Lời giải đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán, năm học 2023-2024 Phạm Văn Ninh, Nguyễn Việt Dũng Giáo viên trường THPT Chuyên Hạ Long Ngày tháng năm 2023 I :Đề Bài 1: Cho biểu thức: P= x − + ( x 5++5 4√ √x−12 √ x+3 √ x + ) (a) Rút gọn biểu thức P (b) Tính GTLN biểu thức P Bài 2: Giải phương trình x 2+ x−16=3 ( x−2) √ x+ Giải hệ phương trình: { x 2−2 x−xy + y +1=0 (1) x 2+3 x− √ y +5 x−1−2=0(2) Bài 3: (a) Cho x,y số nguyên dương thoả mãn x 2− y x 2+ y số phương Chứng minh y chẵn (b) Tìm tất số nguyên dương a, b thoả mãn a 3−2 ¿ (4) Bài 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp (O) Hai đường cao BD, CE tam BAC BD (O) M giác ABC cắt H Tia phân giác ^ I ( I ≠ A) , Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) K ( K ≠ B) Hai đường thẳng AC I cắt Q, hai đường thẳng QH AB cắt P Chứng minh: (a) AMQK nội tiếp (b) ∆ APQ cân A 1 (c) BC + DE = MQ Bài 5: Trên bảng gồm 2023 số nguyên phân biệt, số có dạng a 2+ b2trong a,b nguyên Mỗi lần ta thực phép biến đổi sau: Xoá hai số tuỳ ý viết thêm số tích hai số vừa xoá Hỏi sau số lần biến đổi bảng có số 26 32023 khơng ? Giải thích ? II: Lời giải : Bài 1: a) Ta có: x 5−6 √ x − + :( √ x + ( x 5++5 4√ √x−12 ) √ x+3 √ x + √x+4 ) 5+ √ x x−2 √ x+ ¿ − + : ( (2 √ x−3)( ) √ x +4) √ x +3 √ x +4 √ x+ P= ¿ ¿ 5+4 √ x−2 ( √ x+ )+ 3(2 √ x−3) x +4 √ (2 √ x−3)( √ x +4 ) x−2 √ x +5 x−2 √ x +5 Vậy nên P= x−2 √ x+5 b) Ta có: x−2 √ x+5=( √ x−1 ) +4 ≥ 4 ⟹ P≤ =1 Dấu xảy x=1 Vậy nên giá trị lớn P là1, đạt x=1 Bài 2: DKXD: x ≥−1 Ta có : x 2+ x−16=3 ( x−2 ) √ x+ ⟺ ( x−2 ) ( x+3 )=3( x −2) √ x +1 ⟺ ( x−2 ) ( x+ 3−3 √ x+1 ) =0 ⟺ [ x=2 x +3=3 √ x +1 Giải phương trình: x +3=3 √ x+ 1⟺ ¿ ⟺ x 2−3 x=0 ⟺ x ( x−3 )=0 ⟺ x=0 x=3 [ Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {0; 3; 2} DKXD: y +5 x−1≥ Ta có biến đổi phương trình (1): x 2−2 x−xy + y +1=0 ⟺ ( x−1 ) − y ( x−1 )=0 ⟺ ( x−1 ) ( x−1− y ) =0 Ta có hai trường hợp: (a) x = Thay vào (2) ta có : 2− √ y + 4=0 ⟺ y =0( hoả mãn DKXD) (b) x−1− y=0 ⟺ y=x−1 Thay vào (2) ta có: x 2+ x −2−√ x 2+3 x=0 Đặt t=√ x 2+3 x ⟹t ≥0 Khi phương trình (3) trở thành: t 2−2−t=0 ⟺ t=−1 t =2 [ Kết hợp với điều kiện t ≥ ta có : t=2 ⟹ x +3 x=4 ⟺ x=1 [ x=−4 Nếu x=1 y=x −1 (thoả mãn DKXD) Nếu x=−4 y=x −1=−5 (thoả mãn DKXD ) Vậy nên tất nghiệm hệ phương trình cho ( x ; y )=( 1; ) ; (−4 ;−5) Bài 3: (a) Theo điều kiện đề bài, tồn số nguyên A, B cho : { x2 − y= A2 x2 + y =B Suy B2− A2 =2 y ta có A, B cung tính chẵn lẻ Xét hai trường hợp: (a) A, B chẵn Khi A2 , B2 chia hết cho nên y=B2− A2 chia hết cho Do nên y chẵn (b) A B lẻ Khi A2 ≡ B2 ≡ (mod 4) nên y=B2− A2 chia hết cho Do nên ý chẵn Như ta ln có y chẵn (b) Đặt u=a+b , v=a−b Khi a=u+v , 2b=u−v phương trình (4) trở thành: Từ (5) ta có : ( v 3−4.19 ) ( 8−3 v ) ≥ Nhận thấy v ≥ 8−3 v 0 Do nên ( 8−3 v ) ( v −4.19 ) < 0và ta có điều vơ lý Cịn v ≤ ta có 8−3 v >0, v −4.19