011 10 chuyên toán bình thuận 23 24

LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN BÌNH THUẬN NĂM 2023-2024 Phạm Minh Trí- Cựu học sinh chuyên Tốn trường THPT chun Trần Hưng Đạo Trần Chí Nhân- TK30 trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo I Đề Bài 1: (2,0 điểm): Giải phương trình: x 2−53 x=√ x +1−71 Bài 2: (2,0 điểm): a) Kí hiệu S(n) tổng chữ số số nguyên dương n Biết a b hai số nguyên dương thỏa S(a) = S(b) = S(a + b) Chứng minh a b chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2+( x +1)2 = y +( y+ 1)4 Bài 3: (2,0 điểm): Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh rằng: a b c + + ≤ a +bc b + ca c +ab 2 Bài 4: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng B,H,C) Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC a) Chứng minh MP + MQ = AH b) Gọi K trung điểm AM Chứng minh KH ⊥ PQ c) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM Gọi D,E,F theo thứ tự tiếp điểm (O) với cạnh BM,AB,AM Vẽ DN vng góc với EF N BNE=^ MNF Chứng minh ^ Bài 5: (1,0 điểm): Chia bảng hình vng có cạnh 23cm thành vng có cạnh 1cm Ban đầu, tất ô vuông điền dấu "+" Sau người ta thực đổi dấu (mỗi lần đổi dấu chuyển " + " thành " — ", " — " thành “ + “ ) ô vuông dòng cột bảng theo quy tắc sau:  Tất ô dòng thứ i đổi dấu i lần (i∈ N ,1 ≤ i≤ 23 )  Tất ô cột thứ j đổi dấu 5j + lần ( j ∈ N , 1≤ j ≤ 23 ) Hỏi sau thực tất thao tác đổi dấu, bảng dấu " + "? II Bài giải Bài 1: (2,0 điểm): Giải phương trình: x 2−53 x=√ x +1−71 Giải Điều kiện x+1 ≥ ⟺ x ≥− Phương trình viết lại thành: 36 x 2−212 x+284=4 √ x +1 ⟺ 36 x 2−212 x +284 +8 x+5=4 ( x +1 ) +4 √2 x +1+ ⟺ 36 x 2−204 x +289=4 ( x+1 ) + √ x +1+1 ⟺ ( x−17 )2 =( √ x+1+1 ) ⟺ 2 x +1+1=6 x−17 (1) 2 x +1+1=17−6 x (2) [ √√ Xét (1), ta có: (1)⟺ √2 x+ 1=6 x−18 ⟺ √2 x+ 1=3 ( x +1 ) −21(1') Đặt t=√ x +1 ≥ 0ta có: ( 1' ) ⟺ 3t 2−2 t−21=0 ⟺ ( t−3 ) ( t+7 )=0 ⟺ [ 3t−3=0 t+ 7=0 Xét (2), ta có: ( ) ⟺ x+2 √ x +1−16=0 ⟺ ( x +1 ) +2 √2 x +1−19=0 Đặt t=√ x +1 ≥ ta có: ( 2' ) ⟺ 3t +2 t−19=0 Giải phương trình ta hai nghiệm −1+ √58 −1− √ 58 t 1= ( nhận ) ; t 2= (loại) 3 Với t 1= −1+ √58 ta được: √ x +1= −1+ √ 58 ⟺ x +1= ⟺2x= ⟺ x= 50−2 √ 58 25− √ 58 (nhận) 25− √ 58 ;4 Vậy S= { 59−2 √ 58 } Bài 2: (2,0 điểm): a) Kí hiệu S(n) tổng chữ số số nguyên dương n Biết a b hai số nguyên dương thỏa S(a) = S(b) = S(a + b) Chứng minh a b chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2+( x +1)2 = y +( y+ 1)4 Giải a) Ta áp dụng tính chất a - S (a) ⋮ với số nguyên dương a (bạn đọc tự chứng minh tính chất này) Vậy ( a + b - S(a) = a + b - S(a+b)⋮9 ⟹ ( a−S ( a ) ) +b ⋮ ⟹ b ⋮9 Tương tự , ta a ⋮ Vậy a , b chia hết cho (đpcm) b) Phương trình viết lại: x2 +2 x+ 1=2 y +4 y 3+ y 2+ y +1 ⟺ x +2 x+ 2=2 y +4 y 3+ y 2+ y +2 ⟺ x 2+ x +1=( y + y +1)2 Vậy từ ta x 2+ x+1 số phương hay x2 + x+ 4=(2 x +1)2+3 số phương Đặt (2 x+1)2 +3=t (t ϵ Z) (**) Ta có: ¿ ⟺ ( t−2 x−1 )( t +2 x+1 ) =3 Xét tất trường hợp sau: t−2 x−1 t+ x +1 t x 3 -1 -1 -3 -2 -1 -3 -1 -2 Vậy x=0 x=−1 Với x = thay vào (*), ta được: (*)⟺ ( y + y +1 ) =1 y + y +1=1 ⟺ y 2+ y=0 ⟺ y ( y+ )=0 ⟺ y=0 ⟺ y=−1 y + y +1=−1(vô nghiệm) [ [ Với x = - thay vào (*), ta được: 2 y=0 (*)⟺ ( y + y +1 ) =1 ⟺ y=−1 [ Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (0; 0); (0; - 1); (- 1; 0); (- 1; - 1) Bài 3: (2,0 điểm): Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh rằng: a b c + + ≤ a +bc b + ca c +ab 2 Giải Biến đổi giá trị thiết ta được: 1 + + =3 a b c Ta có: a a 1 1 ≤ = = ≤ + a +bc a √ bc √ bc √ bc b c ( ) Tương tự: b 1 ≤ + b +ca c a ( ) c 1 ≤ + c + ab a b ( ) Vậy a b c 1 1 + + ≤ + + = 3= a b c a +bc b + ca c +ab ( ) Dấu “ = ” xảy a=b=c=1 Bài 4: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng B,H,C) Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC a) Chứng minh MP + MQ = AH b) Gọi K trung điểm AM Chứng minh KH ⊥ PQ c) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM Gọi D,E,F theo thứ tự tiếp điểm (O) với cạnh BM,AB,AM Vẽ DN vng góc với EF N BNE=^ MNF Chứng minh ^ Giải: a) Trong ∆ BMP vng P ta có: MP=MB sin MBP=MB sin 60 °= √ MB Tương tự, ta chứng minh được: MQ= √ MC Vậy MP+ MQ= √ BC = AH APM= ^ AQM= ^ AHM = 90 ° nên A, M, P, Q, H nằm đường b) Do ^ tròn đường kính AM Do đó, K tâm đường trịn này⟹ KP = KH = KQ PHK =^ PAH =2 ^ BAH =2 30 °=60 ° Vậy ∆ PKH Trong ∆ PKH cân K có ^ ⟹ HP=HK ( 1) Tương tự, chứng minh ∆ QKH ⟹ HQ=HK (2) Từ (1), (2) ta được: HQ=HK ⟹ PQ đường trung trực HK ⟹ PQ ⊥ HK Mà PQ=PK } c) Gọi B', M' hình chiếu B, M lên EF Khi BB'||DN|| MM' Gọi N giao điểm DN BM Áp dụng định lý Thales ∆ BMM'; ∆ M'BB' có BB'||DN|| MM'; D ∈ BM ; N ∈ B M ' ; N ∈ B ' M ' , ta có: ' MD M ' N ' = DB N ' B ⟹ BD = B ' N (3) M ' N' M' N DM NM ' = N'B NB ' } Xét ∆ BB'E ∆ MM'F , ta có: ^ BB' E=^ MM ' F=90 ° ^ BEB ' = ^ AEF = ^ AFE (∆ AEF cân F AE = AF theo tính chất tiếp tuyến ) ¿^ MFM ' B ' E BE BD ( ) Vậy ∆ B B E ∆ M M F g g ⟹ ' = MF = DM (4) ( BE=BD ; MF= MD M F ' ' theo tính chất tiếp tuyến ) B ' M B' E B ' N−B' E EN = = = Từ (3) (4 ), ta N M ' M ' F N M ' −M ' F FN Xét ∆ BNE ∆ MNF , ta có : ^ BEN =^ MFN EN B' N BE = = (CMT ) FN M N ' MF ^ ^ MNF( ĐPCM ) Vậy ∆ BNE ∆ MNF ( c g c ) ⟹ BNE= Bài 5: (1,0 điểm ): Chia bảng hình vng có cạnh 23cm thành vng có cạnh 1cm Ban đầu, tất ô vuông điền dấu + "" Sau người ta thực đổi dấu (mỗi lần đổi dấu chuyển "+ "thành "— " , "— "thành “ + “ ) vng dịng cột bảng theo quy tắc sau:   Tất dịng thứ i đổi dấu i lần (i∈ N ,1 ≤ i≤ 23 ) Tất ô cột thứ j đổi dấu 5j + lần ( j ∈ N , 1≤ j ≤ 23 ) Hỏi sau thực tất thao tác đổi dấu, bảng dấu "+ ? " Giải : Ta gọi ô (i; j) dịng thứ i cột thứ j bảng Khi đó, sau tất thao tác đổi dấu, ô (i; j) bị đổi dấu i +5j+1 (lần) i + 5j +1 ≡ i+j+1 (mod 2) Sau tất thao tác đổi dấu, ô (i; j ) mang “ + ”nếu bị dỗi dấu số chẵn lần Vậy sau thao tác, ô (i; j) mang dấu “ + ” i + j + j + 1⋮2 hay i, j khác tính chẵn lė Th : i lẽ, j chẵn Ta chọn i thỏa mãn có 12 cách, chọn j thỏa có 11 cách Vậy số (i; j) thỏa 12.11 =132( ) Th2: i chẵn, j lẻ Bằng cách chọn tương tự, ta só thỏa mãn 11.12 =132 (ô) Vậy số ô mang dấu “ + ” sau thự đổi dấu 132 + 132 = 246 ô