Cd 6 chung minh hai duong thang vuong goc

Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Chủ đề 6: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù Hai đường thẳng cắt tạo thành góc 90 độ Tổng hai góc phụ 90 độ Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng thứ ba Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Định nghĩa ba đường cao tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng Định lý Pitago đảo Tính chất đường kính đường trịn qua trung điểm dây cung Tính chất tiếp tuyến đường tròn 10 Tiếp tuyến chung đường nối tâm hai đường tròn, dây cung chung đường nối tâm hai đường tròn 11 Sử dụng hai góc kề bù 12 Sử dụng chứng minh tam giác tam giác vng 13 Sử dụng tính chất tam giác cân 14 Sử dụng tính chất giao điểm ba đường cao tam giác 15 Sử dụng phép quay góc vng góc quay vng 16 Chứng ming phản chứng II CÁC VÍ DỤ MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT Câu 1: Cho tam giác ABC nhọn, dựng đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB E Chứng minh A CE  AB Hướng dẫn giải E Vì  BEC góc nội tiếp chắn đường kính BC nên  BEC 90 O B Do CE  AB Câu 2: Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB, kẻ tiếp tuyến trung điểm AM Chứng minh IO  AB By Lấy điểm M thuộc By Gọi I y M Hướng dẫn giải I Dễ thấy IO đường trung bình tam giác AMB ( đoạn nối trung điểm hai cạnh bên) nên MB tiếp tuyến Câu 3: IO // MB Lại có MB  AB  O  , từ IO  AB C A O B Cho đường tròn tâm O đường kính AB, lấy CO  AB C   O Hướng dẫn giải cho CA CB Chứng minh Tài liệu ôn thi vào năm 2017 C O A B Dễ thấy O trung điểm AB nên CO đường trung tuyến tam giác ABC Lại có CA CB nên tam giác ABC cân C, đường trung tuyến CO đường cao, hay CO  AB MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC, đường trịn đường kính AB cắt AC, BC E, F Gọi H giao điểm AF BE Chứng minh CH  AB Hướng dẫn giải C E F H O A B 0 Vì  AEB,  AEB góc nội tiếp chắn đường kính AB nên  AEB 90 ,  AEB 90 Suy H giao điểm đường cao AF BE nên trực tâm tam giác ABC, CH đường cao lại CH  AB Câu 5: Cho đường trịn  O  đường kính AB MN Tiếp tuyến B cắt AN P, gọi E trung điểm BP Chứng minh OE  AM Hướng dẫn giải N P E A O B M Dễ thấy OE đường trung bình tam giác ABP ( đoạn nối trung điểm hai cạnh bên) nên OE // AP Vì  MAN góc nội tiếp chắn đường kính MN nên Từ OE  AM  MAN 900 hay AP  AM Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Câu 6: Cho tam giác ABC nội tiếp OD  BC  O  , đường phân giác  BAC cắt  O  D Chứng minh Hướng dẫn giải A O C B D   Vì  BAD =  DAC nên DB DC , suy DB = DC Lại có OB = OC nên OD đường trung trực đoạn BC hay OD  BC MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG THẤP Câu 7:  AB < BC  , nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD đường Cho tam giác ABC nhọn kính AA’, gọi E chân đường vng góc kẻ từ B lên AA’ a) Chứng minh tứ giác ADBE nội tiếp b) Chứng minh DE  AC Hướng dẫn giải  90  a) Vì đỉnh E D nhìn cạnh AB góc A nên tứ giác ADBE nội tiếp E b) Do tứ giác ADBE nội tiếp nên  EDC =  BAE ( bù với góc  BDE ), mà  DCA' =  BAE ( chắn cung A’B) nên B O D C A’  EDC =  DCA' Do DE song song A’C (cặp góc so le nhau) o Lại có A'CA góc nội tiếp chắn đường kính nên A'CA 90 hay A'C  AC Từ DE  AC Câu 8: Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn  O đường kính BC cắt AB, AC M N Gọi H giao điểm BN CM, K trung điểm AH Chứng minh KN  ON Hướng dẫn giải A K M B N H O C Tài liệu ôn thi vào năm 2017 0 Vì  CMB,  BNC góc nội tiếp chắn đường kính BC nên  CMB 90 ,  BNC 90 Suy H giao điểm đường cao CM BN nên trực tâm  ABC, AH đường cao cịn lại hay AH  BC Vì NK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH  AHN vuông N nên KN = KH hay  KHN cân K,  KNH =  KHN , lại có  KHN =  NCB ( phụ với  HAN ) nên  KNH =  NCB (1) Hơn  HNO =  HBO ( BON cân O) (2).Từ (1), (2) ta có  KNO =  KNH   HNO =  NCB   HBO = 90o Vậy KN  ON Câu 9:  O đường kính AB, bán kính CO  AB , M thuộc cung nhỏ AC (M khác A C) Trên đoạn BM lấy điểm E cho BE AM Chứng minh MC  CE Cho đường tròn Hướng dẫn giải Vì CO  AB nên C điểm cung AB CA = CB Từ xét M C E  AMC BEC có AM = BE (gt),  MAC =  EBC ( chắn MC )A B O CA = CB (cmt) nên AMC = BEC (c-g-c) Suy  MCA =  ECB Khi  MCE =  MCA +  ACE =  ECB +  ACE =  ACB = 90o ( góc nội tiếp chắn đường kính AB), MC  CE MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO  AB < AC < BC  nội tiếp đường trịn  O  , có hai đường cao BD Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn CE Chứng minh OA  ED A Hướng dẫn giải I D E Kẻ thêm đường kính AN gọi I giao điểm OA ED Vì đỉnh E O 900  C  B D nhìn cạnh BC góc nên tứ giác BEDC nội tiếp, từ  AED =  DCB bù với góc  BED Lại có nên N  EAI =  BCN ,  AED +  EAI =  DCB + BCN =  ACN = 90 o  AIE = 90o hay OA  ED  O  , E khác A B đường kính AB E điểm nằm Đường phân giác  AEB cắt đoạn AB F Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE Chứng minh IF  AB Câu 11: Cho đường tròn  O Hướng dẫn giải E I A F O B Tài liệu ôn thi vào năm 2017 K Giả sử EF cắt đường tròn  O điểm thứ hai K   Vì  AEK =  BEK nên KA KB , suy KA = KB Lại có OA = OB nên OK đường trung trực đoạn AB hay OK  AB Vì I thuộc đường trung trực đoạn EF nên IE = IF tức IEF cân I Do  IFE =  IEF , lại có  OKE =  IEF ( OEK cân O) nên  IFE =  OKE cặp góc đồng vị Suy IF // OK, từ IF  AB Câu 12: Cho đường tròn  O  , BC dây khơng qua tâm Kẻ tiếp tuyến với đường tròn  O B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh PQ  MI A Hướng dẫn giải Vì tứ giác BKMI, CHMI có tổng hai góc đối 180 nên H K 1   sd KM   I1 =  B1   đường trịn Ta có tứ giác nội tiếp 1   sd BM   B1 =  C1   nên  I1 =  C1 ngoại tiếp BKMI, mà Chứng minh tương tự ta có M 1 B P12 Q I O  I =  B2 Từ  PMQ + PIQ =  PMQ +  I1 +  I  PMQ +  C1 +  B2 180o nên tứ giác PMQI nội tiếp Suy  Q1 =  I1 mà  I1 =  C1 nên  Q1 =  C1 , PQ // BC ( cặp góc đồng vị nhau) Theo giả thuyết BC  MI nên PQ  MI C