058 10 chuyên toán tiền giang 23 24

Tuyển tập TS Vào 10 Chuyên Toán, 2023 - 2024 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên năm học 2023 – 2024, Tiền Giang ĐỀ BÀI  Câu 1) Tính giá trị biểu thức P=( x 2+ x +2021)2024 x= √ − x −√ 15 √ 5−1 2) Giải phương trình x2 +2 x−1=3 x √2 x−1 3) Giải hệ phương trình x 3=2 x+ y (1) x + y 3=3 x +3 y (2) {  Câu 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y=x đường thẳng (d ): y=2(m−1) x +3 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d ) cắt parabol( P) hai điểm phân biệt có hoành độ x , x thỏa mãn x 1+ x 2=5 2) Chứng minh phương trình ( a x +2 bx+ c )( b x +2 cx +a ) ( c x 2+ ax+b )=0 ln có nghiệm với số thực a , b , c 3) Cho hai số thực x y thỏa mãn x >1, y >1 a) Chứng minh x ≥ √ x−1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = x2 y2 + y−1 x−1  Câu Cho hai số nguyên p , q thỏa mãn đẳng thức p2 +q 2=2 (3 pq−4 ) (*) 1) Chứng minh có hai số p , q bội 2) Tìm tất cặp số nguyên ( p , q) thỏa (*)  Câu Cho đường tròn tâm O điểm A ngồi đường trịn Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC, D trung điểm AC, tía BD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E 1) Chứng minh CDEH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh D A 2=DE DB 3) Gọi F giao điểm thứ hai AE với đường tròn (O) Chứng minh OC đường trung trực đoạn thẳng BF Trang Tuyển tập TS Vào 10 Chuyên Toán, 2023 - 2024 ĐÁP ÁN  Câu 1) Tính giá trị biểu thức P=( x 2+ x +2021)2024 x= √ − x −√ 15 √ 5−1  Lời giải: Ta có: x= √ − 4−√ 15 √ 5−1 ¿ √ 8+2 √ 15− ( √ 5+1) ( √ 5−1 ) ( √5+1) √ ¿ ( √ 5+ √3 ) −( √ 5+1 ) ¿ √ 5+ √ 3− √5−1=√ 3−1 Suy ( x +1 )2=3 ⇔ x +2 x=2 Do P=( x2 +2 x+ 2021 ) 2024 =20232024 2) Giải phương trình x2 +2 x−1=3 x √2 x−1  Lời giải: Điều kiện: x ≥ Đặt t=√ x −1≥ 0, phương trình cho trở thành x2 +t 2=3 xt ⇔ t 2−3 xt +2 x 2=0 ⇔ ( t−x )( t−2 x )=0 ⇔ t=x t=2 x [  Với t=x , x ≥ nên √ x−1=x ⇔ x−1=x ⇔ x=1  Với t=2 x , x ≥ nên √ x−1=2 x ⇔2 x−1=4 x ⇔ x 2−2 x+ 1=0, phương trình vơ nghiệm ∆ '< Vậy phương trình cho có tập nghiệm S= { } 3) Giải hệ phương trình x 3=2 x+ y (1) x + y 3=3 x +3 y (2) {  Lời giải: Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta x 3− y 3=−x+ y ⇔ ( x− y ) ( x + xy + y ) + x− y=0 Trang Tuyển tập TS Vào 10 Chuyên Toán, 2023 - 2024 y y2 + + 1> 0, ∀ x , y ⇔ ( x− y ) ( x + xy + y +1 )=0 ⇔ x= y x + xy+ y +1= x + 2 2 ( ) Thay y=x vào phương trình (1), ta x =6 x ⇔ [ x=0 x=± √ Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho S=¿  Câu 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y=x đường thẳng (d ): y=2(m−1) x +3 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d ) cắt parabol( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x , x thỏa mãn x 1+ x 2=5  Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm ( P) (d ) x 2=2 ( m−1 ) x +3 ⇔ x 2−2 ( m−1 ) x−3=0  Do (−3 )=−3