SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYẾN SINH LỚP 10 – NĂM HỌC 2023-2024 THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG THPT CHUN QUỐC HỌC – HUẾ Mơn thi: TỐN (CHUN TỐN) (ĐỀ THI CHÍNH THỨC) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị biểu thức P = a a−2 √a −√ : không phụ thuộc ( a+22+√√a+1 ) a−1 a √ a+ a−√ a−1 vào giá trị a, với a > a ≠ b) Cho ba số a, b, c ba số nguyên dương thỏa mãn + = Chứng minh Q = a 2+ b 2+16 c2 a b c số phương Câu (1,5 điểm) a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=2 x đường thảng (d): y= x +m Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông A x −2 y −3+2 y 2+ y=0 b) Giải hệ phương trình √ { x +1=xy Câu (2,0 điểm) a) Tìm m để phương trình x 2−2 ( m−1 ) x −m2+2 m−3=0 (x ẩn số) có hai nghiệm x , x thỏa mãn √ x 21+1−x1 =√ x 22 +1+ x b) Giải phương trình ( √ x +9−3 ) ( √ 9−x+3 )=9 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O), có đường cao AD trực tâm H Gọi E điểm (O) cho hai dây AE BC song song với Đường thảng EH cắt (O) điểm thứ hai F cắt đường trung trực BC M a) Chứng minh M trung điểm EH AMOF tứ giác nội tiếp ^ +^ b) Chứng minh OFA ODF=1800 c) Gọi K điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến (O) A cắt đường thẳng FK T Chứng minh hai đường thẳng TH BC song song với Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất số thực a cho a+ √ 2023 999 + √ 2023 số nguyên a b) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a2 +b 2=2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= 4a b 2024 + + 2+ b 1+ a a+b HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Cán coi thi 1: Chữ ký Cán coi thi 2: Đáp án tham khảo Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Quốc Học Ngày 04/06/2023 (Nguyễn Thái An & Nguyễn Duy Phước Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị biểu thức P = ( 2+ √ a a−2 √a −√ : không phụ a+2 √ a+1 a−1 a √ a+ a−√ a−1 ) thuộc vào giá trị a, với a > a ≠ Giải Với a> a ≠ 1, ta có ( 2+ √a )( √a−1 ) −( √ a−2)( √ a+1) ( √ a−1 )( √ a+1 ) ∙ P= √a ( √ a+1 ) ( √ a−1) [ = ] ( a+ √ a−2 )−(a−√ a−2) √a 2√ a √a = = Do đó, P khơng phụ thuộc vào a b) Cho ba số a , b , c ba số nguyên dương thỏa mãn + = Chứng minh Q = a 2+ b 2+16 c2 a b c số phương ab + = , suy c= , vào, ta có a b c 2(2 b+ a) Giải Từ giải thiết 2 Q = a + b +16 2 = a +4b +4 ( = b+ a− ( ( ab ( b+ a ) ab b+ a 2ab b+a ) ) ) = ( b+a−4 c )2 Do a , b , c nguyên nên b+a−4 c số nguyên Vậy Q số phương Câu (1,5 điểm) a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=2 x đường thảng (d): y= x +m Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vng A Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): x 2= x+ m⇔ x 2−x−2 m=0.(¿) (d) cắt (P) điểm phân biệt phương trình có nghiệm phân biệt Điều xảy khi: ∆=1+32 m> ⇔ m> −1 32 Gọi x , x hai nghiệm PT (*) Với m> { −1 , theo Vi-ét, ta có: 32 −m x1 x 2= x + x 2= Gọi A(x , x 21) B( x , x 22) giao điểm (d) (P) Tam giác OAB vuông A O A 2+ A B2 =O B2 Điều tương đương với [ x 21 +4 x 41 ] + [ ( x 1−x )2 +4 ( x 21−x 22) ]=x 22 + x 42 ⇔ ( x1−x ) ¿ 1 ⇔ + +m+ ( x 1−x )=0 16 ⇔ x 1−x 2= −1 m − Kết hợp với x 1+ x2= , suy x 1= −2 m 2m −m x 2= + Thế vào x ∙ x 2= Ta có 5 −2 m m −m + = ⇔m= m=0 5 2 ( ) Đối chiếu điều kiện, ta có m= giá trị cần tìm x −2 y −3+2 y 2+ y=0 √ b) Giải hệ phương trình { x +1=xy Giải Giả sử ( x , y ) nghiệm hệ phương trình Khi đó, x nghiệm phương trình x 2− y x+1=0 Suy ∆= y 20−4 ≥ Từ phương trình thứ hệ phương trình trên, ta có y 20 +4 y 0=−√ x 0−2 y 0−3 ≤ ⇔−2 ≤ y ≤ Kết hợp với y 20 ≥ Ta thu y 0=−2 Do x 0=−1 Thử lại ta thấy ( x , y ) =(−1 ;−2) thỏa mãn hệ phương trình Vậy (−1,−2) nghiệm hệ phương trình cho Câu (2,0 điểm) a) Tìm m để phương trình x 2−2 ( m−1 ) x −m2+2 m−3=0( x ẩn số) có hai nghiệm x , x thỏa mãn √ x 21+1−x1 =√ x 22 +1+ x Giải Ta có ∆ ' =( m−1 )2 +m2−2 m+3=2 ( m−1 )2 +2≥ ≥ 0, với m Do đó, PT ln có nghiệm phân biệt x , x 2 2 √ x +1−x =√ x +1+ x ⇔ (0.1) 1 = √ x +1+ x √ x 2+ 1−x 2 ⇔ √ x 22 +1−x 2=√ x 21+1+ x (0.2) Từ (0.1) (0.2), ta có x 1+ x2=0 Theo Vi –ét, điều tương đương với 2(m−1)=0 ⇔ m=1 Vậy, m=1 b) Giải phương trình ( √ x +9−3 ) ( √ 9−x+3 )=9 Giải Điều kiện −9 ≤ x ≤ Đặt a=√ 9+ x b=√ 9−x Suy a2 +b2 =18 ( a−3 )( b+ )=9 { Suy ra, ( ab+3 a−3 b−9 ) =9 ⇒ ab+6 ( a−b )=9+ a2+ b2 Tương đương với ( a−b )2 −6 ( a−b ) +9=0 ⇔ ( a−b−3 )2=0 ⇔a−b=3 Để ý rằng, a 2−b2=2 x Suy a+b=3 2x a−b= { x 3 x Do đó, a= + b= − x Từ đó, ta có √ 9+ x= + ⇔ x=± √ (thỏa mãn điều kiện) Vậy, tập nghiệm PT S= −9 √ √ ; 2 { } Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O), có đường cao AD trực tâm H Gọi E điểm (O) cho hai dây AE BC song song với Đường thảng EH cắt (O) điểm thứ hai F cắt đường trung trực BC M a) Chứng minh M trung điểm EH AMOF tứ giác nội tiếp Giải Vì AE ∥ BC , tứ giác AECB nội tiếp OM trung trực BC nên OM trung trực AE Ta có AE∥ BC ⊥ AD hay AE⊥ AD Suy ∆ AEH vuông A, nên OM đường trung bình ∆ AEH Vậy M trung điểm EH Kẻ đường kính AK (O) Khi đó, EK ⊥ AE Suy OM ∥ EK (cùng vng góc với AE) Nên ^ AOM =¿ ^ AKE= ^ AFE= ^ AFM ¿ Vậy tứ giác AMOF nội tiếp ^ +^ b) Chứng minh OFA ODF=1800 Giải Gọi S giao điểm hai AD (O) Ta có kết quen thuộc: D trung điểm HS Ngoài ra, ta chứng minh AE⊥ AD ≡ AS Do đó, ES đường kính (O) Nên OD đường trung bình ∆ SEH Suy OD ∥ HE ≡ EF ⊥ FS (do ES đường kính (O)) hay ^ FOD= ^ FOS= F AS = ^ FAD Nên tứ giác OD ⊥ FS Vì OD đường trung trực FS Từ đó, ^ AODF nội tiếp ^ +^ ^ + ODF=180 ^ Vậy OFA ODF=OAF c) Gọi K điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến (O) A cắt đường thẳng FK T Chứng minh hai đường thẳng TH BC song song với Giải Vì AK đường kính (O) nên TA ⊥ AK ^ ATF= ^ FAK AFK =900 Suy ^ Ngoài ra, ^ AFK =¿ 900 ý ^ AKF= ^ ASF=^ HSF Do đó, ^ FHS= ^ FAK Vì 0 ^ ATF= ^ FHS=180 − ^ AHF Nên tứ giác AHFT nội tiếp Suy ^ AHT = ^ AFT =90 Mặt khác, AH ⊥ BC Vậy TH ⊥ BC Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất số thực a cho a+ √ 2023 999 + √ 2023 số nguyên a Giải Giả sử a số thực thỏa mãn yêu cầu toán Đặt a+ √ 2023=m∈ Z 999 + √2023=n ∈ Z Khi a 999 + √2023=n ⇔999=( n−√ 2023)(m−√ 2023) m−√ 2023 Suy 999=mn+ 2023−( m+n ) √ 2023 (1) Ta có: 2023=7 ∙172 nên √ 2023=17 √7 ∉Q Kết hợp với (1), ta thu m+n=0 999=mn+ 2023 Do m=−n m 2=1024 Vì m=32 m=−32 Nên a=32− √ 2023 a=−32− √ 2023 Thử lại, ta thấy a ∈ { 32−√ 2023 ;−32−√ 2023 } a ∈ { 32−√ 2023 ;−32−√ 2023 } số thực cần tìm thỏa mãn yêu cầu taosn b) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a2 +b 2=2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= 4a b 2024 + + 2+ b 1+ a a+b Giải Đặt x=2 a Dự đoán điểm rơi x=b=1 Ta có P= ¿ 2x 2b 2024 + + 2+b 2+ x x+ b x ( 2+b )−bx b ( 2+ x )−bx 2024 + + 2+ b 2+ x x +b ¿ ( b+ x ) −bx ¿ ( b+ x ) + [ 1 2024 + + 2+b 2+ x b+ x ] 1 2020 −bx + + b+ x 2+ b 2+ x b+ x [ ] Theo giải thiết b 2+ x 2=2 ⇒b+ x ≤ √2 ( b 2+ x ) =2 Áp dụng BĐT Cauchy, ta có Vậy P= ( b+ x )+ 1 2020 −bx + + b+x 1+1+ b 1+1+ x b + x [ ] ≥ ( b+ x ) ∙ bx 1 2020 − +3 + b+ x √ b √ x ¿ +1010− 3 ( √ b x+ √ x b ) ≥1014− b+b+ x + x + x +b 3 3 √ [ ] ( ) 3040 ≥ 1014− ∙ ( x +b ) ≥ 3 Hơn nữa, P= 3040 x=b=1 hay a= b=1 Vậy ( P )= 3040 dạt a= b=1 HẾT