045 10 chuyên toán phú yên 23 24

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TĨNH PHÚ YÊN KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: TỐN (chun) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu (4.00 điểm) ( x √x +2x−1 + x +√√ xx+1 + 1−1√ x ): √√xx+1−1 a) Cho biểu thức A= Rút gọn biểu thức A; tính giá trị A, biết x= 6+ √ 6−2 √5 + 2+ √ 6+2 √ 2−√ 6−2 √5 1 + =√ (a>1,b>1) Chứng minh ab−√ 1−a b 2+ a2 +b2=¿1 a b Câu (6,00 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau: 3 a)( x−√ ) + ( x + √ ) +( √ 3− √ 5−2 x ) =0 b) Cho biết 3 ( xy )3+ ( x+ √ ) + ( √ 3−√ 5−2 x ) =0 x y3 = y 2+ Câu (3,00 điểm) Cho đoạn thẳng AB, với M trung điểm Trên đường trung trực Mt đoạn thẳng AB lấy điểm I Vẽ tia Ax cho AI phân giác góc BAx Đường thẳng BI cắt Ax N Gọi C điểm đối xứng A qua N,H hình chiếu vng góc C lên AB a) Chứng minh tam giác NHB cân b) Chứng minh đẳng thức: B H 2= HI.BN c) Khi điểm I di chuyển đường trung trực Mt đến vị trí làm cho tam giác ABC vng AB C, tính tỉ số AC Câu (1,00 điểm) Cho phương trình a x +bx+ c=0 ( a ≠ ) , với a,b,c số thực thỏa a−b+c=0 Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt nghiệm dương { b) Câu (3,00 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi D trung điểm AB, H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng DC Đường thẳng qua C vng góc với BC cắt đường thẳng AB E Gọi I hình chiếu vng góc E lên đường thẳng DC a) Chứng minh BH vng góc với AI b) Đường thẳng qua B vng góc với BH cắt đường thẳng DC K Chứng minh tứ giác BCEK nội tiếp Câu (3,00 điểm) Cho x ≥ 1,0< y ≤1 Chứng minh rằng: 1 x y + ≥ + x+1 y+1 x + y y + x Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: ; Chữ kí giảm thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TĨNH PHÚ YÊN KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT NĂM HỌC 2023-2024 Mơn thi: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Gồm có 04 trang) Hướng dẫn chung - Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định - Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm chấm phải bảo dảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi - Điểm thi không làm tròn số Đáp án thang điểm CÂ ĐÁP ÁN ĐIỂM U 4,00 đ 2,50 đ a) Rút gọn, tính giá trị A= x +2 x x −1 + √ + :√ x √ x−1 x + √ x+1 1−√ x √ x+1 6+ √ 6−2 √5 + Biết x= 2+ √ 6+2 √5 2−√ 6−2 √5 -Rút gọn A: Với điều kiện x ≥ , x ≠ 1, ta có: 1.00đ x +2+ √ x ( √ x−1 ) −(x + √ x+1) √ x−1 ( √ x−1) √ x +1 √ x +1 A= : = × = x √ x−1 √ x+1 x √ x−1 √ x−1 x + √ x+ -Lại có: 1,00 đ 6+ √ 6−2 √5 6+ √ 6−2 √5 16 x= + = + = =4 2+ √ 6+2 √ 2−√ 6−2 √5 2+ √ 5+1 2−√ 5+1 0,50 đ √ 4+1 = Do đó: A= 4+ √ 4+1 1 1,50 đ b) Biết + =√ 2(a>1,b>1).CMR:ab-√ 1−a b 2+ a2 +b2=1 a b 1 0,50 đ 2 2 Vì a> 1, b>1 nên: + =√ 2⇔ a +b =2 a b −2 ab a b 0,50 đ Khi đó: B=ab− √1−a2 b2 +2 a2 b 2−2 ab=ab−√(ab−1)2 ( ) Vì a> 1, b>1 ⇒ ab>nên B=ab−ab+1=1 (điều phải chứng minh) 0,50 đ Giải phương trình, hệ phương trình 6,00 đ 3 a ¿ ( x− √ ) ¿3 + ( x + √ ) +( √ 3− √ 5−2 x ) =0 3,00 đ Đặt u=x−√ , v=x + √ 5, √ 3− √ 5−2 x=−(u+ v) 3 PTCĐ viết lại là:u + v −( u+ v ) =0 ⟺ ( u+v ) uv=0 ⟺ (1):u+ v=0 ⟹ x−√ 3+ x+ √5=0 ⟺ x= [ u+ v=0 u=0 v =0 √3−√ 1,00 đ 1,00 đ 1,00đ (2):u=0 ⟹ x=√ 3; (3): v=0 ⟹ x =−√ 3−√ ; √3 ; √ 5} Cách 2: Đặt a=x−√ 3+ x + √ 5, c=√ 3− √ 5−2 x Khi đó: a 3+ b3 +c 3=3 abc ( chứng minh) Từ ta có nghiệm cách Vậy tập nghiệm phương trình là: S= {√ (xy )3+ xy +2=6 y (1) b) 3 xy = y +2(2) u=xy y +2 > 0, ta ln Đặt Dễ thấy y≠ Từ(2) suy 3xy= v= y y2 có u¿ , v >0 (3) u3 +3 uv+ 2=6 v ( 4) Ta có hệ phương trình mới: uv=v +2(5) u +4 Thế (5) (4) ta được:v= (6) Thế (6) vào (5) ta được: u4 −u3 +12 u−14=0 ⟺(u−1)¿+2 u+14 ¿=0(7) Đối chiếu với điều kiện(3) 3u3 +2 u2 +2u+ 14>0 nên(7) có nghiệm u=1 3,00đ Với u=1, từ (6) suy v=1 hay y 2=1 ⇔ y =±1 ⇒ x=± Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x ; y )=( 1; ) ( x ; y )=(−1 ;−1 ) 1,00đ { { { 0,50đ 0,50đ 1,00 đ 3,00đ a) Chứng minh ∆ NHB cân ∆ AHC vng H có HN trung tuyến nên NA=NC =NH nên ∆ HNA cân N, suy ^ ^ NHA= NAH , ^ NHA=2 ^ IAB=2 ^ IBH =2 ^ NBH (1) Theo tính chất góc ngồi tam giác ^ NHA= ^ HNB+ ^ HBN (2) Từ (1) (2) suy 1,00đ 0,50 đ 0,50đ ^ HNB=^ HBN hay ∆ NHB cân H b) Chứng minh BH =HI BN 1,00 đ Theo a) ∆ NHBcân H suy HB=HN = AC (3) Xét ∆ NHI ∆ BHI có 0,50 đ IAN=IBH ⟹ ∆ ANI=∆ BHI ⟹∈¿ IH IA=IB AN =BH (¿ HN ) Dẫn đến ∆ NIH cân I ⟹ IHN ⟹ INH ⟹ ∆ NHB ∆ NIH (hai tam giác cân có góc đáy nhau) BH HI 0,25 đ ⟹ = ⟹ BH BN =HI BN ⟺ BH 2=HI BN BN HN { c) Tính tỉ số AB ∆ ABC vng AC 1,00 đ Theo hệ thức lượng tam giác vuông định lí Pytago ta có BC 2=BH BA= AB 2− AC ⟺ AB 2−BH BA −AC 2=0 ( ) Từ (3) và(4) ta có AB2− AB AC−2 AC 2=0 (5) Vì AC>0, chia vế cho AC ta phương trình bậc với x= 0,50 đ AB AC 1+ √ 17 x −x−2=0 ⟺ là: 1− √17 x= 1− 17 1+ 17 AB 1+ √ 17 = Do √ < 0(loại) nên ta chọn x= √ , hay 4 AC [ x= Ta có biểu 2 ∆=b −4 ac=b −4 a ( b−2 a )=( a−b ) +4 a2 >0, ∀ a≠ 0; phương trình ln có nghiệm phân biệt thức: đó, Giả sử nghiệm cho x , x 2.Theo định lí Viét, ta có −b x1 + x 2= a c x x2 = a b c Từ giả thiết a−b+c=0⇒ − =2, a a −( x + x 2) −x x 2=2 ⟺ ( x1 +1 ) ( x +1 )=−1(*) Nếu nghiệm dương ( x +1 )( x2 +1 ) >1, mâu thuẫn với (*) Vậy nghiệm phương trình khơng thể dương { 3,00đ a) Chứng minh BH ⊥ AI 0,50đ Gọi M giao điểm EI AC, ta có M trực tâm tam giác ECD ⇒ DM //BC Tam giác ABC có DA=DB , DM ∥BC ⇒ MA =MC Tam giác AHC có MA=MC , MI ∥ AH ⇒ IH =IC Gọi N trung điểm ta có AH ¿ ∥ AC ⇒∈⊥ AD Tam giác ADI có AH ⊥ DI ,∈⊥ AD 0,50đ 0,50đ 0.50đ trực tâm N ⇒ DN ⊥ AI ⇒ BH ⊥ AI b) Chứng minh tứ giác BCEK nội tiếp ^ ^ Từ BH ⊥ AI ⇒∈∥ AC ⇒ IAD= KBD Xét ∆ KBD ∆ IAD có: ^ IAD= ^ KBD , DA =DB , ^ ADI= ^ BDK ⇒∆ KBD v=∆ IAD (1) ⇒ DK =DI DA DC = ⇒ DA DE =DI DC (2) Vì ∆ DAC ∆ DIE (g.g) ⇒ DI DE 1,50đ 0.50đ 0.50đ Từ (1) (2) kết hợp với DA=DB suy DA DE =DK DC 0.50đ DK DB ⇒ = ⇒ ∆ DEK ∆ DCB ⇒ ^ DEK = ^ DCBdẫn đến BCEK nội DE DC tiếp Cho x , y hai số thực thỏa mãn: x ≥ 1,0< y ≤1.Chứng minh rằng: 3,00 đ 1 x y + ≥ + x+1 y+1 x + y y + x x y 0,50 đ ≥ (1) ≥ Với giả thiết cho, ta chứng minh y+ x + x+1 y + x (2) Ta có: (1)⟺ xy + x−x 2− y ≤0 ⟺ y ( x−1 ) + x ( 1−x ) ≤ ⟺( x −1)( y −x)≤0 (3) (3) x ≥ 1,0< y ≤1 Dấu đẳng thức xảy x=1,0< y ≤ Ta có: (2)⟺ xy + y− y 2− x ≤ ⟺y( x -y)-( x -y)≤ ⟺( x − y)( y −1) ≤ 0(4) (4) x ≥ 1,0< y ≤1 Dấu bất đẳng thức xảy x= y =1 1 x y + ≥ + Cộng vế theo vế (1) (2) ta x+1 y+1 x + y y + x Dấu đẳng thức xảy x= y =1 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ