024D 10 chuyên toán tin hà nội 23 24

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023-2024 Môn : Tốn (Dành cho chun Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2x + =(5 – x) √ x−2 2) Giải hệ phương trình xy =9 {x+xy+3 + y =9 3 Câu (2,0 điểm) 1) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh số A = p + 2−8 chia hết cho 21 2) Tìm tất số nguyên x y thỏa mãn x 3− y 3=2 (x− y)2+ 17 Câu (2,0 điểm) 1) Cho đa thức f (x) = x +2 x 3+3 x +2022 x +2023 Chứng minh đa thức f (x) khơng có nghiệm hữu tỉ 2) Với số thực a, b c thỏa mãn (a + 1)( b + 1)( c + 1) = (a - 1)(b -1)(c -1), tìm giá trị nhỏ biểu thức A = |a|+|b|+|c| Câu (3 điểm) Cho hai đường tròn (O;R) (O’; R’) cắt hai điểm phân biệt A B (R < R’ < OO’) Gọi PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) với P ∈ (O) Q ∈(O’) Đường thẳng PQ cắt đường thẳng OO’ điểm S Qua điểm S vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) hai điểm E,F cắt đường tròn (O’) hai điểm G,H cho SE< SF < SG < SH 1) Chứng minh đường thẳng OE song song với đường thẳng O’G 2) Chứng minh SA2= SP.SQ 3) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng OO’ điểm M Tiếp tuyến điểm A đường tròn (O’) cắt đường thẳng OO’ N Đường thẳng ME cắt đoạn thẳng AB EA IA điểm I Chứng minh = IB ba điểm N ,I ,H ba điểm thẳng hàng EB Câu ( điểm) Trên bàn có hai túi kẹo: túi thứ có 18 viên kẹo, túi thứ có 21 viên kẹo An Bình chơi trị chơi sau : mơĩ lượt chơi , bạn lấy viên kẹo từ tuí tuí lấy viện kẹo hai bạn luân phiên thực lượt chơi người khơng thể thực lượt chơi người thua , người laị ngườ thắng nên An ngươì lấy kẹo trước hay chiến thuật chơi An để An ngươì thắng 2, phần lời giải câu 1: 1, điều kiện xác định x ≥ phương trình ban đầu tương đương vơí 3x-2-x+5-(5-x)√ x−2−1=0 đặt √ x−2=a ,5−x=b phương trình trở thành a 2+ b−ab−1=0≤¿ ( a−1 ) ( a+1−b ) =0 từ ta có :a=1 a=b-1 với a=1 x=1 vơí a=b-1 √ x−2=4−x bình phương vế với điều kiện x≤ ta có : 3x-2= x 2−8 x +16 x2 −11 x+18=0 phương trình ta x=2 x=9 kết hợp điều kiện ta x=2 phương trình cho có nghiệm x=1 x=2 2, đặt x+y=a,xy=b hệ phương trình trở thành {ax−3+3 b=9 ab=9 từ phương trình a+3b=9 ta có 3b=9-a thay vào phương trình cịn laị , ta a 3−a ( 9−a ) =9≤¿ ( a+1 ) ( a−3 )( a+3 )=0 giaỉ phương trình ta có a=3,a=-1 a=-3 vơí a=3 b=2 ta có x=1,y=2 x=2 , y=1 10 vơí a=-1 b= , ta khơng có x , y thỏa mãn vơí a=-3 b=4 , ta khơng có x,y thỏa mãn hệ phương trìn cho có nghiệm (x;y) (1;2);(2;1) câu 2: 1, p số nguyên tố lớn nên p số lẻ p không chia hết cho p2 +2=2 k +1 , k ∈ N kéo theo p2+2=2 4k ≡2 ≡8 ( mod ) suy A=2 p 2+ 2−8 chia hết cho p không chia hết p2 +2≡ 1+2≡ ( mod ) đặt p2 +2=3 h vơí h ∈ N ¿ A=2 p 2+ 2−8=23 h−8=8h−8≡ 1−1=0 ( mod ) từ ta suy A chia hết cho mà (3,7)=1 nên A chia hết cho 3.7=21 2, đặt d=x-y x=y+d ý vế phaỉ lớn nên x>y kéo theo d số nguyên dương thay vào phương trình , ta ; ( y +d )3− y 3=2d +17 khai triển chuyển vế ( y +3 dy +d 2−2 d ) d=17 từ phương trình suy d\17 d nguyên dương suy d∈ {1,17 } d=1 y(y+1)=6 tìm y=2,y=3 y=-3,x=-2 d=17 y +51 y =−254 khơng có nghiệm ngun vế tr chiahết cho vế phaỉ khơng có cặp (x,y) thỏa mãn (3,2)(-2,-3) nhận xét : thực tế chuyển 2( x− y )2 rút thừa số chung x− y câu 3: p 1, giaỉ sử f ( x ) có nghiệm a hữu tỷ viết a= q với p , q ∈ Z , q>0 ( p , q )=1 ta có f ( a )=0 a4 +2 a3 +3 a 2+2022 a+2023 =0  p4 +2 p3 q+3 p2 q2 +2022 pq 3+ 2023 p 4=0 từ q|0 ta q| p4 ( p4 , q )=( p ; q )=1 nên q=1 ta có 0= p4 +2 p3 +3 p3 +2022 p+2023 = p2 ( p 2+1 )+ p3 +2 p2 +2022 p+2023 phương trình vơ nghiệm vế tr số lẻ vế phaỉ số chẵn da thức f(x) khơng có nghiệm hữu tỷ phép chứng minh hồn tất 2, từ gỉa thiết ta suy ab+bc+ac=-1, có A=|a|+|b|+|c|, xét A2=a2 +b2 +c +2|ab|+2|bc|+ 2|ac| theo bất đẳng thức gía trị tut đơí , ta có : A2=(a+ b+c )2+ (|ab|+|bc|+|ac|) +2 ≥ 0+2|ab+bc +ac|+2=4 từ kết hợp A≥ suy a ≥ , dấu sảy chẳng hạn a=0 , b=−1 , c=1 gía trị nhỏ A=2 câu 4: 1, đường thẳng S,E,F lấy điểm G’,H’ cho O’G’||Oe O’H’||Ò theo định SE OE SO SF OF SO OP R lý thales , ta SG ' = O' G ' = SO' = SH ' = ' mặt khác ,ta có SO ' = O ' Q = R ' O H' OE OF R = = O' G ' O' H ' R ' kết hợp vơí OE=OF=R( E,F ∈(O)¿ , tathu O ' G '=O ' H '=R ' bà G ' , H ' , ∈(O ' )hay S , E , F ∩(O ' )={ G ' , H ' } mặt khác , từ SE = S G' S , ta dược G’ ≡G' H ' ≡ Hvà thếOE||O' G , OF||O' H OC SO R = = ' kết hợp vơí O' A=R' ( A ∈ ( O ' ' O A SO R SC SO SP = nên OC=R nênC∈ (O ) , , ta có SA = , CP ||AQ A O ' SQ SP SA = SA2=SP SQ SQA= ^ SPC= ^ SAP từ ∆ SAP ∆ SQA ( g g ) , , ^ SA SQ 2, trênđường thẳng SA lấy điểm C cho OC∨¿ O ' A khiđó ,ta có 3, goị ME∩ ( O )= { J , E } từ tính đơí xứng nên ta có có MB tiếp tuyến (O ) đó, ta có ∆ MJA ∆ MAE ( g , g ) ∆ MJB ∆ MBE ( g g ) nên ta JA MJ MJ JB = = = EA MA MB EB EB JB Từ ta thu EA = JA từ để ý ∆ IAE ∆ IJB ∆ IBE ∆ IJA nên ta IA IA IE JA EA EA JA EA2 = ∙ = ∙ = ∙ = IB IE IB EB JB EB JB EB2 EA HA Bây ta chứng minh EB = HB Thật vậy, ta có SP2= SE SF SQ 2=¿ SG SH SE SG Do SB4= S A =SP ∙ SQ2=SE ∙ SF ∙ SG∙ SH Mặt khác, từ câu a ta có SF = SH hay SE SH = SG SF Như vậy, ta SA4 =SB2=( SE SH )2 hay SA2=SB2=SE ∙ SH Từ ta thu △ SEA ∽ △ SAH (c.g.c) △ SEB △ SBH (c.g.c) Do vậy, EA SE SE EB = = = HA SA SB HB EA HA Nói cách khác, ta thu EB = HB Đến đây, đặt HN ⋂ AB = I’ Chứng minh I'A HA IA I'A tương tự ý ta I ' B = Từ suy IB =¿ I ' B dẫn đến I HB ≡ I’ Như vậy, N, I, H thẳng hàng Câu ( điểm) Trên bàn có hai túi kẹo: túi thứ có 18 viên kẹo, túi thứ có 21 viên kẹo An Bình chơi trị chơi sau : mơĩ lượt chơi , bạn lấy viên kẹo từ tuí tuí lấy viện kẹo hai bạn luân phiên thực lượt chơi người khơng thể thực lượt chơi người thua , người laị ngườ thắng nên An ngươì lấy kẹo trước hay chiến thuật chơi An để An ngươì thắng Đầu tiên An bốc viên từ túi thứ hai, hai túi lúc có 18 20 viên kẹo Tại lượt tiếp theo, chiến thuật An Bình bốc An bố y hệt Khi ta thấy Bình phải bắt đầu bốc với hai túi có số chẵn viên kẹo, hay nói riêng, cịn kẹo Như đến lượt An An hồn tồn chép cách bốc Bình, túi mà Bình bốc phải cịn kẹo Khi đến lượt Bình Bình lại phải bốc với hai túi số chẵn viên kẹo, An lặp lại chiến thuật Trong q trình bốc này, ta thấy An ln bốc kẹo, An khơng thể người thu cuộc, nói cách khác, An người thắng với chiến thuật