024C 10 chuyên toán đhsp hà nội 23 24

ĐỀ THI VỊNG MƠN TỐN TUYỂN SINH 10 CHUN ĐHSP HÀ NỘI 2023-2024 Câu (1): Chứng minh tích bốn số nguyên liên tiếp cộng với bình phương số nguyên (2): Tìm cặp số nguyên (x, y) nghiệm hệ phương trình {x+2 xy−x=10 y+ xy =12 Câu a) Cho a, b số thực không âm, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức √ a−√ a+b−c= √ b+ √ c Chứng minh rằng: √3 a+ √3 b−√3 c=√3 a+ b−c √ 3+ √ a b) Tìm tất số nguyên dương a, b cho số số hữu tỷ √ 5+ √b Câu Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Hai đường thẳng MG, NE cắt điểm P Chứng minh rằng: a) EG song song với MN b) Điểm P thuộc đường tròn (I) Câu : Bảy lục giác xếp tô màu hai màu trắng, đen Hình Mỗi lần cho phép chọn lục giác đều, đổi màu lục giác tất lục giác chung cạnh với lục giác (trắng thành đen đen thành trắng) Chứng minh dù có thực cách làm lần nữa, nhận lục giác ô màu Hình Đáp án đề thi vào lớp 10 mơn Tốn chun vịng chun Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 2023 NGUYỄN TIẾN LÂM NGUYỄN NHẤT HUY NGÀY THÁNG NĂM 2023 LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI – VỊNG Câu 1: (1): Chứng minh tích bốn số nguyên liên tiếp cộng với bình phương số nguyên (2): Tìm cặp số nguyên (x, y) nghiệm hệ phương trình {x+2 xy−x=10 y+ xy =12 Lời giải (1) Gọi số nguyên liên tiếp a, a + , a + a + với a in mathbb Z Ta có biến đổi: a ( a+ )( a+2 ) ( a+3 ) +1=( a2 +3 a ) ( a2+ a+2 ) +1 ¿¿ ¿¿ Vì¿ số phương nên tốn chứng minh (2) Bằng phép biến đổi ta hệ phương trình sau ⟺ (1) {x+2 xy−x=10 {(xx(+1)(2 y −1)=10 y+ xy =12 y +1)=12 Vì 2, y nguyên nên x , 2y - nguyên 2y - ước lẻ 10 Ta xét trường hợp sau     2y - = suy y = x = 10 thay vào (1) không thỏa mãn 2y - = - suy y = x = - 10 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn 2y - = suy y = x = thay vào (1) ta thấy thỏa mãn 2y - = - suy y = - x = - thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn Vậy cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn (x, y) = (2, 3) Câu l: a) câu quen thuộc mang tính chất cho điểm cho thí sinh thi vòng Câu 2: a) Cho a, b số thực không âm, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức √ a−√ a+b−c= √ b+ √ c Chứng minh rằng: √3 a+ √3 b−√3 c=√3 a+ b−c b) Tìm tất số nguyên dương a, b cho số √ 3+ √ a √ 5+ √b số hữu tỷ Lời giải a) Bằng phép biến đổi biểu thức kết hợp với a, b khơng âm c thực dương, ta có: √ a−√ a+b−c= √ b+ √ c ⟺ √ a−√b=√ c + √ a+b−c ⟹ a+b−2 √ ab=a+b+ √ c (a+ b−c) ⟺ √ ab+ √ c ( a+b−c )=0 ⟺ ab=0 ( a+b−c )=0 { (*) Ta cần chứng minh √3 a+ √3 b−√3 c=√3 a+ b−c Ta biến đổi tương đương đẳng thức kết hợp với a, b khơng âm c thực dương, ta có: √3 a+ √3 b−√3 c=√3 a+ b−c ⟺ √3 a+ √3 b=√3 c+ √3 a+b−c 3 ⟺ a+ b+3 ( √ a2 b+ √ ab 2) =a+b+3 ¿ 3 ⟺ ( √ a b+ √ ab )=¿ Đẳng thức cuối với điều kiện (*) nên đẳng thức đầu Bài toán chứng minh b) Lấy α ∈ Qsao cho √ 3+ √ a =α √ 5+ √b Viết lại phương trình dạng √ a−α √ b=α √ 5− √3 Bình phương vế ta có: a+ α b−2 α √ ab=5 α 2−2 α √15 Từ suy √ ab−√ 15=β ∈Q Bình phương vế đẳng thức √ ab−√ 15+ β ta ab=15+ β +2 β √ 15 ⟺ β √ 15=ab−15−β Đẳng thức cuối xảy β = tức ab = 15 Xét tất khả xảy ra, ta     √ 3+1 = là1 số vô tỷ √ 5+ √ 15 √ √3 √ = số vô tỷ a = 3, b = tức α = √5 √ √ 3+ √5 =1 a = 5, b = tức α = số hữu tỷ √ 5+ √3 √ 3+ √15 =√ a = 15 , b = , tức α = , số vô tỷ √ 5+1 a = , b = 15 tức α = Vậy tất cặp (a,b) thỏa mãn a = b = Các bạn tham khảo tốn gốc câu 26) sau Tìm tất số nguyên dương a, b cho số √2+ √ a √3+ √b số hữu tỷ Câu Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, G.Hai đường thẳng DE , DG cắt đường phân giác ngồi góc BAC M , N Hai đường thẳng MG, NE cắt điểm P Chứng minh rằng: a) EG song song với MN b) Điểm P thuộc đường tròn (I) Lời giải M A N E P G I C B D BAC AI phân giác góc A nên AI ⊥ AM a) Vì AM phân giác ngồi ^ mà GE // AI nên EG // AM hay GE // MN Bài toán chứng minh b) Gọi P1 giao NE đường trịn (I) từ EG // MN, ta có: ^ ANP1= ^ ANE= ^ P1 EG=^ P1 GA Do tứ giác ANGP, nội tiếp kết hợp với tứ giác DG P1 E nội tiếp, ta có ^ P1 EM = ^ P1 GD=^ NAP1=180 °− ^ P GA Suy tứ giác MA P1 E nội tiếp kết hợp với EG // MN tứ giác ANG P1 nội tiếp, ta có: ^ ^ ^ GP M =^ A P1 M + ^ AP G=^ AEM + ^ AP G= ^ DGE+ ^ AP G=GNA+ AP G=180 ° Do ta điểm G, P1 , M thẳng hàng Vì nên P1 trùng P Nói cách khác MG, NE cắt điểm P nằm (I) Bài toán chứng minh Câu 4: Bảy lục giác xếp tô màu hai màu trắng, đen Hình Mỗi lần cho phép chọn lục giác đều, đổi màu lục giác tất lục giác chung cạnh với lục giác (trắng thành đen đen thành trắng) Chứng minh dù có thực cách làm lần nữa, nhận lục giác màu Hình Lời giải.: Cách Đánh số vào hình lục giác hình vẽ Ta xét hình lục giác điền số a ithì a i ≡ bi (mod 2) b i tổng số điền hình lục giác chung cạnh với hình lục giác xét Do đó, đổi màu theo đề số dư phép chia cho tổng số hình lục giác tơ đen ln khơng đổi Đối với hình số dư 1, cịn hình số dư nên khơng thể có cách đổi màu biến hình thành hình Cách Xét ô 2,3,5,6 Mỗi bước ta đổi màu hai bốn nên số đen khơng thay đổi tính chẵn, lẻ Ban đầu bốn nói có hai đen nên khơng thể có trạng thái bốn có đen