Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài tập về góc có đỉnh nằm trong hoặc có đỉnh nằm ngoài đường tròn I Lý thuyết 1 Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn a) Khái niệm Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm[.]
Các tập góc có đỉnh nằm có đỉnh nằm ngồi đường trịn I Lý thuyết Góc có đỉnh nằm bên đường trịn a) Khái niệm - Góc có đỉnh nằm bên đường trịn góc có đỉnh giao điểm hai dây cung đường trịn giao điểm nằm bên đường trịn Xét hình vẽ ta thấy: I giao điểm AB CD, I nằm đường trịn (O) Khi góc AIC;CIB;BID;DIA cá góc có đỉnh nằm đường trịn b) Định lý - Số đo góc có đỉnh nằm bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Xét hình vẽ ta thấy: AID góc có đỉnh nằm bên đường tròn AID = (sđ BnC + sđ AmD ):2 Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn a) Khái niệm - Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn góc có đỉnh giao điểm hai dây cung (hoặc tiếp tuyến) giao điểm nằm bên ngồi đường trịn Ba trường hợp góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn Hình 1: Đỉnh giao điểm hai dây cung đường tròn Hình 2: Đỉnh giao điểm dây cung tiếp tuyến đường trịn Hình 3: Đỉnh giao điểm hai tiếp tuyến đường tròn b) Định lí: - Số đo góc đỉnh nằm bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Xét hình 2: Góc BID góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn BID = (sđ BD - sđ AC ):2 Xét hình 3: BIC góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn BIC = (sđ BC - sđ AC ):2 Xét hình 4: Góc AIC góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn AIC = (sđ AmC - sđ AnC ):2 II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai góc hai đoạn thẳng Phương pháp giải: - Sử dụng hai định lý số đo góc có đỉnh nằm bên đường trịn, góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn, hệ góc nội tiếp, góc tạo ta tiếp tuyến dây cung để chứng minh hai góc - Dùng hệ thức lượng tam giác vuông, định lý Py – ta – go để chứng minh hai đoạn thẳng Ví dụ 1: Từ điểm M nằm ngồi đường thẳng (O) vẽ tiếp tuyến MC với C tiếp điểm cát tuyến MAB (A nằm M B) A; B; C thuộc (O) Gọi D điểm cung AB khơng chứa C, CD cắt AB I Chứng minh: a) MCD = BID b) MI = MC Lời giải: a) Ta có: MCD góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung CD MCD = sđ CD (định lí) (1) BID góc có đỉnh nằm đường tròn chắn cung CA BD BID = (sđ CA + sđ BD ) (định lí) (2) Ta có: CD = CA + AD Mà AD = BD (do D điểm cung AB ) Do CD = CA + BD (3) Từ (1); (2); (3) MCD = BID (điều phải chứng minh) b) Ta có: CIM BID hai góc đối đỉnh CIM = BID (tính chất) Mà MCD = BID (chứng minh câu a) Do CIM = MCD Xét tam giác CMI có CIM = MCI CMI cân M (dấu hiệu nhận biết) MI = MC (tính chất) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Các tia AI; BI; CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F Dây EF cắt AB, AC M N Chứng minh: a) DI = BD b) AM = AN Lời giải: a) Vì I tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI phân giác A Mà AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D nên D điểm cung BC sđ BD = sđ CD (1) Vì I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC nên BI đường phân giác B Mà BI cắt đường tròn ngọa tiếp tam giác ABC E nên E điểm cung AC sđ AE = sđ EC (2) Ta có: BID góc có đỉnh nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BID = (sđ AE + sđ BD ) (3) IBD góc nội tiếp đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC chắn cung DE IBD = sđ DE Mà DE = EC + CD nên IBD = (sđ EC + sđ CD ) (4) Từ (1) (2) (3) (4) BID = IBD Xét tam giác IDB có: BID = IBD IDB cân D DI = DB (tính chất) b) Vì I tam đường trịn nội tiếp tam giác ABC nên CI phân giác C Mà CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC F nên F điểm cung AB sđ BF = sđ AF (5) Ta có: ANF góc có đỉnh nằm bên đường trịn ANF = (sđ AF + sđ EC ) (6) AME góc có đỉnh nằm bên đường trịn AME = (sđ AE + sđ FB ) (7) Từ (1); (5); (6); (7) ANF = AME Xét tam giác AMN có: ANM = AMN AMN cân A AM = AN (tính chất) Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song vng góc Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý số đo góc có đỉnh nằm đường trịn nằm ngồi đường trịn để có góc nhau, cạnh Từ ta suy điều cần chứng minh Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc A B cắt I cắt đường tròn theo thứ tự D E Chứng minh: a) Tam giác BDI tam giác cân; b) DE đường trung trực IC Lời giải: a) ) Vì AI phân giác A tam giác ABC AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D nên D điểm cung BC sđ BD = sđ CD = sđ BC (1) Vì BI phân giác B tam giác ABC BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E nên E điểm cung AC sđ AE = sđ CE = sđ AC (2) Ta có: BID góc có đỉnh nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BID = (sđ AE + sđ BD ) (3) IBD góc nội tiếp đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC chắn cung DE IBD = sđ DE Mà DE = EC + CD nên IBD = (sđ EC + sđ CD ) (4) Từ (1) (2) (3) (4) BID = IBD Xét tam giác IDB có: BID = IBD IDB cân D b) Gọi giao điểm DE IC K, CI cắt đường tròn điểm thứ hai H Vì CI phân giác C tam giác ABC CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H nên H điểm cung AB sđ AH = sđ BH = sđ AB (5) Ta có: EKC góc có đỉnh nằm đường trịn EKC = (sđ EC + sđ DH ) Mà DH = BD + BH EKC = (sđ EC + sđ BD + sđ BH ) Theo (1); (2); (5) EKC = (sđ AC + sđ BC + sđ AB ) EKC = 90 DE ⊥ IC Lại có: CED góc góc nội tiếp chắn cung CD BED góc nội tiếp chắn chung BD Mà BD = CD Do đó: CED = BED Xét tam giác CEK tam giác IEK có: CEK = IEK (do CED = BED ) EK chung EKC = EKI = 90 Do đó: CEK = IEK (c – g – c) IK = KC (hai cạnh tương ứng) Ta có: IK = KC DE đường trung trực IC DE ⊥ IC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC phân giác AD Vẽ đường tròn (O) qua A, D tiếp xúc với BC D Đường tròn cắt AB, AC E, F Chứng minh: EF // BC Lời giải: Ta có: BDE góc tạo tiếp tuyến dây cung BDE chắn cung DE Lại có: EAD góc nội tiếp chắn cung DE BDE = EAD (hệ quả) Xét tam giác BED tam giác BDA có: BDE = EAD (chứng minh trên) B chung Do đó: BED ∽ BDA (g – g) BED = DEA (hai góc tương ứng) Mà BED + DEA = 180 Do BED = DEA = 90 Lại có: Xét tam giác BED vng E ta có: EBD + EDB = 90 EBD = 90 − EDB (1) Lại có: DEF + FEA = 90 FEA = 90 − DEF (2) Lại có AD tia phân giác A ED = FD Mà EDB góc tạo vởi tia tiếp tuyến dây cung chắn cung ED Và DEF góc nội tiếp chắn cung FD Do DEF = EDB (3) Từ (1); (2); (3) EBD = FEA Mà hai góc vị trí đồng vị EF // BC III Bài tập vận dụng Bài 1: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn cát tuyến PBC với P, B, C thuộc (O) a) Biết PC = 25cm, PB = 49 cm Đường kính đường trịn (O) 50cm Tính PO b) Đường phân giác góc BAC cắt PB I cắt (O) D Chứng minh DB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB Bài 2: Cho đường trịn (O) điểm P nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ cát tuyến PAB tiếp tuyến PT với A, B, T thuộc (O) Đường phân giác góc ATB cắt AB D Chứng minh PT = PD Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B góc C cắt I cắt (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh: a) Các tam giác AMN, EAI DAI tam giác cân b) Tứ giác AMIN hình thoi Bài 4: Cho điểm P nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai cát tuyến PAB PCD (A nằm P B C nằm P D), đường thẳng AD BC cắt Q a) Cho biết P = 60 AQC = 80 Tính BCD b) Chứng minh PC.PD = PA.PB Bài 5: Từ điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Tia phân giác góc BAC cắt BC BD M N Vẽ dây BF vng góc với MN, cắt MN H, cắt CD E Chứng minh: a) Tam giác BMN cân b) FD2 = FE.FB Bài 6: Cho đường trịn (O) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đường kính AB lấy điểm E cho AE = 2R Vẽ dây CF qua E Tiếp tuyến đường tròn F cắt CD M, vẽ dây AF cắt CD N Chứng minh: a) Tia CF tia phân giác góc BCD ; b) MF // AC; c) MN; OD; OM có độ dài ba cạnh tam giác vuông Bài 7: Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O) Điểm D di chuyển cung MP Gọi E giao điểm MP ND, Gọi F giao điểm MG NP Chứng minh: MFN = MND Bài 8: Tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O), điểm I, K, H điểm cung MN, NP, PM Gọi J giao điểm IK MN, G giao điểm HK MP Chứng minh JG song song với NP Bài 9: Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MCB với A, B, C thuộc (O) Phân giác góc BAC cắt BC D, cắt (O) N Chứng minh: a) MA = MD; b) Cho cát tuyến MBC quay quanh M ln cắt đường trịn Chứng minh MB.MC khơng đổi; c) NB2 = NA.ND Bài 10: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C Gọi M, N, P theo thứ tự điểm cung AB; BC; AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh: a) Tam giác BNI cân; b) AE.BN = EB.AN; c) EI // BC; d) AN AB = BN BD ... Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn a) Khái niệm - Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn góc có đỉnh giao điểm hai dây cung (hoặc tiếp tuyến) giao điểm nằm bên đường trịn Ba trường hợp góc có đỉnh. .. góc đỉnh nằm bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Xét hình 2: Góc BID góc có đỉnh nằm bên ngồi đường tròn BID = (sđ BD - sđ AC ):2 Xét hình 3: BIC góc có đỉnh nằm ngồi đường tròn. .. (5) Ta có: ANF góc có đỉnh nằm bên đường tròn ANF = (sđ AF + sđ EC ) (6) AME góc có đỉnh nằm bên đường tròn AME = (sđ AE + sđ FB ) (7) Từ (1); (5); (6); (7) ANF = AME Xét tam giác AMN có: