ĐỀ THI CHUN TỐN TỈNH BẾN TRE NĂM 2023-2024 MƠN TOÁN CHUYÊN Câu (2 điểm): x+ √ x +4 x + √ x 1 + : − Cho biểu thức A= , với x>0, x≠ x + √ x−2 1−x √ x +1 1−√ x a) Rút gọn biểu thức A 1+ √ 2023 b) Có giá trị nguyên x để A≥ ? √ 2023 Câu (2 điểm): a) Giải phương trình( √ x+ 6− √ x−2 ) ( 1+ √ x 2+ x−12 )=8 ( )( ) x+ y+ = y x b) Giải hệ phương trình 4y x+ y− = x x { Câu (2 điểm): −2 Cho Parabol y= x ( P), đường thẳng (d): y= m x +2 với m≠0 điểm I(0;2) a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm A, B phân biệt b) Gọi H, K hình chiếu A, B trục hoành Chứng minh tam giác IHK tam giác vuông c) Chứng minh độ dài đoạn thẳng AB lớn Câu (1 điểm): Cho số thực x thỏa mãn 0¿ x < Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= 2−x 1+2 x + 1−2 x 3x Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC góc tù (AB < AC, BC < 2R) nội tiếp đường tròn (O;R) (B, C cố định, A di động cung lớn BC) Các tiếp tuyến B C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt (O) D E (D ≠ E, D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC F cắt AC I a) Chứng minh MBIC tức giác nội tiếp b) Chứng minh FI.FM= FD.FE c) Tìm vị trí điểm A cung lớn BC cho tam giác IBC có diện tích lớn Lời giải tham khảo Câu Rút gọn biểu thức Lời giải a) Ta có: ( A= x+ √ x+ x+ √ x + : x + √ x−2 1−x )( 1 − √ x+1 1−√ x ) ( √ x +2 ) 1 √ x ( √ x +1 ) + + = : ( √ x−1 ) ( √ x +2 ) ( 1−√ x ) ( 1+ √ x ) √ x+1 √ x−−1 ( )( ) x+ x √x + √ ):( ( √√ x−1 1−√ x x−1 ) √x √ x+ − √ x =( :( ) √ x−1 √ x−1 x−1 ) x−1 =( ( ) √ x−1 √ x ) = = √ x +1 √x b) Ta có biến đổi sau A≥ 1+ √ 2023 √2023 ⟺√ x +1 1+ √ 2023 ≥ √x √ 2023 ⟺ √ 2023 x + √ 2023 ≥ √ x + √ 2023 x ⟺ √ x ≤ √2023 ⟺ x ≤ 2023 c) Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu, ta 1< x ≤ 2023( x ∈ Z) Vậy có 2022 giá trị nguyên x thỏa mãn yêu cầu tốn Bình luận – rút gọn biểu thức đơn giản; ý a), ta cần thực phép tính tốn thật cẩn thận để kết đúng, ý b), ta cần lưu ý điều kiện xác định để tìm tập giá trị x thỏa mãn Câu Phương trình, hệ phương trình a) Giải phương trình( √ x+ 6− √ x−2 ) ( 1+ √ x 2+ x−12 ) =8 x + y + = (1) y x b) Giải hệ phương trình 4y x+ y− = (2) x x { Lời giải x +6 ≥ x−2≥ a) Điều kiện xác định x + x−120 ≥ { ⟺ x≥2 Phương trình ban đầu tương đương ( √ x+ 6+ √ x−2 ) ( √ x +6−√ x−2 ) ( 1+ √ x2 + x−12 ) =8 ( √ x +6+ √ x−2 ) ⟺ ( 1+ √ x 2+ x−12 )=8( √ x+ 6+ √ x−2 ) ⟺ 1+ √ x2 + x−12 =√ x+ 6+ √ x−2 2 ⟺ ( 1+ √ x 2+ x−12 ) =( √ x+ 6+ √ x−2 ) ⟺ 1+ x 2+ x−1+2 √ x + x−12 = x +6+ x−2+2 √ x2 + x−12 ⟺ x 2+ x−15=0 ⟺ x=3(nhận) x=−5 (loại) [ Bình luận – Áp dụng kĩ thuật thường gặp toán phường trình vơ tỉ, ta có cách đánh giá tự nhiên để dẫn đến lời giải toán: i) Ta thấy nhân lương liên hợp có ( √ x+ 6− √ x−2 ) ( √ x+ 6− √ x−2 ) =¿ x +6− x+2=8 nên ta nhân hai vế cho lượng√ x+ 6+ √ x−2 để triệt tiêu hai vế phương trình ii) Để ý ( x +6 ) ( x−2 )= x 2+ x−12 nên bình phương hai vế triệt tiêu lượng 2√ x 2+ x−12 để đưa phương trình đơn giản Đây phương trình vơ tỉ khơng q khó việc phân tích, đánh giá, nhiên cần lưu ý việc loại nhận nghiệm dựa vào điều kiện xác định b) Điều kiện xác định: x 2+ y ≠ Ta có (x + y ) x2 ⟺( x + y ) −1 =0 x (2)⟺ x+ y= ( ⟺ [ ) x + y=0 =1 x2 ⟺ x=− y x=± [ Với x=− y , thay vào (1), ta −9 10 = ⟺ =0 (vô lý) y y y Với x=2,thay vào (1), ta y + = −2 y 2 ⟺ y −5 y+ 2=0 ⟺ y = (nhận) y=2(nhận) [ Với x=−2,thay vào(1), ta −9 y+ = +2 y ⟺ y 2+5 y +2=0 −1 ⟺ y = (nhận) y=−2(nhận) [ 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ¿ ∈ ( 2; 2) ,(−2 ;−2), ; , −2;− { ( )( )} Câu (2 điểm): −2 Cho Parabol y= x ( P), đường thẳng (d): y= m x +2 với m≠0 điểm I(0;2) a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm A, B phân biệt b) Gọi H, K hình chiếu A, B trục hồnh Chứng minh tam giác IHK tam giác vuông c) Chứng minh độ dài đoạn thẳng AB lớn Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm của(P) (d) −2 x= x+ 2,m ≠0 ( ) m ⟺ 2 x + x−2=0 m ⟺ x 2+ x−4=0 m Do ∆ 'x = +4 >0 , ∀ m≠0 nên phương trình (1) ln có nghiệm x , x phân m2 biệt Mặt khác, số nghiệm phương trình(1) số giao điểm (P) (d) Vậy đường thẳng (d) cắt (P) điểm A, B phân biệt 2 b) Ta đặt A( x ; y ¿ , B ( x ; y ) hay A x ; x , B x ; x Khi H( x ; o ¿ , K (x ; 0) Áp dụng Viềt cho phương trình (1) với nghiệm phân biệt x , x ta có ( { ) ( ) −4 m x x 2=−4 x1 + x 2= { HK 2=( X 2− X )2=( X 1+ X )2−4 X X 2= 16 +16 m2 IH 2=( X 1−0 ) 2+ ( 0−2 )2= X 12+ Ta tính IK 2=( X 2−0 )2 + ( 0−2 )2=X 22 +4 2 2 IH + IK = X + X +8=( X 1+ X ) −2 X X 2+ 8= Suy HK 2=IH + IK 2, hay tam giác IHK vuông I C) Ta chứng minh A B2> 16 với m≠ Thật vậy, 22 A B =( x ¿ ¿ 2−x1 ) + x − x1 ¿ 2 2 ( ) 2 ¿( x ¿ ¿ 2−x1 ) + (x ¿ ¿ 1+ x2 ) ( x ¿ ¿2−x 1) ¿ ¿ ¿ ¿( x ¿ ¿ 2−x1 )2+ ¿ ¿ 16 +16 m2 ¿ ( 16m +16)( 1+ m4 ) ¿ 64 80 + +16> 16, ∀ m≠ m4 m2 2 Bình luận – Mấu chốt tốn áp dụng định lý Vi-ét cơng thức tính độ dài đoạn thẳng từ hai điểm có tọa độ cho trước Ta ý tính tốn biến đổi thật kỉ lưỡng để đảm bảo độ xác Câu Bất đẳng thức Cho số thực x thỏa mãn 0¿ x < Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= 2−x 1+2 x + 1−2 x 3x Lời giải Đặt a= x , a>2 Khi 1+ a a a−1 a+2 a−2 A= + = + =2+ + + a−2 a−2 3 1− a a 2− a−2 Áp dụng bất đẳng thức AM −GM cho hai số dương a−2 , ta A ≥ 2+ a−2 16 ∙ + = a−2 3 √ √ Đẳng thức xảy a=5 ⇔ x= Bình luận – Ta biến đổi khéo léo biểu thức đề để áp dụng bất đẳng thức AM −GM Một số tốn tương tự: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= a + 1−a , 0< a