SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Phan Hòa Đại Bài giải Đề thi chuyên toán Bình Định SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 2020 2021 BÌNH ĐỊNH Môn thi chuyên TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Đề chính thức Ngà[.]
Phan Hịa Đại SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức Bài giải Đề thi chun tốn Bình Định KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 2020-2021 Mơn thi chun: TỐN (CHUN TỐN) Ngày thi: 18/7/2020 Bài 1: ( đ) 1.Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức: = P 3x + x − x+2 x −3 − x +1 x +3 − x −3 x −1 nhận giá trị nguyên Cho phương trình 2x − 3x + 2m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác thỏa 1 − = x1 x Bài 2: (2,5 đ) x4 − x2 + 1 Giải phương trình: = x + 3x − x x + y − 3x + 2y =−1 (1) 2.Giải hệ phương trình: x + y = y − x ( ) Bài 3: (1.5 đ) Tìm tất số nguyên tố p, q cho p2+3pq+q2 số phương Bài 4: (3 đ) Cho tam giác ABC cân A ( Với ∠BAC < 600 ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ BC CMR: MA > MB+MC Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, gọi D trung điểm BC E, F tương ứng hình chiếu vng góc D lên AC, AB Đường thẳng EF cắt đường thẳng AO BC theo thứ tự M N a) CMR: tứ giác AMDN nội tiếp b) Gọi K giao điểm AB ED, L giao điểm AC FD, H trung điểm KL I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF CMR: HI ⊥ EF (x + y) + (x + y) Bài 5: (1 đ) : Cho x, y hai số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: = A x2 + y2 xy -* - HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: 1.Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức: = P 3x + x − x+2 x −3 − x +1 x +3 − x −3 x −1 nhận giá trị nguyên Cho phương trình 2x − 3x + 2m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác thỏa 1 − = x1 x Giải: 1.Tìm tất giá trị nguyên x để: = P ÑK : x ≥ 0; x ≠ , ta có: 3x + x − x+2 x −3 − x +1 x +3 − x −3 x −1 nhận giá trị nguyên Phan Hòa Đại P = = 3x + x − x+2 x −3 − x +1 x +3 3x + x − − x + − x + ( x +3 )( ) x −1 = ( )( ) ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 1) ( x + 3)( x + 1) = x + 1= + x+4 x +3 = ( x + 3)( x − 1) ( x + 3)( x − 1) x − x − x − 3x + x − − = x −1 − Bài giải Đề thi chuyên toán Bình Định x +1 x −1 − Với x ∈ Z , x ≥ 0; x ≠ ⇒ x − ≥ −1; x − ≠ , 2 ∈ Z ⇔ x − ∈ {−1;1;2} ⇔ x ∈ {0;2;3} ⇔ x ∈ {0; 4;9} (TM) x −1 Cho phương trình 2x − 3x + 2m = (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; Ta có: P =1 + x2 khác thỏa x −1 ∈Z ⇔ 1 − = x1 x x1x ≠ 1 x1x ≠ Ta có: ( x1 − x ) − =⇔ ⇔ 2 ∆ = = − 16m x1 x = x x 4x x x x + − = ( 2) 2) ( ( x1x ) Do (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác thỏa 9 − 16m > ∆ > x + x = x1 + x = 2 ⇔ x x == m ⇔ x1x m x x ≠ 1 2 − = x + x − 4x x = x x ( ) ( ) 2 x1 x 1 − = x1 x 9 m < m< m< 16 16 16 ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ 4m + 16m − = − 4m = m1 = m m2 = − m1 = ⇔ ( TM ) m = − 2 Bài 2: Giải phương trình: x4 − x2 + 1 = x3 + 3x − x ĐK: x3 + 3x − x ≠ ⇔ x ≠ 0; x ≠ −3 + 13 −3 − 13 Vì x ≠ nên : ;x ≠ 2 x2 − + x4 − x2 + 1 x = = ⇔ (1) ( Chia tử mẫu VT cho x2 ≠ ) 2 x + 3x − x x +3− x Phan Hòa Đại 1 Đặt : x − =t ⇒ x + =t + , ta PT: x x Bài giải Đề thi chun tốn Bình Định t= t2 + 1 = (ĐK: t ≠ -3) ⇒ 2t + = t + ⇔ 2t − t − = ⇔ ( 2t − 1)( t + 1) = ⇔ t +3 t = −1 + 17 x1 = 1 Với t = ⇒ x − = ⇒ 2x − x − = ⇔ (TM) x − 17 x2 = −1 + x3 = (TM) Với t =−1 ⇒ x − =−1 ⇒ x + x − =0 ⇔ x −1 − x4 = Vậy PT có bốn nghiệm: …… x + y − 3x + 2y =−1 (1) Giải hệ phương trình: x + y = y − x ( ) Ta coù (1) ⇔ x + y += 3x + 2y ⇔ ( y − x ) += ⇔ x + y + − 2xy − 2x + 2y = 3x + 2y ( Bình phương ) ( ⇔ ( y − x ) − 5x + = ⇔ x + y − 5x + = Thay y − x = ( 3x + 2y Thay x + y= y − x ) ) x + y ⇔ y = 4x − 1( 3) Thay (3) vào (2), ta PT: x≥ 1 x = x ≥ x ≥ x + y = y − x ⇔ 5x − = 3x − ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇔ x = ⇒ 3 y = 9x − 6x + = 5x − 9x − 11x + = x = Bài 3: Tìm tất số nguyên tố p, q cho p2+3pq+q2 số phương Giải: Với p, q số nguyên tố cho p2+3pq+q2 số phương ⇔ p2 + 3pq + q = a2 ( a ∈ N ) ⇔ ( p + q ) + pq = a2 ⇔ ( a − p − q )( a + p + q ) = pq Mà p,q số nguyên tố nên a-p-q 2 , có khả sau: a-p-q p q a+p+q pq q p = p−2 q−2 a − p − q = = Trường hợp 1: ⇒ + 2p + 2q = pq ⇔ ( p − )( q − ) = ⇔ = pq p−2 a + p + q = q−2 = p = = q (TM) ⇔ p = = q a − p − q = p Vì a+p>2 nên (*) sai => Loại trường hợp ⇔ ( *) q a + p + q = a + p = a − p − q = p Trường hợp 2: Phan Hịa Đại Bài giải Đề thi chun tốn Bình Định a − p − q = q Vì a+q>2 nên (**) sai => Loại trường hợp ⇔ ( **) p a + p + q = a + q = a − p − q = q Trường hợp3: Vậy hai số nguyên tố p, q cần tìm Bài 4: Cho tam giác ABC cân A ( Với ∠BAC < 600 ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm A cung nhỏ BC CMR: MA > MB+MC Giải: Dựng tam giác AB’C’, lấy điểm D AM cho MD=MB’=> ∆ MB’D cân , mà DMB' = ACB' = 600 + B' = AB'C' = 600 = DB' + B' ⇒ B' = B' 3 => ∆ MB’D ⇒ B' M = B' ⇒ ∆AB' D =∆C' B' M ( c.g.c ) => AD =MB' O ⇒ MA =AD + DM =MB'+ MC' (1) Vẽ đường kính AOE, Ta có: ' = EAC = BAC < 300 = B' AC ' = EAB' = EAC EAB 2 B nằm cung nhỏ MB’, C nằm cung nhỏ MC’ B' MB