THÔNG TIN TÀI LIỆU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2023 BÌNH PHƯỚC Mơn thi: TỐN (CHUYÊN) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi: 07/06/2023 Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P = a+ √ a−3 √ a+1 √ a−2 − + với a ≥ 0, a ≠1 a+ √ a−2 √ a+ 1−√ a a) Rút gọn P b) Tìm a nguyên để biểu thức P nhận giá trị nguyên Câu (4.0 điểm) a) Cho phương trình x 2+ mx−28=0, với m tham số Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x , x phân biệt thỏa mãn x 1+2 x 2=1 b) Giải phương trình ( x +4 ) ( x −2 )=2 √ x +2 x−5 c) Giải hệ phương trình: x 2+ y −3 xy +7 x−5 y +6=0 x 2− y +9 x +6=√ x + y +2+ √ x+ y +1 { Câu (1.0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2+ xy+ y 2=x y b) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh ( p−1)( p+1) chia hết cho 24 Câu (2.0 điểm) Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm đoạn AB cho BC > AC Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, vẽ đường trịn đường kính AB nửa đường trịn đường kính BC Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính BC (m ≠ B , M ≠ C) Kẻ MH vng góc với BC ( H ∈ BC ), đường thẳng MH cắt nửa đường trịn đường kính AB K Hai đường thẳng AK CM cắt E a) Chứng minh tứ giác BMKE nội tiếp B E 2=BA BC b) Từ C kẻ CN vng góc với AB (N thuộc đường trịn đường kính AB), gọi P giao điểm NK CE Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác BNE PNE nằm đường thẳng BP Hàng Câu Cột (1.0 điểm) a) Cho bảng gồm 2023 hàng, 2023 cột Các hàng đánh số từ đến 2023 từ xuống dưới; cột đánh số từ đến 2023 từ trái qua phải Viết số tự nhiên liên tiếp 0, 1, 2,… vào ô bảng theo đường chéo zíc-zắc (như hình vẽ bên) Hỏi số 2024 viết hàng nào, cột nào? Vì sao? b) Cho a , b , c số dương Chứng minh: bc ca ab a+b+c + + ≤ a+b+c b+ c+ a c +a+ b Hết … 2023 10 11 12 13 … 2023 Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, giám thị coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI VÀO CHUN TỐN TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM 2023 GV: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P = a+ √ a−3 √ a+1 √ a−2 − + với a ≥ 0, a ≠1 a+ √ a−2 √ a+ 1−√ a a) Rút gọn P Giải Ta có P = = ( √ a+1)( √ a−1) ( √a+ 2)( √ a−2) a+3 √ a−3 a+1 √ a−2 a+ √ a−2 −√ − = − − ( √ a−1)¿ ¿ ( √ a−1 ) ( √ a+2 ) √ a+2 √ a−1 ( √ a−1)( √ a+2) ( √ a−1)( √ a+2) a+3 √ a−3−( a−1 )−(a−4 ) (√ a+1)( √ a+2) √ a+1 a+ √a+ = = = ( √ a−1)( √ a+2) ( √ a−1)( √ a+2) ( √ a−1)( √ a+ 2) √ a−1 b) Tìm a nguyên để biểu thức P nhận giá trị nguyên Giải a+1 ( √ a−1 )+ = =1+ Ta có P = √ √ a−1 √ a−1 Để P nhận giá trị nguyên √ a−1 ∈ Z ⇔ √ a−1 ∈Ư { }= {−2;−1 ;1 ; } √ a−1 Trường hợp 1: √ a−1=−2 ⇔ √ a=−1 (vô nghiệm) Trường hợp 2: √ a−1=−1 ⇔ √ a=0 ⇔a=0 (nhận) Trường hợp 3: √ a−1=1 ⇔ √ a=2⇔ a=4 (nhận) Trường hợp 4: √ a−1=2 ⇔ √ a=3 ⇔a=9 (nhận) Vậy để P nhận giá trị nguyên a ∈ { ; ; } Câu (4.0 điểm) a) Cho phương trình x 2+ mx−28=0, với m tham số Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x , x phân biệt thỏa mãn x 1+2 x 2=1 b) Giải phương trình ( x +4 ) ( x −2 )=2 √ x +2 x−5 Giải Phương trình có ∆=m2−4.5 (−28 )=m2+ 560>0 ∀ m⇒ Phương trình ln có nghiệm phân biệt ∀ m −m ( 1) Theo định lí Vi-et ta có: −28 x x 2= (2 ) { x1 + x 2= Kết hợp (1) x 1+2 x 2=1 ta có hệ: { ¿ m−1 m+5 x +2 x2 =1 x +2 =1 x 1= x 1+ x 2=1 ⇔ x +2 x 2=1 ⇔ 15 ⇔ −m ⇔ x 1+ x 2= −m−1 −m−1 x 1+5 x 2=−m x2 =−m−1 x 2= x 2= 3 { { Thay x , x tìm vào (2) ta có: { 19 2m+5 −m−1 −28 ⇔ m +7 m−247=0 ⇔ m= = (n) 15 m=−13 [ { Kết luận: Để thỏa mãn tốn m∈ −13 ; b) Giải hệ phương trình: { 19 } x 2+ y −3 xy +7 x−5 y +6=0 x 2− y +9 x +6=√ x + y +2+ √ x+ y +1 { Giải Điều kiện: x 2+ x−5 ≥ Ta có phương trình ⇔ x +2 x−8=2 √ x 2+ x−5 ⇔ ( x2 +2 x−5 ) −3=2 √ x 2+2 x−5 2 t=−1 ( l ) Đặt t=√ x 2+2 x−5 , t ≥ ta có phương trình trở thành: t −3=2t ⇔t −2t−3=0 ⇔ [ 2 x=−1−√ 15(n) Với t=3 ta có √ x +2 x−5=3 ⇔ x + x−5=9 ⇔ x +2 x −14=0 ⇔ [ x=−1+ √15 (n) Vậy phương trình có tập nghiệm S= {−1−√ 15 ;−1+ √15 } x 2+ y −3 xy +7 x−5 y +6=0 c) Giải hệ phương trình: x 2− y +9 x +6=√ x + y +2+ √ x+ y +1 { Giải Điều kiện: {2x+x+4 y+y +12≥≥00 Phương trình (1) ⇔ ( x 2−xy +3 x ) + (−2 xy + y 2−3 y ) + ( x−2 y+ )=0 ⇔ x ( x− y+ )− y ( x − y+ ) +2 ( x− y +3 )=0 ⇔ ( x− y+ )( x− y +3 ) =0 ⇔ x− y +2=0 x− y+3=0 [ Trường hợp 1; x− y +2=0 ⇔ y=x +2, vào phương trình (2) ta có: 2 x −( x+2 ) +9 x +9=√ x + x+ 2+ 2+ √ x + ( x+ )+ ⇔ x +5 x+5=√ x + 4+ √ x+ ⇔ x +3 x=[ √ x + 4− ( x+2 ) ] + [ √ x+ 9−( x +3 ) ] t=3 ( n ) ⇔ ( x + x )= x + 4−( x+2 )2 x+ 9− ( x +3 )2 + √ x + 4+( x+ 2) √ x+ 9+(x +3) ⇔ ( x + x )= −x2 −x −x2 −x + √ x + 4+ ( x +2 ) √ x+ 9+ ( x+ ) ⇔ ( x2 + x ) ¿ ⇔ ⇔ [ [ x + x=0 3+ 1 + =0 √ x +4 + ( x+ ) √5 x +9+ ( x +3 ) x =0 x=−1 3+ 1 + =0(¿) √ x +4 +( x +2) √ x +9+(x +3) Từ điều kiện ta có x ≥− ⇒ x+ 2≥ x +3 ≥ nên phương trình (*) có vế trái ln dương nên phương 3 trình (*) vơ nghiệm Với x=0 ta có y=0+2=2 (thỏa mãn điều kiện) Với x=−1 ta có y=−1+ 2=1 (thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: x− y +3=0 ⇔ y=2 x+ 3, vào phương trình (2) ta có: x2 −( x +3 )2 +9 x +9=√2 x +2 x +3+2+ √ x +4 ( x +3 ) +1 ⇔−3 x=√ x+5+ √ x +13 ⇔−3 x−3=( √ x +5−1 )+ ( √ x +13−2 ) ⇔ x+ x+ + + x +3=0 √ x +5+1 √ x +13+2 ⇔ ( x +1 ) + 3) =0 ( √ x4+5+1 + √9 x +13+2 ⇔¿ Ta thấy phương trình (**) có vế trái ln dương nên phương trình (**) vơ nghiệm Với x=−1 ta có y=2 (−1 ) +3=1 (thỏa mãn điều kiện) Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: ; x=−1 {x=0 y=2 { y=1 Câu (1.0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2+ xy+ y 2=x y Giải Ta có x 2+ xy+ y 2=x y ⇔ x 2+2 xy + y 2=x y 2+ xy ⇔ ( x + y )2=xy ( xy +1) Vì ¿ tích hai số ngun liên tiếp ( x + y )2 số phương x+ y=0 ⇒ ( x+ y ) =0 ⇔ xy=0 ⇔ xy ( xy +1 )=0 xy=−1 { {[ [ + y=0 {xxy=0 ⇔ x + y=0 {xy =−1 [ (n) {x=0 y =0 (n) {yx=1 =−1 ( n) {x=−1 y =1 Vậy phương trình có tập nghiệm S= { ( ; ) ; ( 1;−1 ) ; (−1; ) } b) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh ( p−1)( p+1) chia hết cho 24 Giải Ta có ( p−1 )( p+1 )= p2 −1 p2 số phương nên p2 chia dư 1, mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho ⇒ p2 không chia hết cho nghĩa p2 chia dư ⇒ p2−1 ⋮ (*) Ta có p số nguyên tố lớn hớn nên p lẻ suy ( p−1)( p+1) tích số chẵn liên tiếp suy tích ( p−1)( p+1) chia hết cho (**) Từ (*) (**) kết hợp với 3;8( p−1 )( p+1 )chia hết cho 24 Câu (2.0 điểm) Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm đoạn AB cho BC > AC Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, vẽ đường trịn đường kính AB nửa đường trịn đường kính BC Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính BC (m ≠ B , M ≠ C) Kẻ MH vng góc với BC ( H ∈ BC ), đường thẳng MH cắt nửa đường trịn đường kính AB K Hai đường thẳng AK CM cắt E a) Chứng minh tứ giác BMKE nội tiếp B E 2=BA BC b) Từ C kẻ CN vng góc với AB (N thuộc đường trịn đường kính AB), gọi P giao điểm NK CE Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác BNE PNE nằm đường thẳng BP Giải a) Chứng minh tứ giác BMKE nội tiếp B E 2=BA BC Ta có: ^ AKB=900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB)) ^ BKE=1800− ^ AKB=1800−900=900 Ta có: ^ BMC=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB)) ^ BME=180 0− ^ BMC=1800−90 0=90 Do đó: ^ AKB=^ BME=90 nhìn cạnh B)E tứ giác BMKE Tứ giác BMKE nội tiếp ^ BEC= ^ BKM (góc nội tiếp chắn cung B)M)) Lại có: ^ BAK =^ BKM (cùng phụ ^ AKH ) ^ BEC= ^ BAK Xét BEC BAE có ^ BEC= ^ BAK ^ EBA chung BEC ~ BAE (g-g) BE BC B E 2=BA BC đpcm) = BA BE b) Xét tam giác ABN vng N có B N 2=BA BC Từ câu (a) ta có B E 2=BA BC B N 2=B E BN =BE ^ ^ M)ặt khác: ^ BEC= B AK =B NP suy ^ PNE= ^ PEN ∆ PNE cân P PN=PE (2) Từ (1) (2) suy BP đường trung trực NE Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác BNE PNE nằm đường thẳng BP Câu (1.0 điểm) a) Cho bảng gồm 2023 hàng, 2023 cột Các hàng đánh số từ đến 2023 từ xuống dưới; cột đánh số từ đến 2023 từ trái qua phải Viết số tự nhiên liên tiếp 0, 1, 2,… vào ô bảng theo đường chéo zíc-zắc (như hình vẽ bên) Hỏi số 2024 viết hàng nào, cột nào? Vì sao? Hàng Cột … 2023 10 11 12 13 … 2023 Giải Theo yêu cầu toán ta thấy: Đường chéo thứ đánh số Đường chéo thứ đánh hai số 1, Đường chéo thứ đánh ba số 3, 4, … Đường chéo thứ n đánh n số (ta chưa cần biết cụ thể số nào) Nhận thấy đường chéo viết nhiều số nên số 2024 phải ghi vị trí đường chéo n n > 2023 Khi n > 2023 ta có tổng số viết là: 1+ + 3+ …+ n = n(n+1) Đến ta cần tìm đường chéo liền trước đường chéo chứa số 2024 Dễ thấy 63.64 = 2016 < 2024 Điều có nghĩa đường chéo thứ 63 có 63 số số lớn ghi 2015 (vì bắt đầu số nên số thứ 2016 2015) Vậy đường chéo thứ 64 có 64 số là: 2016; 2017; …; 2079, số có chứa số 2024 Từ đường chéo ban đầu ta thấy đường chéo thứ 64 số 2017; 2018; …; 2080 ghi giảm dần tính từ xuống Hàng số 2016 nên số 2024 hàng thứ 2024 - 2016 + = 9, cột chứa số 2024 64 - + = 56 Vậy số 2024 viết hàng cột 56 b) Cho a , b , c số dương Chứng minh: bc ca ab a+b+c + + ≤ a+b+c b+ c+ a c +a+ b Giải 1 a b Ta ln có bất đẳng thức: + ≥ , với a , b , c >0 (*) a+b Thật (*) ⇔ ( a+b )2 ≥ ab ⇔ ( a−b )2 ≥0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy a=b Áp dụng (*) ta có: Tương tự, ta có 1 1 bc bc bc = ≤ + ⇒ ≤ + a+b+c ( a+b )+(a+ c) a+ b a+ c a+b +c a+b a+ c ( ) ( ac ac ac ab ab ab ≤ + ≤ + 2b +a+c b+ c b+ a c+ a+b a+ c b+ c ( ) ( ) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có: bc ca ab bc bc ac ac ab ab + + ≤ + + + + + a+b+c b+ c+ a c +a+ b a+b a+ c b+c b+ a a+c b+ c ( ⇔ bc ca ab + + ≤ a+b+ c b+c +a 2c + a+b ⇔ bc ca ab a+b+ c + + ≤ ,(đpcm) a+b+ c b+c +a 2c + a+b [( ) bc ca bc ab ca ab + + + + + a+b a+b a+ c a+c b+c b+ c )( Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c Hết )( )] )
Ngày đăng: 10/08/2023, 03:43
Xem thêm: