LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 11: GĨC CƠ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CƠ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ O *) Với đỉnh A nằm đường tròn ( ) giao điểm hai dây đường tròn => Ta có góc BAE ; BAD góc có đỉnh bên đường trịn C D Số đo góc nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai A cạnh góc tia đối hai cạnh » + sđCD » sđBE · sđBAE = + » + sđCE » sđBD · sđBAD = + E B O *) Với đỉnh A nằm đường tròn ( ) giao điểm đường éo dài hai dây đường tròn => Ta có CAE (hoặc BAD ) góc có đỉnh bên ngồi C B đường trịn Số đo góc nằm ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai A n cung bị chắn m D 1ỉ ¼ · ¼ ữ sCAE = ỗ sEmC - sBnD ỗ ữ ứ 2è E * Cần lưu ý đến trường hợp sau: C + Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn (O) AD tiếp tuyến (O) , qua A vẽ cát tuyến cắt đường tròn BC , O thỡ: 1ổ ẳ Ã ẳ ữ CAD = ỗ sCmD - sBnD ỗ ữ ứ 2ố m B n A D + Với Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn (O) AB, AC tiếp B tuyến (O) , ( A, B tip im) thỡ: 1ổ ẳ Ã ẳ ữ BAC = ỗ sBmC - sBnC ỗ ữ ứ 2ố A O n C m LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG I BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho JABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ phân giác AD góc A (D ≠ (O)) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC Nối BE cắt AD AC I K, nối DE cắt AC J Chứng minh rằng: a) ∠BID = ∠AJE b) AI.JK = IK.EJ Hướng dẫn a) Ta có ∠BID góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung BD cung AE sđAE BID sđBD ∠AJE góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung CD AE sđAE AJE sđCD Mà AD phân giác góc A nên BD CD Suy ∠BID = ∠ẠJE b) Xét JAIK JEJK có: +) ∠AKI = ∠EKJ (đối đỉnh) +) ∠IAK = ∠KEJ (hai góc nội tiếp chắn hai cung BD cung CD ) Do JAIK ∼ JEJK (g.g) => AI/EJ = IK/JK => AI.JK = IK.EJ Bài 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A, B cho O ≠ (O') Lấy điểm M thuộc đường tròn (O’), M đường tròn (O) Tia AM BM cắt đường tròn (O) C D Chứng minh rằng: a) AB CD (Cung nhỏ đường tròn (O)) b) Tứ giác ABCD hình thang cân Hướng dẫn LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà a) Vì ∠AMB góc có đỉnh nằm bên đường trịn (O) chắn hai cung AB CD nên: sđCD AMB sđAB Mặt khác: ∠AMB = ∠AOB (hai góc nội tiếp (O’) chắn cung AB lớn) (góc tâm đường trịn (O)) ∠AOB = sđ AB sđCD sđAB sđCD AB CD sđAB sđAB b) Trong đường tròn (O): DAC sđCD ACB sđAB 2 ; Mà AB CD => DAC ACB Vì hai góc vị trí so le trong, suy AD // BC (1) Theo câu a), ta có: ∠ADC = ∠DAB (2 góc chắn cung nhau) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABCD hình thang cân Bài 3: Cho JABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm I chuyển động cung nhỏ BC AB cắt CI M, AC cắt BI N Chứng minh rằng: a) BC2 = BM.CN b) ∠AIN có số đo khơng đổi Hướng dẫn o a) Vì JABC nên: sđAB sđBC sđAC 120 Ta có: ∠ANB góc có đỉnh ngồi đường trịn (O) nên: sđCI 60o sđCI ANB sđAB 2 BCI sđBI Lại có: (góc nội tiếp (O) chắn cung BI) sđCI 60o sđCI sđBC 2 Suy ∠ANB = ∠BCI (1) Tương tự ta có: ∠AMC = ∠CBI (2) Từ (1) (2) suy ra: JBCM ∼ JCNB (g-g) => BC/NC = BM/BC => BC2 = BM.NC LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà b) Ta có: ∠AIB = ∠ACB = 60o => ∠AIN = 180o - ∠AIB = 120o không đổi Bài 4: Qua điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD với đường tròn (C nằm A D) Vẽ dây BM vng góc với tia phân giác ∠BAC, BM cắt CD I Chứng minh rằng: a) BM tia phân giác b) MD2 = MI.MB Hướng dẫn Giả sử tia phân giác ∠BAC cắt BC E, cắt BD E cắt đường tròn (O) K a) Ta có: sđBN sđBK A sđDN sđCK A 2 Mà ∠A1 = ∠A2 (gt) => sđBN sđBK sđDN sđCK sđBN sđCK sđDN sđBK ⇔ ∠BEF = ∠BFE => JBEF cân B Mà BM đường cao JBEF Suy BM tia phân giác ∠CBD b) Vì BM phân giác ∠CBD MD MDC CM MBD Do đó: JMDI ∼ JMBD (g.g) => MD2 = MI.MB II/ LUYỆN TẬP Bài 1: Cho đường tròn (O) dây cung AB, CD cắt điểm E nằm ngồi đường trịn Đường thẳng kẻ từ E song song với AD cắt BC F Kẻ tiếp tuyến FG với đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) 2EFC sđAB sđCD b) JFEC ∼ JFBE, từ suy EF2 = FB.FC Bài 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) lại điểm A, B, C, D Kẻ tiếp tuyến chung ngồi EF hai đường trịn (E ≠ (O), F ≠ (O')) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB DC Chứng minh rằng: LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c) ME.MA = MF.MD Bài 3: Trên đường tròn (O; R) đặt liên tiếp dây cung: AB = BC = CD < R AB cắt CD E Tiếp tuyến B D với đường tròn (O) cắt F Chứng minh rằng: a) JEBC ∼ JFBD b) JEBF ∼ JCBD c) BC // EF Bài 4: Cho tứ giác ABCD có A, B, C, D nằm đường trịn (O); AB CD cắt M; AD BC cắt N a) Tính số đo góc tứ giác ABCD ∠AMD = 30o ∠BND = 40o b) Hai phân giác góc M góc N cắt I Chứng minh IM ⊥ IN Bài 5: Cho đường tròn tâm O điểm M ngồi đường trịn Từ M kẻ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC đến đường tròn ( B nằm M C ) Phân giác góc BAC cắt BC D , cắt đường tròn E Chứng minh : a) MD = MA b) AD AE = AC AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc A B cắt I cắt đường tròn theo thứ tự D E Chứng minh : a) BDI tam giác cân b) DE đường trung trực IC c) IF BC ( F giao điểm DE AC ) Bài 7: Cho đường trịn tâm O điểm S ngồi đường trịn Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA SD cát tuyến SBC tới đường tròn ( B S C ) a) Phân giác góc BAC cắt dây cung BC M Chứng minh SA = SM b) AM cắt đường tròn E Gọi G giao điểm OE BS; F giao điểm AD với BC Chứng minh SA2 = SG SF 2a c) Biết SB = a ; Tính SF BC = LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài 8: Từ điểm M ngồi đường trịn (I) kẻ hai tiếp tuyến ME MF ( E F hai tiếp điểm ) Kẻ dây EG đường tròn (I) song song MF Gọi H giao điểm MG với (I) K giao điểm EH với MF a) Chứng minh KF2 = KE KH b) Chứng minh K trung điểm MF Bài 9: Cho đường tròn (O) đường kính EF điểm G nằm nằm đường tròn (O) cho EG > GF Trên tia GF lấy điểm H cho GH =GE Vẽ hình vng EGHI có đường chéo GI cắt (O) K a) Chứng minh KFH cân b) Tiếp tuyến E với đường tròn (O) cắt FK M Chứng minh ba điểm M , I , H thẳng hàng Bài 10: Cho tứ giác ABCD có A, B, C , D nằm đường tròn (O) Các tia AB DC cắt E , F cắt K Chứng minh tia CB DA cắt F Hai phân giác góc E : EKF = 900 Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O điểm D di chuyển cung AC Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh : a) AFB ABD b) Tích AE BF khơng đổi Bài 12: Trên đường trịn (O) lấy ba điểm A,B C Gọi M,N P theo thứ tự điểm cung AB,BC AC BP cắt AN I , NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh : a) BNI cân b) AE.BN = EB.AN c) EI BC AN AB d) BN BD