Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN (Tốn chun) Ngày thi: 14/06/2021 (Đề thi gồm 01 trang) Bài (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Cho ba số thực x2 + x + − x + = a, b c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a−b b− c c− a + + = + c2 + a + b2 Bài (2,0 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn: x + xy + y + x + y − = n 49 n2 + n + 16 2) Chứng minh với số nguyên , số không chia hết cho Bài (2,0 điểm) x 1)Cho số thực x+ khác thỏa mãn 2)Cho số thực không âm a, b x x3 số hữu tỉ Chứng minh x số hữu tỉ c thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh: 2a + 2ab + abc ≤ 18 Bài (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM (O) , với góc · = 60° BAC AB < AC Các Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” đường thẳng BO , CO cắt đoạn thẳng AC , AB cung BC J điểm F thuộc đường tròn P , Q giao điểm thứ hai hai tia FN , FM góc BC đường thẳng PQ với đường tròn Chứng minh tia AJ (O) Gọi tia phân giác · BAC K giao điểm đường thẳng OJ đường thẳng CF Chứng minh AB vng góc AK với Bài A , N, O, M giao điểm đường thẳng 3) Gọi M , N Gọi F lớn 1) Chứng minh năm điểm 2) Gọi (1,0 điểm) Cho A tập hợp có 100 phần tử tập hợp {1,2,3,… ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp 2) Chứng minh với số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4,… ,22} , tồn hai phần tử A có hiệu n HẾT LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI Tập Thể Giáo Viên Nhóm Tốn “Tiểu Học – THCS – THPT VIỆT NAM” NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Tạ Thị Huyền Trang Nguyễn Trí Chính Hồng Dương Võ Quang Mẫn Phạm Thụ Nguyễn Hưng Phạm Thu Hà Việt Dũng Lê Hợp Nguyễn Lan Anh Nguyễn Lợi Thơm Lê Hường Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Phạm Văn Tuân Trần Hùng Quân Lê Quỳnh Trang Nguyễn Đơng Lê Thị Hồng Hạnh Bùi Quốc Trọng Thắng Vũ Phạm Duy Nguyên SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN (Tốn Chun) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 14/06/2021 (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Cho ba số thực a, b x2 + x + − x + = c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh: a− b b− c c− a + + =0 + c2 + a + b2 Lời giải 1) ĐKXĐ: x + 1≥ ⇔ x ≥ − Cách 1: Đặt t = x+1 t ≥0 , NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Ta có: ( t − 1) 2 + t − + − 2t = ⇔ t − t − 2t + = ⇔ t ( t − 1) − ( t − 1) = ⇔ t ( t − 1) ( t + 1) − ( t − 1) = ⇔ ( t − 1) ( t ( t + 1) − ) = ⇔ ( t − 1) ( t + t − ) = ⇔ ( t − 1) ( t − t + 2t − ) = ⇔ ( t − 1) ( t ( t − 1) + ( t − 1) ( t + 1) ) = ⇔ ( t − 1) ( t − 1) ( t + 2t + ) = ⇔ ( t − 1) ( t + 2t + ) = ( t − 1) = ⇔ ⇔ t + 2t + = Với t = ( TM ) ⇔ t =1 ( t + 1) + = ( L ) t = , suy x + = ⇔ x + = ⇔ x = ( TM ) Vậy phương trình có nghiệm x= Cách 2: NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” x2 + x + − x + = ⇔ x2 + x + − x + + = ⇔ x2 + Ta có: x = ⇔ ⇔ x + − = x = ⇔ x + = Vậy phương trình có nghiệm VT = 2) Ta có: = x = ⇔ x +1= x = ⇔ x = ( TM ) x = ) x= a− b b− c c− a a−b b− c c− a + + = + + 2 2 + c + a + b ab + bc + ca + c ab + bc + ca + a ab + bc + ca + b ( a − b) ( a + b) + ( b − c) ( b + c ) + ( c − a ) ( c + a ) a−b b−c c−a + + = ( a + c) ( b + c) ( a + b) ( c + a) ( a + b) ( b + c ) ( a + b) ( a + c) ( b + c) a − b2 + b2 − c2 + c2 − a = = = VP ( a + b) ( a + c) ( b + c) Bài ( x +1 −1 = (đpcm) (2,0 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn x + xy + y + x + y − = n n2 + n + 16 2) Chứng minh với số nguyên , số không chia hết cho 49 Lời giải 1) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn x + xy + y + x + y − = x + xy + y + x + y − = ⇔ ( x + y ) ( x + y ) + ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x + y + 1) = (1) Do x; y ∈ ¢ suy x + y; x + y + ∈ ¢ Vậy từ (1) ta suy trường hợp sau NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” TH1: x + y = x = ⇔ x + y + = y = −2 TH2: x + y = ⇔ x + 3y +1 = x = y = TH3: x + y = −2 ⇔ x + y + = − x = −2 y= TH4: x + y = −1 x = ⇔ x + y + = −2 y = −2 Vậy cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn ( 6; − ) ( 1;0 ) ( − 2;0 ) ( 3; − 2) ; ; ; n 49 n + n + 16 2) Chứng minh với số ngun , số khơng chia hết cho Ta có P = n + n + 16 2n + 1M7 TH1: TH2: Vậy Bài 2n + M7 P M49 suy suy suy với P = 4n2 + 4n + 64 = ( 2n + 1) + 63 2 ( 2n + 1) ( 2n + 1) M49 M7 mà mà 63 M49 suy P M49 suy P M49 63M7 suy P M49 suy P M49 n (điều phải chứng minh) (2,0 điểm) x 1) Cho số thực khác x+ thỏa mãn x x3 số hữu tỉ Chứng minh x số hữu tỉ 2)Cho số thực không âm a , b c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: 2a + 2ab + abc ≤ 18 NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Lời gii 1) Cỏch 1: Ta cú x+ Ô x x Ô suy Cng cú x2 + Do Vậy 2 x + + = x + ữ Ô x2 + Ô x x x suy Ô x3 x3 suy 4 Ô x2 + + Ô x x 2 2 2x = x + ữ + x ữ Ô x x x3 nên suy suy 4 = x − ữ x + + ữ Ô x x x Ô x x ¤ (điều phải chứng minh) Cách 2: x+ Ta có: x số hữu tỉ x4 + x2 ⇒ ∈Q x3 Mà: x3 ∈ Q ⇒ x + x ∈ Q (1) ⇒ ( x + 1) ∈ Q (2) 2 x2 + ∈ Q; x ( x + ) ∈ Q ⇒ x ( x + ) ∈ Q x Ta lại có: x2 + ⇒ x ( x + ) ∈ Q ⇒ ( x + ) ∈ Q (3) x ⇒ ( x + ) − ( x + 1) ∈ Q Từ (2) (3): ⇒ ( x + 1) + ( x + 1) + 1∈ Q NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” ⇒ ( x + 1) + ( x + 1) ∈ Q ⇒ ( x + 1) ( x + 1) + 3 ∈ Q ⇒ x2 + 1∈ Q ⇒ x2 + ∈ Q x2 + x ∈ Q ⇒ ( x2 + 2) = x∈ Q x x + Mà: 2) b+ c+ 2 2a + 2ab + abc = 2a + ab(c + 2) ≤ 2a + a ÷ 7− a ⇒ 2a + 2ab + abc ≤ 2a + a ÷ Ta chứng minh: a − 14a + 49 2a + a ≤ 18 ⇔ a3 − 14a + 57a − 72 ≤ ⇔ ( a − 3) ( a − ) ≤ Dấu “ = ” xảy ra: Vậy Bài với a = b = c + ⇔ b = 0< a< a = c = b = 2a + 2ab + abc ≤ 18 (đpcm) (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn đường thẳng ABC nội tiếp đường tròn (O) , với góc · = 60° BAC BO , CO cắt đoạn thẳng AC , AB cung BC AB < AC Các M , N Gọi F điểm lớn 1) Chứng minh năm điểm A , N, O, M NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM F thuộc đường tròn Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” 2) Gọi J P , Q giao điểm thứ hai hai tia FN , FM giao điểm đường thẳng góc 3) Gọi với BC đường thẳng PQ với đường tròn Chứng minh tia AJ (O) Gọi tia phân giác · BAC K giao điểm đường thẳng OJ đường thẳng CF Chứng minh AB vng góc AK Lời giải 1) · = BAC · BOC Mà (góc nội tiếp góc tâm) · = 60° ⇒ BOC · = 120° BAC · MON = 120° · · ⇒ ⇒ MON + MAN = 180° · MAN = 60° NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” ⇒ Tứ giác AMON nội tiếp (1) · = NMO · » ⇒ NAO ON (cùng chắn ) · = MNO · MAO ¼ OM (cùng chắn ) · = NBO · NAO ( OA = OB ⇒ ∆ OAB cân) · = MCO · MAO ( OA = OC ⇒ ∆ OAC cân) Mà Nên · · ⇒ ∆ MBN NBM = NMB · · ⇒ ∆ MCN MNC = MCN cân cân N ⇒ NM = NB M ⇒ MN = MC ⇒ NB = MC Xét ∆ FNB NB = MC ∆ FMC có: (chứng minh trên) · = MCF · »AF NBF (cùng chắn ) FB = FC ( F điểm chình » BC ) ⇒ ∆ FNB = ∆ FMC ( c g c ) FN = FM ⇒ · · = MFC NFB Mà · + MFB · = BFC · = BAC · = 60° MFC NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 10 Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” · + MFB · = 60° ⇒ NFB ⇒ · NFM = 60° ⇒ ·NAM = 60° Tứ giác 2) Ta có F , BC điểm cung Suy Suy điểm suy BJNP tứ giác nội tiếp · = BAC · = 60° BFC nên MCQO M , C , Q, J , O Chứng minh tương tự Suy QJMC thuộc đường tròn suy ∆ BFC · · · = 60° MQC = MQC = FAC · MOC = 60° Lại có Suy nội tiếp (2) A, N , O, M , F Từ (1) (2) suy điểm » = »AF = BP » CQ NAFM tứ giác nơi tiếp thuộc đường trịn B, N , O, J , P thuộc đường tròn · · · CJM = COM = 60° = BAC AMJB AJ Suy · BAC · · ⇒ MAJ = MBJ = 30° = tứ giác nội tiếp tia phân giác góc 3) Theo ta có PBQC · BAC hình thang cân, NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM OJ đường trung trực CP Trang 11 Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Mặt khác · ·JAP = CAP · − BAC = CAP · − 30° = JOP · − OCF · · − OPK · · = JOP = JKP Suy tứ giác Suy Hay Bài AKJP nội tiếp · = JPK · = KCJ · = 60° ⇒ BAK · = BAJ · + KAJ · = 30° + 60° = 90° KAJ AK ⊥ AB (1,0 điểm) Cho A tập hợp có 100 phần tử tập hợp {1,2,3,… ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp 2) Chứng minh với số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4,… ,22} , tồn hai phần tử A có hiệu n Lời giải a) Gọi phần tử tập A A = { a1 , a2 , a3 , a100 } Không tính tổng quát giả sử a1 < a2 < a3 < < a100 Giả sử tập A khơng có hai số tự nhiên liên tiếp ta có a2 − a1 ≥ 2; a3 − a2 ≥ ; a100 − a99 ≥ NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 12 Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Suy a100 = a100 − a99 + + a3 − a2 + a2 − a1 + a1 ≥ 99.2 + a1 > 178 { 1,2,3 ,178} b) Với Ta có a100 không thuộc tập hợp ( trái với giả thiết) suy điều giả sử sai từ ta có điều phải chứng minh n∈ { 2,3,4 ,22} giả sử khơngtồn hai phần tử A có hiệu n (*) ai+ ≠ + n ∀ i ∈ { 1,2,3 ,99} Với phần tử a1 , a2 , a3 a78 ⇒ + n∈ {1,2,3,… ,178} ta có + n ∉ A theo thứ tự từ nhỏ đến lớn) thuộc tập Tương tự có 78 số lớn) thuộc tập Vì {1,2,3,… ,178} ≤ 156 ∀ i ∈ { 1,2,3 ,78} ⇒ 178 − ≥ 22 ≥ n có 78 số {1,2,3,… ,178} ( số A không thuộc a23 − n; a24 − n; a100 − n không thuộc a1 + n; a2 + n; a78 + n ( số theo thứ tự từ nhỏ đến A A có 100 phần tử nên ta phải có hai 78 số phải trùng ⇒ a1 + n = a23 − n; a2 + n = a24 − n; a78 + n = a100 − n ⇒ a23 − a1 = 2n Trường hợp Với n ≤ 21 ta có a1 < a1 + n < a23 a22 ≥ a1 + 21 ≥ a1 + n a1 + n ∉ A ⇒ a22 > a1 + n ⇒ a22 − n > a1 ⇒ a22 − n ∈ {1,2,3,…,178} a22 − n ∉ A ⇒ A theo (*) có 99 phần tử (trái với giả thiết) NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 13 Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Trường hợp Với n = 22 ta có a23 − a1 = a45 − a23 = a67 − a45 = a89 − a67 = 2n = 44 ⇒ a89 = a89 − a67 + a67 − a45 + a45 − a23 + a23 − a1 + a1 = 176 + a1 > 176 ⇒ a100 ≥ a89 + 11 > 188 ( trái với giả thiết) Vậy điều giả sử (*) sai từ ta có điều phải chứng minh HẾT NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 14 Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” NHĨM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 15 ... ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 20 21 – 2022 MƠN THI: TỐN (Toán Chuyên) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 14 /06 /20 21 (Thời gian làm 15 0 phút, không kể thời gian giao đề) Bài... Với n = 22 ta có a23 − a1 = a 45 − a23 = a67 − a 45 = a89 − a67 = 2n = 44 ⇒ a89 = a89 − a67 + a67 − a 45 + a 45 − a23 + a23 − a1 + a1 = 17 6 + a1 > 17 6 ⇒ a100 ≥ a89 + 11 > 18 8 ( trái với giả thiết)... trùng ⇒ a1 + n = a23 − n; a2 + n = a24 − n; a78 + n = a100 − n ⇒ a23 − a1 = 2n Trường hợp Với n ≤ 21 ta có a1 < a1 + n < a23 a22 ≥ a1 + 21 ≥ a1 + n a1 + n ∉ A ⇒ a22 > a1 + n ⇒ a22 − n > a1 ⇒ a22