Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và các bài toán liên quan

A. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường. Đáy là đa giác đều. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằ[r]

Trang |

CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC, ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG VÀ

CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

Phương pháp:

* Chứng minh hai mặt phẳng vng góc

Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)

 Chứng minh ( ),( )P Q 900

* Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:

 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P)

 Sử dụng cách chứng minh biết phần trước

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có ABBCD Trong BCD vẽ đường cao BE DF cắt O

Trong ADC vẽ DKAC K Khẳng định sau sai ?

A ADC  ABE B ADC  DFK C ADC  ABC D BDC  ABE Hướng dẫn giải:

* Ta có  

     

CD BE

CD ABE

ADC ABE

CD AB

CD ADC  

 

  

  

 

Trang | *                                   DF BC DF ABC

DF AB DF AC

AC DFK SC ABC ADC DFK DK AC AC ADC

Vậy “ADC  DFK”: ĐÚNG

* Ta có  

      CD BE CD ABE BDC ABE CD AB CD BDC             

Vậy “BDC  ABE”: ĐÚNG * “ADC  ABC”: SAI Chọn C

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC ABD vng góc với DBC Gọi BE

và DF hai đường cao tam giác BCD, DK đường cao tam giác ACD Chọn khẳng định sai khẳng định sau?

A (ABE)(ADC) B (ABD)(ADC)

C (ABC)(DFK) D (DFK)(ADC) Hướng dẫn giải:

Ta có:               ABC BCD

ABD BCD AB BCD

ABC ABD AB

          

Mặt khác: CD BE CD ABE CD AB

 

 

 

 nên câu A

đúng

   

     

ABC BCD

ABC BCD BC DF ABC

DF BC           

nên câu C

đúng

Theo ta có DF ABC nên DF AC

Vậy ta có AC DF AC DKF ACD DKF AC DK

 

   

 

 Do câu D

Trang |

Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Khẳng định sau không đúng?

A Tồn điểm O cách tám đỉnh hình hộp

B Hình hộp có mặt hình chữ nhật

C Hai mặt ACC A  BDD B  vng góc

D Hình hộp có đường chéo đồng qui trung điểm đường Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 4: Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SBC SAC vng góc với đáy ABC Khẳng định

nào sau sai?

A Đáy đa giác

B Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy

C Các cạnh bên đường cao

D Các mặt bên hình bình hành Hướng dẫn giải:

Ta có:

   

   

   

 

SBC ABC

SAC ABC SC ABC

SC SBC SAC

 



  



  



Do câu A B

C Sai vì A'SB hai mặt phẳng SAB SBCphải vng góc với theo giao tuyến SB

D Ta có:  

     

SC ABC

SAC ABC

SC SAC

 

  

 

 theo

giao tuyến AC

Trang |

Câu 5: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ Hình chiếu vng góc A’ lên ABC trùng với trực tâm

H tam giác ABC Khẳng định sau không đúng?

A BB C C’ ’ hình chữ nhật B AA H’   A B C’ ’ ’

C BB C C’ ’   AA H’  D AA B B’ ’   BB C C’ ’  Hướng dẫn giải:

Ta có BCA AH’  nênBCBB’,nếu AA B B’ ’   BB C C’ ’  BCAB vơ lý H trùngA Chọn D

Câu 6: Cho hình chóp S ABC có SAABC đáy ABC tam giác cân A. Gọi H hình chiếu

vng góc A lên SBC Khẳng định sau đúng?

A HSB B H trùng với trọng tâm tam giác SBC

C HSC D HSI (I trung điểm BC) Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi I trung điểm BCAI BC mà BCSA BCSAI Khi H hình chiếu vng góc A lên SBC Suy HSI

Câu 7: Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SBC SAC vng góc với đáy ABC Khẳng định

Trang |

A SCABC

B Nếu A hình chiếu vng góc A lên SBC ASB

C SAC  ABC

D BK đường cao tam giác ABC BKSAC Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:

   

   

     

SAC SBC SC

SAC ABC SC ABC

SBC ABC

 



   



 



Gọi A hình chiếu vng góc A lên SBC, AASBCAABC A BC Suy đáp án B sai

Câu 8: Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SAB SAC vng góc với đáy ABC, tam giác

ABC vng cân A có đường cao AH, (HBC) Gọi O hình chiếu vng góc A lên SBC Khẳng định sau đúng?

A SCABC B SAH  SBC

C OSC D Góc SBC ABC góc SBA. Hướng dẫn giải:

Trang | Ta có:

   

   

     

SAB SAC SA

SAC ABC SA ABC

SAB ABC

 



   



 



Gọi H trung điểm BCAH BC mà BCSA BCSAH  SBC  SAH Khi O hình chiếu vng góc

của A lên SBC

Thì suy OSI SBC , ABCSHA Vậy đáp án B

Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng cân A.H trung điểm

BC. Khẳng định sau sai ?

A Các mặt bên ABC A B C    hình chữ nhật

B AA H  mặt phẳng trung trực BC

C Nếu O hình chiếu vng góc A lên A BC  OA H

D Hai mặt phẳng AA B B   AA C C   vng góc Hướng dẫn giải:

Trang | Vì ABC tam giác vuông cân A AB ACBC

nên mặt bên lăng trụ không Vậy đáp án A sai

Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Khẳng định sau không đúng?

A Hình hộp có mặt hình chữ nhật

B Hai mặt ACC A  BDD B  vng góc

C Tồn điểm O cách tám đỉnh hình hộp

D Hình hộp có đường chéo đồng qui trung điểm đường Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: ABCD hình chữ nhật nên AC khơng vng góc với BD Suy hai mặt ACC A  BDD B  khơng vng góc với Vậy đáp án B sai

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Mặt phẳng A BD1  khơng vng góc với mặt phẳng

dưới đây?

Trang | Hướng dẫn giải:

* Gọi I  AB1A B1

Tam giác A BD1 có DI đường trung tuyến nên

DI  A B

 1 

DA AA B B DAA B

 

1

1

1

A B DI

A B AB D A B AD

 

 



  nên A

* Ta có  1    1

1 BD AC

BD ACC A A BD ACC A BD AA

 

   



  nên B

* Gọi J  AD1A D1

Tam giác A BD1 có BJ đường trung tuyến nên BJ  A D1

 1 

BA AA D D BA A D

 

1

1

1

A D BJ

A B ABD A D BA

 

 



  nên C Chọn D

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằnga. Khẳng định sau sai?

A Tam giác AB C tam giác

B Nếu  góc AC ABCD cos  

C ACC A  hình chữ nhật có diện tích 2a

D Hai mặt AA C C   BB D D   hai mặt phẳng vng góc với Hướng dẫn giải:

Chọn C

Trang | Từ giả thiết dễ dàng tính AC a

Mặt khác ABCD A B C D     hình lập phương nên suy AA C   90

Xét tứ giác ACC A  có

/ /

90 AA CC AA CC a AA C

  



  

     

 ACC A  hình chữ nhật có cạnh a a

Diện tích hình chữ nhật ACC A  : S a a 2a2 (đvdt)  đáp án C sai.

+ Cách 2: Chứng minh đáp án A, B, D suy đáp án C sai

Câu 13: Cho hình chóp S ABC có đường caoSH Xét mệnh đề sau:

I) SASBSC

II) Htrùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC III) Tam giác ABC tam giác

IV) H trực tâm tam giác ABC

Các yếu tố chưa đủ để kết luận S ABC hình chóp đều?

A  I  II B  II  III C  III  IV D  IV  I Hướng dẫn giải:

Chọn A

Câu 14: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Khẳng định sau sai?

A Hai mặt ACC A  BDD B  vuông góc

B Bốn đường chéoAC, A C , BD, B D a

C Hai mặt ACC A  BDD B  hai hình vng

Trang | 10 Vì theo giả thiết ABCD A B C D     ta dễ dàng được:

+ AC BD AC BB

 

  

 BD cắt BB nằm BB D D   ACBB D D   Mà BDBB D D   AC BD

   đáp án D đúng

+  

     

AC ACC A

ACC A BB D D

AC BB D D

  

      

  



  đáp án A đúng

+ Áp dụng đình lý Pytago tam giác B A D   vuông A ta có:

2 2 2

2 B D  B A  A D  a a  a

Áp dụng định lý Pytago tam giác BB D  vuông B ta có:

2 2 2

2

BD BB B D  a  a  a BDa Hoàn toàn tương tự ta tính độ dài đường chéo cịn lại hình lập phương a  đáp án B đúng

+ Xét tứ giác ACC A  có

/ /

3

90

AC A C

AC A C a

ACC A

AA CC a

ACC

  

  

 

   

   

   



hình chữ nhật hồn tồn tương tự ta

ra BDD B  hình chữ nhật có cạnh a a

 Hai mặt ACC A  BDD B  hai hình vng  đáp án C sai

Câu 15: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     Hình chiếu vng góc A lên ABCtrùng với trực tâm

H tam giác ABC. Khẳng định sau không đúng?

A AA B B    BB C C   B AA H   A B C  

C BB C C  hình chữ nhật D BB C C    AA H  Hướng dẫn giải:

Chọn A

Trang | 11

 

, ,

H AK BC AK BC A H BC AA H

     

   

   

AA H A B C

BB C C AA H

BC BB

    



   

 

  



nên đáp án B,C,D

Câu 16: Hình hộp ABCD A B C D     trở thành hình lăng trụ tứ giác phải thêm điều kiện

sau đây?

A Tất cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy

B Cạnh bên cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy

C Có mặt bên vng góc với mặt đáy đáy hình vng

D Các mặt bên hình chữ nhật mặt đáy hình vng Hướng dẫn giải:

Chọn D

Theo lí thuyết lăng trụ tứ giác lăng trụ đứng có đáy hình vng

Câu 17: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D     có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng

ABCDvà ABC có số đo bằng60 Cạnh bên hình lăng trụ bằng:

A 3a B a C 2a D a

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có: ABCD  ABC AB

Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được: ABBB C C   mà

 

C B  BB C C  ABC B Mặt khác: CB AB

   

 ABCD , ABC  CB C B,   CBC 60

    

Áp dụng hệ thức lượng tam giác BCC vuông C ta có: tanCBC CC CC CB.tanCBC a.tan 60 a

CB



     

Câu 18: Cho hai mặt phẳng vng góc  P  Q có giao tuyến  Lấy A, B thuộc  lấy C

trên (P), D (Q) cho ACAB, BDAB ABACBD Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng   qua A vuông góc với CD hình gì?

Trang | 12 Gọi I trung điểm BC Vì tam giác ABC vng cân

tại A nên AI BC

Ta có

         

 

P Q

P Q d BD P BD AI

Q BD d

 



     



  

 

AI BC

AI BCD AI CD

AI BD

 

   



 

Trong ACD, dựng đường thẳng qua A vng góc với CD cắt CD H Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng   tam giác AHI

Vì AI BCDAI HI nên tam giác AHI tam giác vuông I Chọn D

Câu 19: Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với

;

AC ADBCBDa CD x với giá trị x hai mặt phẳng ABC ABD vng góc

A

3 a

B

2 a

C

2 a

D

3 a

Hướng dẫn giải:

YCBT  CJD vuông cân J

2

2 2

4 2( )

2

AB a a a

IJ IC ID x AI  x x

         

Trang | 13 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia