Cd 8 chung minh 3 duong thang dong quy

Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Chủ đề 8: CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Cách Lợi dụng định lí đường đồng quy tam giác  Sử dụng định lí ba đường cao tam giác đồng quy điểm  Sử dụng định lí ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm Điểm gọi trọng tâm tam giác  Sử dụng định lí: 1.Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm  Giao điểm hai đường phân giác nằm đường phân giác góc thứ ba  Sử dụng định lí ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm Cách Sử dụng tính chất đường chéo cắt tai trung điểm đường của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Cách Lùi quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng giao điểm hai đường nằm đường thẳng thứ ba CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Câu Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE , CF Chứng minh AD , BE , CF đồng quy Giải: Áp dụng tính chất: Trong tam giác, ba đường trung tuyến qua điểm Trong tam giác ABC có AD, BE , CF ba đường trung tuyến nên AD , BE , CF cùn qua điểm Vậy AD , BE , CF đồng quy Câu Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE , CF Chứng minh AD , BE , CF đồng quy Giải: Áp dụng tính chất: Trong tam giác, ba đường cao qua điểm Trong tam giác ABC có ba đường cao AD, BE , CF nên AD , BE , CF qua điểm Vậy AD , BE , CF đồng quy Câu Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE , CF Chứng minh AD , BE , CF đồng quy Giải: Áp dụng tính chất: Trong tam giác, ba đường phân giác qua điểm Trong tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE , CF nên AD, BE , CF qua điểm Vậy AD , BE , CF đồng quy Mức độ 2: TH Câu Cho tam giác ABC cân A , kẻ đường cao AH  H  BC  Gọi M , N trung điểm AC , AB Chứng minh AH , BM , CN đồng quy Giải: Trang 01 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Vì ABC cân A có đường cao AH nên AH đường trung tuyến ABC M , N trung điểm AC , AB nên BM , CN đường trung tuyến ABC Vậy ba đường trung tuyến AH , BM , CN đồng quy Câu Cho tam giác ABC cân A , kẻ đường cao BH , CK  H  AC , K  AB  Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM , BH , CK đồng quy Giải: Vì ABC cân A có đường trung tuyến AM nên AM đường cao ABC Vì tam giác có ba đường cao qua điểm, ba đường cao AM , BH , CK đồng quy  H  BC  Gọi BD, CE đường  D  AC , E  AB  Chứng minh AH , BD, CE đồng quy Câu Cho tam giác ABC cân A , kẻ đường cao AH phân giác góc B góc C Giải: Vì ABC cân A có đường cao AH nên AH đường phân giác ABC Vì tam giác có ba đường phân giác qua điểm, ba đường phân giác AH , BD, CE đồng quy Mức độ 3: VDT Câu Cho hình bình hành ABCD Gọi E , F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE N giao điểm BF CE Chứng minh rằng: a) EMFN hình bình hành b) Các đường thẳng AC , EF , MN đồng quy Giải: a) Tứ giác AECF có AE€ CF , AE CF nên tứ giác AECF hình bình hành Suy AF€ CE Chứng minh tương tự, BF€ DE Tứ giác EMFN có EM€ FN , EN€ FM nên hình bình hành b) Gọi O giao điểm AC EF Ta chứng minh MN qua O AECF hình bình hành, O trung điểm AC nên O trung điểm EF EMFN hình bình hành nên đường chéo MN qua trung điểm O EF Vậy AC , EF , MN đồng quy O Câu Trên hình vẽ bên, cho ABCD hình bình hành Chứng minh rằng: a) EFGH hình bình hành b) Các đường thẳng AC , BD, EF , GH đồng quy Giải: a) Chứng minh EG HF ; EH GF Trang 02 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 b) Gọi O giao điểm AC EF Tứ giác AECF có AE CF , AE€ CF nên hình bình hành Suy O trung điểm AC , EF ABCD hình bình hành, O trung điểm AC nên O trung điểm BD EGHF hình bình hành, O trung điểm EF nên O trung điểm GH Vậy AC , BD, EF , GH đồng quy O Câu Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm E cạnh AB , lấy điểm F cạnh CD cho AE CF Chứng minh ba đường thẳng AC , BD, EF đồng quy Giải: Gọi O giao điểm AC BD Hãy chứng minh AECF hình bình hành để suy ba điểm E , O, F thẳng hàng Câu Cho hình bình hành ABCD có E , F theo thứ tự trung điểm AB, CD a) Tứ giác DEBF hình gì? b) Chứng minh đường thẳng AC , BD, EF cắt điểm Giải: a) Tứ giác DEBF hình bình hành Học sinh tự chứng minh b) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD , ta có O trung điểm BD Theo câu a), DEBF hình bình hành nên trung điểm O BD trung điểm EF Vậy AC , BD, CF cắt điểm O Mức độ 4: VDC Bài Cho ABC với đường cao AH Vẽ phía ngồi ABC tam giác, ACE vng cân C ABD vuông cân B Trên tia đối tia AH lấy điểm K cho AK BC Chứng minh 1) BE  CK 2) Ba đường thẳng AH , BE , CD đồng quy điểm Giải: K D E A 1 H C B   A  BCE   Ta có: C KAC 1 Xét BCE KAC có: Trang 03 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 BC KA  gt  CE  AC ( ACE vuông cân C )   (cmt) BCE KAC  BCE KAC  c.g c     BEC KCA     Mặt khác: KCA  ECK 90  BEC  ECK 90 Vậy BE  KC b) Chứng minh tương tự: DC  KB tam giác KBC có ba đường cao KH  BC , BE  KC , CD  KB Vậy ba đường thẳng AH , BE , CD đồng quy điểm Bài Từ điểm C ngồi đường trịn  O  kẻ tuyến CBA Gọi IJ đường kính vng góc với AB Các đường thẳng CI , CJ theo thứ tự cắt đường tròn  O  M , N Chứng minh IN , JM , AB đồng quy điểm D I M A B C D O N J  M thuộc đường trịn đường kính IJ nên JMI 90 hay JM  CI Tương tự IN  CJ Tam giác CIJ có đường cao CA, JM , IN đồng quy D Vậy IN , JM , AB đồng quy điểm D Bài Cho hình thang ABCD  AB  CD  Gọi E giao điểm hai cạnh bên AD BC , F trung điểm AB Chứng minh AC , BD, EF đồng quy Cho tam giác ABC , dựng tam giác MAB, NBC , PAC thuộc miền tam giác ABC Chứng minh MC , NA, PB đồng quy Giải: Trang 04 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 P M A 1 K 3 B 2 C N  P  Dễ thấy AMC ABP  c.g c   C 1  P   P  P  180 mà C Trong APC , có: A1  C 2 1    P  K  180  K  60  C  K  P  180  60  C Trong PCK , có: C 2 2 2  C  mà N  N  60 Tương tự: ABN MBC  N  60  C  60 mà C  N  C  C  K  180  K  60  NKC có N 3  60 Chứng minh tương tự: K  K  K  60  K  K  K  180 Theo chứng minh ta có: K 3  A, K , N thẳng hàng Vậy AN , MC , BP đồng quy BÀI TẬP TỰ LUYỆN Mức độ 1: NB Câu Cho tam giác MNP có ba đường trung tuyến MD, NE , PF Chứng minh MD , NE , PF đồng quy Câu Cho tam giác MNP có ba đường cao MD, NE , PF Chứng minh MD , NE , PF đồng quy Câu Cho tam giác MNP có ba đường phân giác MD, NE , PF Chứng minh MD , NE , PF đồng quy Mức độ 2: TH Bài Cho ABC cân B Tia phân giác góc B cắt đường trung tuyến AC K Gọi I , J trung điểm AB, BC Chứng minh BK , AJ , CI đồng quy Trang 05 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Bài Cho hai đường thẳng a, b cắt O , đường thẳng a , lấy ba điểm A, B, C cho OA  AB BC , đường ta lấy ba điểm L, M , N cho LO OM MN Chứng minh AL, BN , CM đồng quy điểm Bài Cho ABC với đường cao AH Vẽ điểm D, E cho AB, AC thứ tự đường trung trực đoạn HD, HE Gọi M , N giao điểm DE vớ AB, AC Chứng minh rằng, ba đường thẳng AH , BN , CM đồng quy điểm Bài Cho ABC với điểm M nằm tam giác Gọi H , K , L theo thứ tự hình chiếu vng góc M BC , CA, AB Các đường thẳng h, l , k qua A, B, C vng góc với KL, LH , HK Chứng minh rằng, ba đường thẳng h, l , k đồng quy điểm Mức độ 3: VDT Bài Cho ABC ( AB  AC ) phân giác AD Vẽ tia Cx / / AD cắt đường trung trực cạnh AC E , By / / AD cắt đường trung trực cạnh AB F Chứng minh rằng: 1) ABF ACE ; Bài 2) AD, BE , CF đồng quy điểm G Cho ABC nhọn không cân A với đường cao AH Vẽ HM  AB, HN  AC Kẻ HE / / AC , HF / / AB Chứng minh EF , MN , BC đồng quy điểm Mức độ 4: VDC Bài Ở bên ABC , vẽ tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm.(Tứ giác nội tiếp) Bài Cho ABC với trung tuyến AM Trên cạnh AC , AB thứ tự lấy điểm D, E cho AB 3 AE , AC 3 AD Chứng minh rằng, AM , BD, CE đồng quy điểm Bài Cho tứ giác ABCD , người ta kẻ hai đường thẳng song song với đường chéo AC cắt cạnh BA, BC G, H Cắt cạnh DA, DC thứ tự E , F Chứng minh GE , HF , BD đồng quy điểm Bài Cho ABC với trực tâm H A1 , B1 , C1 theo thứ tự giao điểm đường trung trực tam giác HBC , HCA, HAB Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm Bài Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) có H trực tâm Gọi A', B', C' điểm đối xứng H qua BC, CA, AB Qua H, vẽ đường thẳng d Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng d qua cạnh ABC đồng quy điểm (O) Trang 06