SỞ GD&ĐT SƠN LA KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 Mơn thi: TỐN (Bài thi Chun Tốn, Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (1,0 điểm) Cho biểu thức Q = Ngày thi: 07/06/2023 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề) x √ y + √ x − y √ x−√ y , với x ≥ ; y ≥0 1+ √ xy a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị biểu thức Q x=2024 +2 √ 2023 ; y=2024−2 √ 2023 Câu (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y=x đường thẳng (d): y= ( 2m−3 ) x +3 m−5 ¿ tham số) a) Xác định giá trị m để đường thẳng (d ) qua điểm A(−2; 3) b) Tìm m để đường thẳng (d ) tiếp xúc với parabol ( P ) Câu (1,0 điểm) Hai đội niên tình nguyện làm chung cơng việc hồn thành Nếu hai đội làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội thứ hai thời gian hồn thành cơng việc đội thứ Hỏi làm riêng đội hồn thành cơng việc bao lâu? Câu (1,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x 2−2 mx+m2−m+1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn x 22−x 21+ m x1 =16 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x 2−4 x+ √ x 2−4 x−5=7 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: { x 2+ xy −2 y 2=x+ y x3 +2 x y =x2 + y 2−1 Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao BE CF cắt H Gọi S giao điểm đường thẳng BC EF; I giao điểm SA đường tròn (O) (với I khác A) a) Chứng minh tứ giác AFHE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh SF SE=SI SA HI ⊥ SA c) Gọi M trung điểm BC, kẻ đường kính AD (O) Chứng minh ba điểm H, M, D thẳng hàng H trực tâm tam giác ASM d) Giả sử T điểm nằm đoạn thẳng HC cho AT vng góc với BT Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp tam giác IST tam giác ECT tiếp xúc với Câu (0,5 điểm) Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z=xyz Chứng minh rằng: 1+ √1+ x 1+ √ 1+ y 1+ √ z + + ≤ xyz x y z Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Các coi thi không giải thíc thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM 2023 TRUNG TÂM LÊ VŨ Câu (1,0 điểm) Cho biểu thức Q = x √ y + √ x − y √ x−√ y , với x ≥ ; y ≥0 1+ √ xy a) Rút gọn biểu thức Q √ xy ( √ x−√ y ) + √ x−√ y = ( √ x−√ y ) ( √ xy +1 ) =¿ √ x−√ y 1+ √ xy 1+ √ xy b) Tính giá trị biểu thức Q x=2024 +2 √2023 ; y=2024−2 √ 2023 Q= x=2024 +2 √ 2023=2023+2 √ 2023+1=( √ 2023+1 ) y=2024−2 √ 2023=2023−2 √ 2023+1=( √ 2023−1 ) Khi x , y nhận giá trị trên, ta có: Q = √ ( √ 2023+1 )2−√ ( √ 2023−1 )2= √ 2023+1−√ 2023+1=2 Câu (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y=x đường thẳng (d): y= ( 2m−3 ) x +3 m−5 ¿ tham số) a) Xác định giá trị m để đường thẳng (d ) qua điểm A(−2; 3) ( d ) : y=( m−3 ) x +3 m−5 qua A(−2; 3) ⇔ A ∈ ( d ) ⇔ ( m−3 ) (−2 )+3 m−5=3 ⇔−4 m+ 6+3 m−5−3=0 ⇔−m=2⇔ m=−2 b) Tìm m để đường thẳng (d ) tiếp xúc với parabol ( P ) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) (d ): x 2=( m−3 ) x+ m−5 ⇔ x 2−( m−3 ) x −3 m+5=0 (*) (d ) tiếp xúc với ( P)⇔ phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ ∆=0 ⇔ [− ( 2m−3 ) ] −4 (−3 m+5 )=0 ⇔ m2−12 m+ 9+12 m−20=0 ⇔ m2=11⇔ m2 = 11 11 ⇔m=± √ Câu (1,0 điểm) Hai đội niên tình nguyện làm chung cơng việc hồn thành Nếu hai đội làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội thứ hai thời gian hồn thành cơng việc đội thứ Hỏi làm riêng đội hồn thành cơng việc bao lâu? Gọi x (giờ) thời gian đội thứ làm riêng hồn thành cơng việc Gọi y (giờ) thời gian đội thứ hai làm riêng hồn thành cơng việc ( x > y >6) + Mỗi đội thứ làm được: công việc x + Mội đội thứ hai làm được: y công việc + Hai đội làm sau xong nên hai đội làm 1 x y trình: + = cơng việc Ta có phương (1) + Nếu hai đội làm riêng, thời gian hồn thành đội thứ hai đội thứ nên ta có phương trình: x− y =5 (2) { 1 1 1 + = ⇔ + = x x−5 x− y=5 x− y =5 { Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y ⇔ ( x−5 )+ x =x ( x−5 ) ⇔ x −17 x+ 30=0 ⇔ y =x−5 y =x−5 { { {[ x=15 ( tm ) x=2 ( loại ) y =x−5 ⇔ x=15 (tm) y=10 { Kết luận: Vậy làm riêng đội thứ hồn thành cơng việc 15 giờ, đội thứ hai hồn thành cơng việc 10 Câu (1,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x 2−2 mx+m2−m+1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn x 22−x 21+ m x1 =16 + Phương trình có nghiệm x , x ⇔ ∆' ≥0 ⇔ m2−(m2−m+1)≥ ⇔ m−1≥ ⇔m ≥1 + Theo hệ thức Vi-ét: { x1 + x 2=2 m x1 x 2=m 2−m+1 2 2 + Ta có: x 2−x 1+ m x1 =16 ⇔ x 2−x 1+ ( x + x 2) x 1=16 ⇔ x 22−x 21 +2 x21 +2 x x 2=16 ⇔ x 21 + x 22+2 x x 2=16 ⇔ ( x1 + x ) =16 ⇔ x1 + x 2=4 ⇔ m=4 x1 + x 2=−4 2m=−4 [ [ ⇔ m=2 ( nhận ) m=−2 ( loại ) [ Kết luận: Vậy m=2 thỏa mãn yêu cầu tốn Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x 2−4 x+ √ x 2−4 x−5=7 x ≤−1 ĐK: x −4 x−5 ≥0 ⇔ [ x≥5 Phương trình cho x 2−4 x−5+ √ x 2−4 x−5−2=0 Đặt t=√ x 2−4 x −5 ,(t ≥ 0) , ta phương trình : t 2+ t−2=0 ⇔ t=1(nhận) t=−2(loại) [ + Với t=1 ⇔ √ x 2−4 x−5=1 ⇔ x 2−4 x−6=0 ⇔ x=2+ √ 10 (thỏa mãn) x=2−√ 10 [ Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm: x=2 ± √ 10 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: Ta có: { { x 2+ xy −2 y 2=x+ y x3 +2 x y =x2 + y 2−1 x 2+ xy−2 y 2=x+ y (1) x3 +2 x y =x2 + y 2−1( 2) (1) ⇔ x + ( y−1 ) x−2 y 2−2 y=0 2 ∆= y −2 y +1+8 y +8 y=9 y +6 y +1= (3 y +1 ) 1− y+ y +1 = y +1 Phương trình (1) ⇔ 1− y−3 y−1 x= =−2 y [ x= +Với x= y +1 vào (2) ta được: x 3+ x ( x −1 )=x 2+ ( x−1 )2−1 ⇔ x 3+ x 3−2 x 2=x 2+ x 2−2 x +1−1 ⇔ x 3−4 x 2+ x=0 ⇔ [ x=0 ⇒ y =−1 x −4 x +2=0(vô nghiệm) + Với x=−2 y vào (2) ta được: −8 y +2 (−2 y ) y=4 y 2+ y 2−1 ⇔5 y 2=1 ⇔ y=± √5 ⇒ x=−2 ± √ 5 ( 5) { Kết luận: hệ phương trình có nghiệm phân biệt: ( x ; y )= ( ;−1 ) ; ( −25√ ; √55 ); ( 2√5 ; −5√ )} Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao BE CF cắt H Gọi S giao điểm đường thẳng BC EF; I giao điểm SA đường tròn (O) (với I khác A) A I E F O H M S C B D a) Chứng minh tứ giác AFHE tứ giác nội tiếp Do BE⊥ AC ;CF ⊥ AB ⇒ ^ AEB= ^ AFC=900 Xét tứ giác AEHF có: ^ AEH + ^ AFH =900 +90 0=1800 ⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh SF SE=SI SA HI ⊥ SA Xét tứ giác BFEC có : ^ BFC= ^ BEC=90 Mà góc nhìn cạnh BC ⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn ⇒^ FEB= ^ FCB (hai góc nội tiếp chắn cung BF) Xét tam giác SEB tam giác SCF có: ^ ESC góc chung ^ SEB= ^ SCF ⇒ ∆ SEB ∽∆ SCF (g-g) ⇒ SE SB = ⇒ SE SF=SB SC (1) SC SF Xét tam giác SAB tam giác SCI có: ^ ASC chung ^ SAB= ^ SCI= số đo cung IB (góc nội tiếp) ⇒ ∆ SAB ∽ ∆ SCI (g-g) ⇒ SA SB = ⇒ SA SI =SB SC(2) SC SI Từ (1) (2) ⇒ SE SF=SA SI ⇒ SE SA = SI SF ⇒ ∆ SIF ∽ ∆ SEA (c.g.c) ^ SEA ^ ⇒ SIF= ⇒ tứ giác AIFE nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) Mà điểm A, E, H, F thuộc đường tròn ⇒ điểm A, I, E, H, F thuộc đường tròn ⇒ AIHE nội tiếp đường tròn ⇒^ AIH= ^ AEH =900 ⇒ IH ⊥ SA (c) Gọi M trung điểm BC, kẻ đường kính AD (O) Chứng minh ba điểm H, M, D thẳng hàng H trực tâm tam giác ASM Xét (O): ^ ABD=^ ACD=90 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AB⊥ BD AC ⊥ AD { ⇒ {CH ∥ BD BH ∥CD mà ⊥ AB {CH BH ⊥ AC ⇒ tứ giác BHCD hình bình hành ⇒ BC HD cắt d) Giả sử T điểm nằm đoạn thẳng HC cho AT vng gó(a+b)c với BT Chứng minh hai đường trịn ngoại tiếp tam giác IST tam giác ECT tiếp xúc với Câu (0,5 điểm) Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z=xyz Chứng minh rằng: 1+ √1+ x 1+ √ 1+ y 1+ √ z + + ≤ xyz x y z Từ x + y + z=zyz ⇒ 1 + + =1 xy yz xz Lại có: √ 1+ x = 12 +¿= 12 + + + ¿ (áp dụng √ ab ≤ (a+ b)) x √ √ x x ⇒ Dấu “=” xảy ⇔ x= y=z Chứng minh: xy yz xz 1+ √ 1+ x 2 1 1+ 1+ x 1 ≤ + + ⇒ √ ≤3 + + x x y 2z x x y z ( ) ( 1x + 1y + 1z ) ≤ xyz ⇔ ( xy + yz + zx ) ≤ ( xyz )2 ⇔ ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) 2 2 ⇔ ( x− y ) 2+ ( y−z ) + ( z−x ) ≥0 (đúng) Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy x= y =z=√ Hết