Cd 7 chung minh 3 diem thang hang

Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Chủ đề 7: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh đường thẳng đồng quy - Áp dụng tính chất đường đồng quy tam giác - Chứng minh đường thẳng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm chứng minh đường thẳng cịn lại qua điểm - Dùng định lý đảo định lý Talet Câu 1: CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Cho tam giác ABC có góc B C nhọn, đường cao AH Dựng phía ngồi tam giác  D CA  E 90o ) Gọi M trung điểm DE ABC tam giác vuông cân ABD , ACE ( BA Chứng minh H , A , M thẳng hàng Giải F Dựng hình bình hành AEFD E  M trung điểm AF (t/c hình bình hành) EF DA BA M   Mặt khác EA CA (gt); AEF CAB (Cùng bù với DAE )  EFA ABC (c – g – c) A C  ( Hai góc tương ứng) 1  90 Mà A1  C D A1 o  A1  A2 90o B H A C   A 180o hay F  AH 180o  M , A , H thẳng hàng  A1  A Câu 2: I H Cho ABC có trực tâm H nội tiếp  O  đường kính CM , gọi I trung Mđiểm AB Chứng O minh H , I , M thẳng hàng C B Trang 01 Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Câu 3: Giải MB  BC , AH  BC (suy từ giả thiết)  MB //AH Mà MA//BH (cùng vuông góc với AC )  AMBH hình bình hành  AB cắt MH trung điểm I AB MH (t/c hình bình hành) Suy H , I , M thẳng hàng Chứng minh rằng: trung điểm hai cạnh bên hai đường chéo hình thang ln thẳng hàng Giải M , N , P , Q thứ tự trung điểm AD , BC , BD , AC Cần chứng minh M , N , P , Q thẳng hàng Từ (gt)  MN , MP , MQ thứ tự đường trung bình hình thang ABCD , ABD , ACD  MN //AB ; MP //AB ; MQ //CD hay MQ //AB  M , N , P , Q thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) Câu 4: B A Giả sử hình thang ABCD  AB //CD  N M Q P D C Mức độ 2: TH Cho  O  đường kính AB Điểm M chuyển động  O  , M  A ; M  B Kẻ MH vng góc với AB Vẽ đường trịn  O1  đường kính MH cắt đường thẳng MA MB C D Chứng minh rằng: a) C , D , O1 thẳng hàng b) ABCD nội tiếp Giải a) Ta có : AMB 90o (góc nội tiếp chắn nửa  O  ) M D   CMD 90o  CD đường kính  O1  O C A H B O Suy C , D , O1 thẳng hàng b) MCHD hình chữ nhật nội tiếp  O1    D ( góc nội tiếp chắn CD  )  MCD MH  D B   MCD    ACD 180o Mà MC  ACD B Vậy ABCD nội tiếp Câu 5: Cho đường trịn  O  đường kính AB Trên  O  lấy điểm D (khác A , B ) Lấy điểm C  D cắt O  E , Ecắt CH đoạn AB , kẻ CH  AD  H  AD  Phân giác BA D  F Đường thẳng DF cắt  O  N Chứng minh N , C , E thẳng hàng.F H Giải (gt)  HC //DB (cùng vuông góc với AD ) A 1 O C Trang 02 N B Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017  B  ( góc đồng vị) C 1  N  ( góc nội tiếp chắn  )  C  N  Mà B AD 1 1  Tứ giác AFCN nội tiếp  ( góc nội tiếp chắn FC  )  A1  N  Hay A1 FNC mà A1  A2 (gt)     ) mà A2 DNE ( góc nội tiếp chắn DE  A2 FNC FNE   mà NC NE thuộc nửa mặt phẳng bờ DN  FNC FNE Câu 6: Suy tia NC NE trùng  N , C , E thẳng hàng Cho hình chữ nhật ABCD có O giao điểm đường chéo Điểm M đoạn OB , lấy E đối xứng với A qua M ; H hình chiếu điểm E BC , vẽ hình chữ nhật EHCF Chứng minh M , H , F thẳng hàng Giải Gọi I giao điểm HF CE A B  H , I , F thẳng hàng  * (t/c hình chữ nhật) M Cần chứng minh: M , I , F thẳng hàng 1 MA ME  AE (gt) OA OC  AC (t/c hình chữ nhật) 2  OM đường trung bình ACE   ( góc đồng vị)  OM //CE  ODC ICF E H O I D F C     Mà ODC ICF (vì OCD cân O , ICF cân I , t/c hình chữ nhật) OCD IFC    OCD IFC  IF //AC mà IM //AC (do IM đường trung bình ACE )  M , I , F thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Kết hợp với  * ta có: M , H , F thẳng hàng Câu 7: Mức độ 3: VDT Cho ABC điểm M tam giác Gọi A1 , B , C1 thứ tự điểm đối xứng M qua trung điểm cạnh BC , CA , AB Gọi O giao điểm BB1 CC1 Chứng minh điểm A , O , A1 thẳng hàng Giải Gọi D , E , F thứ tự trung điểm BC , CA , AB  EF đường trung bình ABC MB1C1 (suy từ giả thiết) 1  EF  BC  B1C1 EF //BC //B1C1 2  BC //B1C1 BC B1C1 A c1 b1 F  BCB1C1 hình bình hành  O trung điểm BB1 CC1 (t/c hình bình hành) + Tương tự ta có: ABA1 B1 hình bình hành  AA1 cắt BB1 O trung điểm BB1 AA1 E M O C B D A1 Suy A , O , A1 thẳng hàng Trang 03 Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Câu 8: Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn  O  , điểm M cung nhỏ BC E , F thứ tự điểm đối xứng M qua AB , AC , gọi H trực tâm ABC Chứng minh E , H , F thẳng hàng Giải Gọi B giao điểm BH AC ; A giao điểm AH BC Tứ giác HACB nội tiếp E   ACB BCA    A (t/c đối xứng trục)  H BMA BE A F B' C' O B H C A'  Tứ giác AHBE nội tiếp   AB MAB   EHB E M   Tương tự ta có: AHC  ABC , CHF MAC    AHC  CHF         EHB H MAB  ACB  ABC  MAC  ACB  ABC  BAC 180o Câu 9:  EHF 180o  E , H , F thẳng hàng Cho ABC nhọn, đường cao AH , BD CE Gọi M , N , P , Q thứ tự hình chiếu H AB , BD , CE AC Chứng minh M , N , P , Q thẳng hàng Giải BM BH BN   + Từ (gt)  MH //CE ; NH //AC  (định lý Talét) BE BC BD  MN //ED  1 (định ký Talét đảo) + Chứng minh tương tự ta có: PQ //ED   + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông HAC HAB ta có: AB AD AQ AB   AH  AQ AC  AM AB  mà (vì DAB ∽ EAC (g.g)) AC AE AM AC  AQ AM AQ AD   MQ //ED (định lý Talét đảo)  hay AD AE AM AE A D Q E Kết hợp với  1 ,   ta có: P M , N , Q thẳng hàng M , P , Q thẳng hàng (tiên đề Ơclít) C B Do M , N , P , Q thẳng hàng H Mức độ 4: VDC Câu 10: Cho đường tròn  O  dây cung AB Lấy I thuộc đoạn AB cho IA  IB Gọi D M N điểm cung nhỏ AB , DI cắt  O  điểm thứ hai C Tiếp tuyến với  O  C cắt AB K Lấy điểm E cho KE KI  IE , EC cắt  O  F Chứng minh D , O , F thẳng hàng Giải D  C  sđ AD Mà   (gt) Ta có I  sđ B AD DB B A 1   C  sđ DB  I K  I  sđ B  sđ DBC 2 O   C  I ICK  sđ DBC  KIC cân K  KI KC     F Trang 04 E Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 mà KI KE  IE (gt)  KC IK KE  IE  CIE vuông C   DCF 90o  DF đường kính  O  Suy D , O , F thẳng hàng Câu 11: Cho  O  đường kính AB Trên  O  lấy điểm D (khác A , B ) Lấy điểm  đoạn AB , kẻ CH  AD  H  AD  Phân giác BAD cắt  O  E , cắt CH F Đường thẳng DF cắt  O  N Chứng minh N , C , E thẳng hàng Giải E D F H A 1 O B C N (gt)  HC //DB (cùng vng góc với AD )  B  ( góc đồng vị) C 1  N  ( góc nội tiếp chắn AD )  N  C  Mà B 1 1 Suy tứ giác AFCN nội tiếp  ( góc nội tiếp chắn FC  )  A1  N  Hay A FNC mà A  A (gt) 1     ) mà A2 DNE ( góc nội tiếp chắn DE  A2 FNC FNE   mà NC NE thuộc nửa mặt phẳng bờ DN  FNC FNE Suy tia NC NE trùng nên N , C , E thẳng hàng Câu 12: Cho ABC , đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc với tia AB N Kẻ đường kính MN Trên tia đối tia AB lấy điểm K cho AK BN Chứng minh K , C , M thẳng hàng Giải Gọi I , J theo thứ tự tâm đường trịn bàng tiếp góc A , góc B ABC  I  tiếp xúc với BC AC thứ tự P H  J  tiếp xúc với BC BA thứ tự Q K  K' Ta có: K CA  CB  AB CA  CP  PB  AB CA  CH  NB – AB  AH  NB – AB  AN  NB – AB 2 NB (t/c tiếp tuyến) A  CA  CB – AB – NB Tương tự ta có: CA  CB – AB  AK  P C B  AK  AK  BN  K   K J Q H N M Trang 05 I Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Mặt khác PIC đồng dạng QJC (g.g) Nên IC IP IM   JC JQ JK   mà CIM ( góc so le MN //JK ) CJK  ICM đồng dạng JCK (c.g.c)   Suy tia CK CM đối  ICM  JCK Vậy K , C , M thẳng hàng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Mức độ 1: NB Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường trịn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: C C 123 O O D S A H×nh a E M F E S D M 1 2 B F A B H×nh b Ta có ÐCAB = 900 ( tam giác ABC vuông A); ÐMDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) => ÐCDB = 900 D A nhìn BC góc 900 nên A D nằm đường trịn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác nội tiếp => ÐD1= ÐC3( nội tiếp chắn cung AB)  EM  => ÐC2 = ÐC3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung ÐD1= ÐC3 => SM nhau) => CA tia phân giác góc SCB TH2 (Hình b) ÐABC = ÐCME (cùng phụ ÐACB); ÐABC = ÐCDS (cùng bù ÐADC) => ÐCME = ÐCDS  CS   SM  EM  => ÐSCM = ÐECM => CA tia phân giác góc SCB => CE Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC BA, EM, CD ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy  EM  => ÐD1= ÐD2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) Theo Ta có SM Ta có ÐMEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ÐMEB = 900 Tứ giác AMEB có ÐMAB = 900; ÐMEB = 900 => ÐMAB + ÐMEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => ÐA2 = ÐB2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => ÐA1= ÐB2( nội tiếp chắn cung CD) => ÐA1= ÐA2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đường trịn nội tiếp tam giác ADE Trang 06 Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Câu 14: Cho tam giác ABC vuông ở.A điểm D nằm A và.B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: B Xét hai tam giác ABC EDB Ta có ÐBAC = 90 ( tam giác ABC vng A); ÐDEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) O => ÐDEB = ÐBAC = 900; lại có ÐABC góc chung => DEB ~  E CAB Theo ÐDEB = 900 => ÐDEC = 900 (vì hai góc kề bù); ÐBAC F G D = 900 ( ABC vng A) hay ÐDAC = 900 => ÐDEC + ÐDAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp S A C * ÐBAC = 900 ( tam giác ABC vng A); ÐDFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) hay ÐBFC = 900 F A nhìn BC góc 900 nên A F nằm đường trịn đường kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp Theo ADEC tứ giác nội tiếp => ÐE1 = ÐC1 lại có ÐE1 = ÐF1 => ÐF1 = ÐC1 mà hai góc so le nên suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Câu 15: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội Lời giải: D ÐBIC = 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐBID = 900 (vì hai góc kề bù); DE  AB M => ÐBMD = 900 => ÐBID + ÐBMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M trung điểm AB; DE  AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) I A / / O M B O' E Trang 07 C