1 Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn O;R là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.. 2 Cho A là một điểm bất kì của thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính
Trang 1SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2010 – 2011
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2010
Thời gian Làm bài 150 phút
BÀI I (2,0 điểm)
1) Cho n là số nguyên, chứng minh A n3 11n
chia hết cho 6 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 4 3 2 1
B là số nguyên tố
BÀI II (2,0 điểm)
Cho phương trình : ( 2 2 2 ) 2 ( 2 2 2 ) 1 0
m Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho
1) Tìm các giá trị của m để 2 2 1 2( 2 1 2 1 )
2
2
1 x x x x x
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S x1 x2
BÀI III (2.0 điểm)
1) Cho a là số bất kì,chứng minh rằng: 2
2009
2010
2010
2010
a a
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình 2 ( 2 )( 2 2 2 ) 0
y
BÀI IV (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn.Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E , F
1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF
2) Cho A là một điểm bất kì của thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E,F) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B Chứng minh OA.OBR2
3) Cho biết OM=2R và N là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O;R) ( N khác E,F) Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F) Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q chứng minh rằng: 2
2
3
BÀI V ( 1,0 điểm)
Giải phương trình: 8 7 5 4 3 1 0
x Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm
SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO
THPT CHUYÊN Năm học 2010 – 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi : TOÁN
1 Cho n là số nguyên, chứng minh An3 11n chia hết cho 6 (1 điểm )
n n n
A 3 12
n(n2 1 ) 12n
Nhận xét : tích 3 số nguyên liên tiếp n(n-1)(n+1) 6 Vậy A 6 0,25
2 Tìm tất cả các số tự nhiên n để 4 3 2 1
B là số nguyên tố (1 điểm )
2 2 2 2 2
4 2n 1 n (n 1 ) n n
Với n=0 có B=1.Với n là số tự nhiên n 1 thì 2 1 2 1 , 2 1 0
B là số nguyên tố suy ra n2 1 n 1 n 2.với n=2 ta có B=5 là số nguyên tố 0,25
1 Tìm các giá trị của m để 2 2 1 2( 2 1 2 1 )
2
2
1 x x x x x
Nhận xét a c 0 suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 0,25 Theo định lí Viet ta có:
2 2
2 2 2
2 2 1
m m
m m x
m m x
) 1 2
(
2 1 2 1 2
2 2
2
1 x x x x x
2 1
2 2
1 ) 4 ( ) (x x x x
2 2
2 2
2
2 2
1 4
2 2
2 2
m m m
m
m m
m2 2m 2 2
0,25
2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S x1 x2 (1 điểm )
2 2
2 2 2
2 2 1
m m
m m x x
Xét phương trình :
2 2
2 2 2 2
m m
m m
0 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1
Với S 1 Phương trính có nghiệm ' 0 ( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2 0
S S
2 2 3 2
2
0,25
S=1 khi m=0.Kết luận GTNN của S bằng 3 2 2 GTLN của S bằng 3 2 2 0,25
Trang 31 Cho a là số bất kì,chứng minh rằng: 2
2009
2010
2010
2010
a
a
(1 điểm )
2009 2
1 2009 2009
2
2010
2010 20092 2 2010 2009 1 0
2010 2009 12 0
2 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình 2 ( 2 )( 2 2 2 ) 0
0 ] 1 ) 1 ][(
1 ) 1 [(
0 ) 2 2 )(
2
2
1 ] ) 1 ( ][
) 1 ( [ 0 ] 1 ) 1
2
Hoặc
1 )
1 (
1 ) 1 (
2 2
x y x y
hoặc
1 ) 1 (
1 )
1 (
2 2
x y x
Giải và kết luận các số x,y cần tìm là (x=0, y=0); (x=2, y=0) 0,25
N
E F
H
F
O I M
O
I
K
Q P
M
1 Chứng minh giao điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF (1 điểm )
Chứng minh được ME, MF là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25
Chứng minh được EI là phân giác của góc MEF và suy ra I là tâm đường tròn
2 Chứng minh OA.OBR2 (1 điểm )
Nếu A M thì B H Trong vuông MEO có OH.OM OE2 hay
.
0,25
Nếu A khác M: chứng minh được hai vuông OHB và OAM đồng dạng
2
3
PN (1 điểm )
Trang 4Chứng minh góc EKF 60 0 ,PNQ 120 0 suy ra tứ giác KPNQ nội tiếp đtròn
đường kính KN
0,25
Gọi FT là đường kính của đường tròn đường kính OM.Chứng minh ETKN là
hình bình hành suy ra KN TE EF ctg R R
3
3 3 60
0 và tính được 2
3 3
2
R KN
0,25
PQ KN QQ
PP KN S
QK QN PK
PN 2 KPNQ ( 1 1) (P1, Q1 lần lượt là hình chiếu
của P, Q trên KN)
0,25
2
3
PN ,dấu bằng xảy ra khi PQ KN hay K M 0,25
V Giải phương trình: 8 7 5 4 3 1 0
Vì 2 1 0
x
x với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với
0 ) 1 )(
1
0 1
5 10
4
3 ) 2
1 (
5
10 x x
x với mọi x nên phương trình vô nghiệm
0,5
Các chú ý khi chấm:
1) Thí sinh lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa
2) Thí sinh có cách giải khác đúng,khác với hướng dẫn chấm thì giám khảo vẫn
chấm và cho điểm theo số điểm qui định dành cho câu (hay ý) đó
3) Giám khảo vận dụng hướng dẫn chấm đã chi tiết đến 0,25 điểm và không làm
tròn điểm bài thi.