Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Chủ đề 6: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù Hai đường thẳng cắt tạo thành góc 90 độ Tổng hai góc phụ 90 độ Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng thứ ba Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Định nghĩa ba đường cao tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng Định lý Pitago đảo Tính chất đường kính đường trịn qua trung điểm dây cung Tính chất tiếp tuyến đường tròn 10 Tiếp tuyến chung đường nối tâm hai đường tròn, dây cung chung đường nối tâm hai đường tròn 11 Sử dụng hai góc kề bù 12 Sử dụng chứng minh tam giác tam giác vng 13 Sử dụng tính chất tam giác cân 14 Sử dụng tính chất giao điểm ba đường cao tam giác 15 Sử dụng phép quay góc vng góc quay vng 16 Chứng ming phản chứng II CÁC VÍ DỤ MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT Câu 1: Cho tam giác ABC nhọn, dựng đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB E Chứng minh A CE AB Hướng dẫn giải E Vì BEC góc nội tiếp chắn đường kính BC nên BEC 90 O B Do CE AB Câu 2: Cho nửa đường tròn O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến trung điểm AM Chứng minh IO AB By Lấy điểm M thuộc By Gọi I y M Hướng dẫn giải I Dễ thấy IO đường trung bình tam giác AMB ( đoạn nối trung điểm hai cạnh bên) nên MB tiếp tuyến Câu 3: IO // MB Lại có MB AB O , từ IO AB C A O B Cho đường tròn tâm O đường kính AB, lấy CO AB C O Hướng dẫn giải cho CA CB Chứng minh Tài liệu ôn thi vào năm 2017 C O A B Dễ thấy O trung điểm AB nên CO đường trung tuyến tam giác ABC Lại có CA CB nên tam giác ABC cân C, đường trung tuyến CO đường cao, hay CO AB MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC, đường trịn đường kính AB cắt AC, BC E, F Gọi H giao điểm AF BE Chứng minh CH AB Hướng dẫn giải C E F H O A B 0 Vì AEB, AEB góc nội tiếp chắn đường kính AB nên AEB 90 , AEB 90 Suy H giao điểm đường cao AF BE nên trực tâm tam giác ABC, CH đường cao lại CH AB Câu 5: Cho đường trịn O đường kính AB MN Tiếp tuyến B cắt AN P, gọi E trung điểm BP Chứng minh OE AM Hướng dẫn giải N P E A O B M Dễ thấy OE đường trung bình tam giác ABP ( đoạn nối trung điểm hai cạnh bên) nên OE // AP Vì MAN góc nội tiếp chắn đường kính MN nên Từ OE AM MAN 900 hay AP AM Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Câu 6: Cho tam giác ABC nội tiếp OD BC O , đường phân giác BAC cắt O D Chứng minh Hướng dẫn giải A O C B D Vì BAD = DAC nên DB DC , suy DB = DC Lại có OB = OC nên OD đường trung trực đoạn BC hay OD BC MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG THẤP Câu 7: AB < BC , nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD đường Cho tam giác ABC nhọn kính AA’, gọi E chân đường vng góc kẻ từ B lên AA’ a) Chứng minh tứ giác ADBE nội tiếp b) Chứng minh DE AC Hướng dẫn giải 90 a) Vì đỉnh E D nhìn cạnh AB góc A nên tứ giác ADBE nội tiếp E b) Do tứ giác ADBE nội tiếp nên EDC = BAE ( bù với góc BDE ), mà DCA' = BAE ( chắn cung A’B) nên B O D C A’ EDC = DCA' Do DE song song A’C (cặp góc so le nhau) o Lại có A'CA góc nội tiếp chắn đường kính nên A'CA 90 hay A'C AC Từ DE AC Câu 8: Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn O đường kính BC cắt AB, AC M N Gọi H giao điểm BN CM, K trung điểm AH Chứng minh KN ON Hướng dẫn giải A K M B N H O C Tài liệu ôn thi vào năm 2017 0 Vì CMB, BNC góc nội tiếp chắn đường kính BC nên CMB 90 , BNC 90 Suy H giao điểm đường cao CM BN nên trực tâm ABC, AH đường cao cịn lại hay AH BC Vì NK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH AHN vuông N nên KN = KH hay KHN cân K, KNH = KHN , lại có KHN = NCB ( phụ với HAN ) nên KNH = NCB (1) Hơn HNO = HBO ( BON cân O) (2).Từ (1), (2) ta có KNO = KNH HNO = NCB HBO = 90o Vậy KN ON Câu 9: O đường kính AB, bán kính CO AB , M thuộc cung nhỏ AC (M khác A C) Trên đoạn BM lấy điểm E cho BE AM Chứng minh MC CE Cho đường tròn Hướng dẫn giải Vì CO AB nên C điểm cung AB CA = CB Từ xét M C E AMC BEC có AM = BE (gt), MAC = EBC ( chắn MC )A B O CA = CB (cmt) nên AMC = BEC (c-g-c) Suy MCA = ECB Khi MCE = MCA + ACE = ECB + ACE = ACB = 90o ( góc nội tiếp chắn đường kính AB), MC CE MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO AB < AC < BC nội tiếp đường trịn O , có hai đường cao BD Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn CE Chứng minh OA ED A Hướng dẫn giải I D E Kẻ thêm đường kính AN gọi I giao điểm OA ED Vì đỉnh E O 900 C B D nhìn cạnh BC góc nên tứ giác BEDC nội tiếp, từ AED = DCB bù với góc BED Lại có nên N EAI = BCN , AED + EAI = DCB + BCN = ACN = 90 o AIE = 90o hay OA ED O , E khác A B đường kính AB E điểm nằm Đường phân giác AEB cắt đoạn AB F Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE Chứng minh IF AB Câu 11: Cho đường tròn O Hướng dẫn giải E I A F O B Tài liệu ôn thi vào năm 2017 K Giả sử EF cắt đường tròn O điểm thứ hai K Vì AEK = BEK nên KA KB , suy KA = KB Lại có OA = OB nên OK đường trung trực đoạn AB hay OK AB Vì I thuộc đường trung trực đoạn EF nên IE = IF tức IEF cân I Do IFE = IEF , lại có OKE = IEF ( OEK cân O) nên IFE = OKE cặp góc đồng vị Suy IF // OK, từ IF AB Câu 12: Cho đường tròn O , BC dây khơng qua tâm Kẻ tiếp tuyến với đường tròn O B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh PQ MI A Hướng dẫn giải Vì tứ giác BKMI, CHMI có tổng hai góc đối 180 nên H K 1 sd KM I1 = B1 đường trịn Ta có tứ giác nội tiếp 1 sd BM B1 = C1 nên I1 = C1 ngoại tiếp BKMI, mà Chứng minh tương tự ta có M 1 B P12 Q I O I = B2 Từ PMQ + PIQ = PMQ + I1 + I PMQ + C1 + B2 180o nên tứ giác PMQI nội tiếp Suy Q1 = I1 mà I1 = C1 nên Q1 = C1 , PQ // BC ( cặp góc đồng vị nhau) Theo giả thuyết BC MI nên PQ MI C