Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Chủ đề 7: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh đường thẳng đồng quy - Áp dụng tính chất đường đồng quy tam giác - Chứng minh đường thẳng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm chứng minh đường thẳng cịn lại qua điểm - Dùng định lý đảo định lý Talet Câu 1: CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Cho tam giác ABC có góc B C nhọn, đường cao AH Dựng phía ngồi tam giác D CA E 90o ) Gọi M trung điểm DE ABC tam giác vuông cân ABD , ACE ( BA Chứng minh H , A , M thẳng hàng Giải F Dựng hình bình hành AEFD E M trung điểm AF (t/c hình bình hành) EF DA BA M Mặt khác EA CA (gt); AEF CAB (Cùng bù với DAE ) EFA ABC (c – g – c) A C ( Hai góc tương ứng) 1 90 Mà A1 C D A1 o A1 A2 90o B H A C A 180o hay F AH 180o M , A , H thẳng hàng A1 A Câu 2: I H Cho ABC có trực tâm H nội tiếp O đường kính CM , gọi I trung Mđiểm AB Chứng O minh H , I , M thẳng hàng C B Trang 01 Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Câu 3: Giải MB BC , AH BC (suy từ giả thiết) MB //AH Mà MA//BH (cùng vuông góc với AC ) AMBH hình bình hành AB cắt MH trung điểm I AB MH (t/c hình bình hành) Suy H , I , M thẳng hàng Chứng minh rằng: trung điểm hai cạnh bên hai đường chéo hình thang ln thẳng hàng Giải M , N , P , Q thứ tự trung điểm AD , BC , BD , AC Cần chứng minh M , N , P , Q thẳng hàng Từ (gt) MN , MP , MQ thứ tự đường trung bình hình thang ABCD , ABD , ACD MN //AB ; MP //AB ; MQ //CD hay MQ //AB M , N , P , Q thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) Câu 4: B A Giả sử hình thang ABCD AB //CD N M Q P D C Mức độ 2: TH Cho O đường kính AB Điểm M chuyển động O , M A ; M B Kẻ MH vng góc với AB Vẽ đường trịn O1 đường kính MH cắt đường thẳng MA MB C D Chứng minh rằng: a) C , D , O1 thẳng hàng b) ABCD nội tiếp Giải a) Ta có : AMB 90o (góc nội tiếp chắn nửa O ) M D CMD 90o CD đường kính O1 O C A H B O Suy C , D , O1 thẳng hàng b) MCHD hình chữ nhật nội tiếp O1 D ( góc nội tiếp chắn CD ) MCD MH D B MCD ACD 180o Mà MC ACD B Vậy ABCD nội tiếp Câu 5: Cho đường trịn O đường kính AB Trên O lấy điểm D (khác A , B ) Lấy điểm C D cắt O E , Ecắt CH đoạn AB , kẻ CH AD H AD Phân giác BA D F Đường thẳng DF cắt O N Chứng minh N , C , E thẳng hàng.F H Giải (gt) HC //DB (cùng vuông góc với AD ) A 1 O C Trang 02 N B Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 B ( góc đồng vị) C 1 N ( góc nội tiếp chắn ) C N Mà B AD 1 1 Tứ giác AFCN nội tiếp ( góc nội tiếp chắn FC ) A1 N Hay A1 FNC mà A1 A2 (gt) ) mà A2 DNE ( góc nội tiếp chắn DE A2 FNC FNE mà NC NE thuộc nửa mặt phẳng bờ DN FNC FNE Câu 6: Suy tia NC NE trùng N , C , E thẳng hàng Cho hình chữ nhật ABCD có O giao điểm đường chéo Điểm M đoạn OB , lấy E đối xứng với A qua M ; H hình chiếu điểm E BC , vẽ hình chữ nhật EHCF Chứng minh M , H , F thẳng hàng Giải Gọi I giao điểm HF CE A B H , I , F thẳng hàng * (t/c hình chữ nhật) M Cần chứng minh: M , I , F thẳng hàng 1 MA ME AE (gt) OA OC AC (t/c hình chữ nhật) 2 OM đường trung bình ACE ( góc đồng vị) OM //CE ODC ICF E H O I D F C Mà ODC ICF (vì OCD cân O , ICF cân I , t/c hình chữ nhật) OCD IFC OCD IFC IF //AC mà IM //AC (do IM đường trung bình ACE ) M , I , F thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Kết hợp với * ta có: M , H , F thẳng hàng Câu 7: Mức độ 3: VDT Cho ABC điểm M tam giác Gọi A1 , B , C1 thứ tự điểm đối xứng M qua trung điểm cạnh BC , CA , AB Gọi O giao điểm BB1 CC1 Chứng minh điểm A , O , A1 thẳng hàng Giải Gọi D , E , F thứ tự trung điểm BC , CA , AB EF đường trung bình ABC MB1C1 (suy từ giả thiết) 1 EF BC B1C1 EF //BC //B1C1 2 BC //B1C1 BC B1C1 A c1 b1 F BCB1C1 hình bình hành O trung điểm BB1 CC1 (t/c hình bình hành) + Tương tự ta có: ABA1 B1 hình bình hành AA1 cắt BB1 O trung điểm BB1 AA1 E M O C B D A1 Suy A , O , A1 thẳng hàng Trang 03 Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Câu 8: Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn O , điểm M cung nhỏ BC E , F thứ tự điểm đối xứng M qua AB , AC , gọi H trực tâm ABC Chứng minh E , H , F thẳng hàng Giải Gọi B giao điểm BH AC ; A giao điểm AH BC Tứ giác HACB nội tiếp E ACB BCA A (t/c đối xứng trục) H BMA BE A F B' C' O B H C A' Tứ giác AHBE nội tiếp AB MAB EHB E M Tương tự ta có: AHC ABC , CHF MAC AHC CHF EHB H MAB ACB ABC MAC ACB ABC BAC 180o Câu 9: EHF 180o E , H , F thẳng hàng Cho ABC nhọn, đường cao AH , BD CE Gọi M , N , P , Q thứ tự hình chiếu H AB , BD , CE AC Chứng minh M , N , P , Q thẳng hàng Giải BM BH BN + Từ (gt) MH //CE ; NH //AC (định lý Talét) BE BC BD MN //ED 1 (định ký Talét đảo) + Chứng minh tương tự ta có: PQ //ED + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông HAC HAB ta có: AB AD AQ AB AH AQ AC AM AB mà (vì DAB ∽ EAC (g.g)) AC AE AM AC AQ AM AQ AD MQ //ED (định lý Talét đảo) hay AD AE AM AE A D Q E Kết hợp với 1 , ta có: P M , N , Q thẳng hàng M , P , Q thẳng hàng (tiên đề Ơclít) C B Do M , N , P , Q thẳng hàng H Mức độ 4: VDC Câu 10: Cho đường tròn O dây cung AB Lấy I thuộc đoạn AB cho IA IB Gọi D M N điểm cung nhỏ AB , DI cắt O điểm thứ hai C Tiếp tuyến với O C cắt AB K Lấy điểm E cho KE KI IE , EC cắt O F Chứng minh D , O , F thẳng hàng Giải D C sđ AD Mà (gt) Ta có I sđ B AD DB B A 1 C sđ DB I K I sđ B sđ DBC 2 O C I ICK sđ DBC KIC cân K KI KC F Trang 04 E Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 mà KI KE IE (gt) KC IK KE IE CIE vuông C DCF 90o DF đường kính O Suy D , O , F thẳng hàng Câu 11: Cho O đường kính AB Trên O lấy điểm D (khác A , B ) Lấy điểm đoạn AB , kẻ CH AD H AD Phân giác BAD cắt O E , cắt CH F Đường thẳng DF cắt O N Chứng minh N , C , E thẳng hàng Giải E D F H A 1 O B C N (gt) HC //DB (cùng vng góc với AD ) B ( góc đồng vị) C 1 N ( góc nội tiếp chắn AD ) N C Mà B 1 1 Suy tứ giác AFCN nội tiếp ( góc nội tiếp chắn FC ) A1 N Hay A FNC mà A A (gt) 1 ) mà A2 DNE ( góc nội tiếp chắn DE A2 FNC FNE mà NC NE thuộc nửa mặt phẳng bờ DN FNC FNE Suy tia NC NE trùng nên N , C , E thẳng hàng Câu 12: Cho ABC , đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc với tia AB N Kẻ đường kính MN Trên tia đối tia AB lấy điểm K cho AK BN Chứng minh K , C , M thẳng hàng Giải Gọi I , J theo thứ tự tâm đường trịn bàng tiếp góc A , góc B ABC I tiếp xúc với BC AC thứ tự P H J tiếp xúc với BC BA thứ tự Q K K' Ta có: K CA CB AB CA CP PB AB CA CH NB – AB AH NB – AB AN NB – AB 2 NB (t/c tiếp tuyến) A CA CB – AB – NB Tương tự ta có: CA CB – AB AK P C B AK AK BN K K J Q H N M Trang 05 I Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Mặt khác PIC đồng dạng QJC (g.g) Nên IC IP IM JC JQ JK mà CIM ( góc so le MN //JK ) CJK ICM đồng dạng JCK (c.g.c) Suy tia CK CM đối ICM JCK Vậy K , C , M thẳng hàng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Mức độ 1: NB Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường trịn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: C C 123 O O D S A H×nh a E M F E S D M 1 2 B F A B H×nh b Ta có ÐCAB = 900 ( tam giác ABC vuông A); ÐMDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) => ÐCDB = 900 D A nhìn BC góc 900 nên A D nằm đường trịn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác nội tiếp => ÐD1= ÐC3( nội tiếp chắn cung AB) EM => ÐC2 = ÐC3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung ÐD1= ÐC3 => SM nhau) => CA tia phân giác góc SCB TH2 (Hình b) ÐABC = ÐCME (cùng phụ ÐACB); ÐABC = ÐCDS (cùng bù ÐADC) => ÐCME = ÐCDS CS SM EM => ÐSCM = ÐECM => CA tia phân giác góc SCB => CE Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC BA, EM, CD ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy EM => ÐD1= ÐD2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) Theo Ta có SM Ta có ÐMEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ÐMEB = 900 Tứ giác AMEB có ÐMAB = 900; ÐMEB = 900 => ÐMAB + ÐMEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => ÐA2 = ÐB2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => ÐA1= ÐB2( nội tiếp chắn cung CD) => ÐA1= ÐA2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đường trịn nội tiếp tam giác ADE Trang 06 Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2017 Câu 14: Cho tam giác ABC vuông ở.A điểm D nằm A và.B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: B Xét hai tam giác ABC EDB Ta có ÐBAC = 90 ( tam giác ABC vng A); ÐDEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) O => ÐDEB = ÐBAC = 900; lại có ÐABC góc chung => DEB ~ E CAB Theo ÐDEB = 900 => ÐDEC = 900 (vì hai góc kề bù); ÐBAC F G D = 900 ( ABC vng A) hay ÐDAC = 900 => ÐDEC + ÐDAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp S A C * ÐBAC = 900 ( tam giác ABC vng A); ÐDFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) hay ÐBFC = 900 F A nhìn BC góc 900 nên A F nằm đường trịn đường kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp Theo ADEC tứ giác nội tiếp => ÐE1 = ÐC1 lại có ÐE1 = ÐF1 => ÐF1 = ÐC1 mà hai góc so le nên suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Câu 15: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội Lời giải: D ÐBIC = 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐBID = 900 (vì hai góc kề bù); DE AB M => ÐBMD = 900 => ÐBID + ÐBMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) I A / / O M B O' E Trang 07 C