Mời các bạn cùng tham khảo hướng dẫn giải đề thi thử đại học năm 2012 môn Toán - Đề số 16 dưới đây để có thêm tài liệu củng cố lại kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng làm bài thi. Hy vọng nội dung đề thi sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
ĐỀ SỐ 16 I PHẦN CHUNG (7,0 điểm): Cho tất thí sinh -2 01 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN Câu I.(2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + x có đồ thị (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C) Tìm m để phương trình |x| = 2x2 − |x| + m có nghiệm phân biệt Giải: Ta có: |x| = Hàm số f (x) = |x|3 − 2|x|2 + |x| = 2x2 − |x| + m ⇔ |x|3 − 2|x|2 + |x| = m x2 − 2x2 + x; x ≥ (−x)3 − 2(−x)2 + (−x); x < có đồ thị (P ) gồm phần (P1 ), (P2 ) Bo xM ath xác định cách: - Giữ nguyên phần đồ thị không nằm bên trái trục tung (C) : (P1 ) - Lấy đối xứng phần đồ thị (P1 ) qua trục tung : (P2 ) Số nghiệm phương trình |x| = 2x2 − |x| + m số giao điểm (P ) với đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị ta thấy, đường thẳng y = m cắt (P ) điểm phân biệt < m < Vậy < m < 27 giá trị cần tìm Câu II.(2,0 điểm) Giải phương trình: sin x(2 sin x − sin2 3x) = sin2 3x(2 sin x − 1) Giải: Phương trình tương đương sin2 x − sin x sin2 3x + sin2 3x = ⇔(2 sin x − sin2 3x)2 + sin2 3x − sin4 3x = ⇔(2 sin x − sin2 3x)2 + sin2 3x cos2 3x = ⇔ Ta có 2sinx − sin2 3x = (1) sin2 3x cos2 3x = (2) (2) ⇔ sin2 3x = sin2 3x = π Với sin2 3x = thay vào (1) ta sinx = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) x = π6 + k2π Với sin2 3x = thay vào (1) sinx = 21 ⇔ (k ∈ Z) x = 5π + k2π 27 x4 + 2xy + 6y − (7 + 2y)x2 = −9 2x2 y − x3 = 10 Giải: Phương trình thứ tương đương -2 01 2 Giải hệ phương trình: (x2 − y − 3)2 = (x − y)2 ⇔ Với x2 √ √ √ − 13 79 + 13 13 79 − 13 , ; ; 36 36 √ √ √ 2+ √ 2− , − 5; 5; 2 √ 1+ − x − = 0, ta tìm nghiệm Với 2y = x2 + x − 3, ta tìm nghiệm Vậy hệ có nghiệm 1+ √ √ 13 79 − 13 ; 36 , 1− √ √ 13 79 + 13 ; 36 Câu III.(1,0 điểm) Tính tích phân ln I= , √ √ 2+ 5; ln I= Đặt tan t = ex − suy tan2 t + dt = π Đổi cận: x = ⇒ t = 0, x = ln ⇒ t = Khi đó: ex dx √ √ 2− , − 5; x.ex dx e2x − 2ex + Bo xM ath Giải: Ta có: x2 − x − = 2y = x2 + x − x.ex dx (ex − 1)2 + x = ln (tan t + 1) π ln (tan t + 1) dt I= π Đặt u = − t Khi π I= ln + Suy − tan u du = + tan u π ln tan u + ln 2dt = 2I = [ln − ln (tan t + 1)]dt du = π π π ln π Vậy I = ln Câu IV.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành với AB = a, AD = 2a, có SC vng góc (ABCD), góc BAD = 600 ; SA hợp với (ABCD) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách SA BD π Giải: -2 01 Bo xM ath Câu V.(1,0 điểm) Cho số thực thay đổi x, y, z ∈ [0; 2] thỏa mãn x ≥ y, x ≥ z x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x3 + y + z + (x − 1)y(z + 1) Giải: Vì x ≥ y, x ≥ z x ∈ [0; 2] nên ≤ x ≤ Theo bất đẳng thức cơ-si, ta có: P = x3 + y + z + (x − 1)y(z + 1) ≤ x3 + (y + z)3 + (x − + y + z + 1) = x3 + (3 − x)3 + = 9(x − 2)(x − 1) + 16 ≤ 16 Đẳng thức xảy x = 2, y = 1, z = nên giá trị lớn P 16 II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần: Theo chương trình chuẩn: Câu VIa.(2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) : x + y − = đường trịn (C) có tâm I(2; 1), bán kính R = Từ điểm A nằm (C) kẻ hai tiếp tuyến d1 d2 đến đường tròn (C) cắt đường thẳng (d) −→ −→ B C cho IB, IC ngược hướng Tìm tọa độ điểm A để diện tích tam giác ABC nhỏ π Giải: -2 01 (C) có tâm I(2; 1); R = Ta thấy (d) qua tâm I B, C nằm khác phía so với I Gọi tiếp điểm (d1 ) (d2 ) với đường tròn H K; chân đường cao từ C hạ xuống AB M Ta có: S∆ABC = S∆ABI + S∆ACI AB.IH IK.AC = + 2 = 2(AB + AC)(doR = 4) √ ≥ AB.AC √ ≥ AB.CM = 2S∆ABC ⇒S∆ABC ≥ 32 AB = AC hay ∆ABC vuông cân A AC = CM √ Khi đường thẳng AI⊥(d) AI = IH.sin45o = t=6 (AI) : x − y − = ⇒ A(t; t − 1) ⇒ AI = 2(t − 2)2 = 32 ⇔ t = −2 VậyA(6; 5) A(−2; −3) x = + 2t Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆1 : y = t mặt phẳng (P ) : x + 2y − z = Lập z =2+t phương√trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P ) vng góc với ∆1 khoảng cách ∆1 ∆ π Giải: Bo xM ath Dấu xảy ⇔ Giải: Hệ tương đương 2 −x+1 + 2y x2 −x+2 2 −x+3(y+1) =3 -2 01 Câu VIIa.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2x y −x+3y+2 − 6.2 2x −y +3 −x = 2(y+3) 2x −x+1 + 2y −x+3(y+1) = 2 2 2x −x+2 − 3.2y −x+3(y+1) = 2.22(y −x+3y+3)−(x −x+1) Đặt a = 2x −x+1 > 0, b = 2y −x+3(y+1) > ta hệ ẩn a, b: a+b =3 2b2 2a − 3b = a Thế b = − a vào phương trình thứ hai phương trình ẩn b: 3b2 − 21b + 18 = ⇔ b=1 b=6 x2 − x + =1 ⇔ (x; y) = (1; −1); (1; −2) − x + 3y + = Với b = ⇒ a = −3 loại (vì a > 0) Với b = ⇒ a = ⇒ y2 Bo xM ath Theo chương trình nâng cao Câu VIb.(2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y = 25 đường tròn (T ) : x2 + (y − 8)2 = Một đường thẳng (d) cắt (C) A B; cắt (T ) C D thoả mãn AB = BC = CD Viết phương trình đường thẳng (d) Giải: Dễ thấy đường trịn cho tiếp xúc ngồi (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 5; (T ) có tâm I(0; 8), bán kính R = Giải sử AB =√BC = CD = 2a √và trung điểm đoạn AB, CD E, F Ta có OE = 25 − a ; IF = − a2 , OI = √ √ Gọi hình chiếu I lên OE O ta có: IO = EF = 4a, O O = OE − IF = 25 − a2 − − a2 Từ tam giác vng O ta có định lí Pitago: OI = O I + O O2 ⇔ 25 − a2 − − a2 = 82 − (4a)2 π Ta giải a= 11 ⇒ OE = d(O, d) = √ , IF = d(I, d) = √ 3 Giải sử d : mx + ny + p = Từ khoảng cách từ O, I đến d ta tính được: đường thẳng: √ √ 16 ± 11x + y − 16 = 0; ±x + 3y − =0 Bo xM ath Giải: -2 01 x−1 y z x y z+1 = = , (∆2 ) : = = mặt phẳng 1 −1 1 (P ) : x + y − z − = Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm (P ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: ∆ cắt ∆2 , ∆ ∆1 chéo nhau, khoảng cách từ ∆ đến ∆1 2 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (∆1 ) : √ Câu VIIb.(1,0 điểm) Giải bất phương trình sau: (32x + 3) 2.3x + ≤ 32x+1 + 4.3x − Giải: Đặt t = 3x , điều kiện t > Bất phương trình trở thành: Ta có √ (t2 + 3) 2t + ≤ 3t2 + 4t − (1) √ ( 2t + − t)2 ≥ √ ⇔t2 + ≥ 2t 2t + − 2t √ √ ⇔(t2 + 3) 2t + ≥ 2t(2t + 3) − 2t 2t + (2) √ ⇔(t2 + 3) 2t + ≥ 2t(2t + 3) − (t2 + 2t + 3) = 3t2 + 4t − (3) π √ Từ (1), (2) (3), ta t = 2t + ⇔ t = Với t = 3, ta 3x = ⇔ x = ——— HẾT ——— Thành viên đề: letrungtin.dongthap (Câu I, II, V, VIIb), kienqb2011(Câu VIa.2, VIb.2), hoanghai1195(Câu VIa.1, VIb.1), duyhien(Câu VIIa), manlonely838 (Câu IV) ... Ta giải a= 11 ⇒ OE = d(O, d) = √ , IF = d(I, d) = √ 3 Giải sử d : mx + ny + p = Từ khoảng cách từ O, I đến d ta tính được: đường thẳng: √ √ 16 ± 11x + y − 16 = 0; ±x + 3y − =0 Bo xM ath Giải: -2 ... thức cơ-si, ta có: P = x3 + y + z + (x − 1)y(z + 1) ≤ x3 + (y + z)3 + (x − + y + z + 1) = x3 + (3 − x)3 + = 9(x − 2)(x − 1) + 16 ≤ 16 Đẳng thức xảy x = 2, y = 1, z = nên giá trị lớn P 16 II PHẦN... phẳng (P ) vng góc với ∆1 khoảng cách ∆1 ∆ π Giải: Bo xM ath Dấu xảy ⇔ Giải: Hệ tương đương 2 −x+1 + 2y x2 −x+2 2 −x+3(y+1) =3 -2 01 Câu VIIa.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2x y −x+3y+2 − 6.2