân B lại có CDB 60 nên BCD tam giác DC DB nên D thuộc trung trực BC Lấy F điểm cung nhỏ BC nên F thuộc trung trực BC, O thuộc trung trực BC Do D, O, F thẳng hàng mà DF đường kính nên DF MD Kẻ M ; MB cắt MC E ta có MC MB MC ME CE Xét MFB MFE , có MB ME FME BFM (FBC ) MF chung MFB MFE (cgc) FB FE Trong tam giác MCE có CE FC FE FC FB Hay MC MB FC FB Lại có : MD DF (cmt) Nên MD MC MB DF FC FB Vậy MB MC MD đạt giá trị lớn M trùng với F Hay M điểm cung nhỏ BC MB MC MD đạt giá trị lớn