HINH HOC 9 CHUNG MINH 3 DIEM THANG HANG

Chủ đề CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG E CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG MỤC LỤC Chủ đề vận dụng tốn liên quan đến đường trịn CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG Chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (1800) Chứng minh điểm xác định hai đường thẳng vng góc hay song song với đường thẳng thứ (Tiên đề Ơclit) Sử dụng tính chất đồng quy đường: trung tuyến, phân giác, đường cao tam giác Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt: hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang Chúc em học sinh học tập tốt! CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG 10 phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC Chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (1800) Chứng minh hai góc vị trí đối đỉnh mà Chứng minh điểm xác định hai đường thẳng vng góc hay song song với đường thẳng thứ (Tiên đề Ơclit) Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh điểm cách hai đầu đoạn thẳng Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh điểm cách hai cạnh góc Sử dụng tính chất đồng quy đường: trung tuyến, phân giác, đường cao tam giác Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt: hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang Sử dụng tính chất tâm đường kính đường trịn 10 Sử dụng tính chất hai đường trịn tiếp xúc Ví dụ minh họa Dạng 1: chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh 180 độ) ABC C B AH Bài 1: Cho tam giác có góc nhọn, đường cao Dựng ABC ABD · D = CA · E = 90o ACE BA F phía ngồi tam giác tam giác vuông cân , ( M DE H A M Gọi trung điểm Chứng minh , , thẳng hàng ⇒M trung điểm Mặt khác EA = CA ⇒ ∆EFA = ∆ABC µ µ A1 = C Mà AEFD (gt); AF D (t/c hình bình hành) ·AEF = CAB · (cùng bù với · DAE EF = DA = BA B (c – g – c) µ µ = 90o A1 + C àA1 + ảA2 + A3 = 180o hay · AH = 180o ⇒ M F , A1 ) ( Hai góc tương ứng) ¶ = 90 o ⇒ µA1 + A E M Hướng dẫn giải Dựng hình bình hành ) A H , thẳng hàng H C Bài 2: Cho điểm C nằm nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ tia phân giác · CAB cắt nửa đường tròn D Qua C kẻ hai đường thẳng vng góc với AB BD H K a/ Chứng minh DB = DC b/ Chứng minh: Tứ giác CKBH nội tiếp c/ Kẻ CI vng góc với AD Chứng minh: H, I, K thẳng hàng Hướng dẫn giải a) tacó: · · CAD = BAD (gt) => » = DC » DB => DB = DC (2 cung căng dây nhau) b) Ta có: · CKB = 900 Suy · CHB = 900 (gt) (gt) · · CHB + CKB = 1800 Vậy tứ giác CKBH nội tiếp c) Ta có tứ giác CKDM nội tiếp => Mà => · · CIK = CDK mà · · CDK = CAH · · CAH + CIH = 180O · · CIK + CIH = 180O nên · · CIK = CAH tứ giác ACIH nội tiếp => H, I, K thẳng hàng Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo hình đặc biệt (vd: hình bình hành) ( O) ∆ABC CM H I Bài 2: Cho có trực tâm nội tiếp đường kính , gọi trung A AB H I M điểm Chứng minh , , thẳng hàng Hướng dẫn giải MB ⊥ BC AH ⊥ BC , ⇒ MB //AH Mà M I H O (suy từ giả thiết) C B MA//BH AC (cùng vng góc với ) ⇒ AMBH hình bình hành ⇒ AB MH I AB MH cắt trung điểm (t/c hình bình hành) H I M Suy , , thẳng hàng Dạng 3: Sử dụng tính chất tâm đường kính đường tròn Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền Đường kính đường trịn qua tâm Bài 3: Cho Kẻ ( O) đường kính MH AB Điểm M chuyển động ( O1 ) AB vuông góc với Vẽ đường trịn C MA MB D thẳng và Chứng minh rằng: ( O) đường kính , M ≠A M ≠B ; MH cắt đường D O1 a) , , thẳng hàng ABCD b) nội tiếp C Hướng dẫn giải M a) Ta có : ·AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa · ⇒ CMD = 90o ⇒ CD Suy C ( O) D ) đường kính D O1 , , thẳng hàng ( O1 ) C A O H O B b) MCHD hình chữ nhật nội tiếp · · D ⇒ MCD = MH ( ( O1 ) góc nội tiếp chắn · D=B µ ⇒ MCD · µ + ·ACD = 180 MC + ·ACD = B Mà » CD ) o ABCD Vậy nội tiếp Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho • Nếu qua điểm M nằm ngồi đường thẳng a có đường thẳng song song với a chúng trùng • Cho điểm M đường thẳng a Đường thẳng qua M song song với a ABCD O M Bài 4: Cho hình chữ nhật có giao điểm đường chéo Điểm OB E A M H E đoạn , lấy đối xứng với qua ; hình chiếu điểm BC EHCF M H F , vẽ hình chữ nhật Chứng minh , , thẳng hàng Hướng dẫn giải A Gọi I ⇒H I HF giao điểm , , CE B M ( *) F thẳng hàng (t/c hình chữ nhật) M I F Cần chứng minh: , , thẳng hàng MA = ME = ⇒ OM AE OA = OC = (gt) ( · · ODC = OCD Mà nhật) AC đường trung bình · · ⇒ OM //CE ⇒ ODC = ICF E H O I D C (t/c hình chữ nhật) ∆ACE góc đồng vị) · · ICF = IFC (vì ∆OCD cân O ∆ICF , cân I , t/c hình chữ F · · ⇒ OCD = IFC ⇒ IF //AC ⇒M , I , F mà IM //AC (do IM đường trung bình ∆ACE ) thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Kết hợp với Bài 5: Cho ( *) ta có: ∆ABC M , H F , thẳng hàng nhọn, đường cao tự hình chiếu thẳng hàng H AB , BD , AH CE BD , và AC CE Gọi M , Chứng minh N M , , P N , , Q P thứ , Q Hướng dẫn giải + Từ (gt) ⇒ MH //CE ⇒ MN //ED ( 1) NH //AC ⇒ ; BM BH BN = = BE BC BD (định lý Talét) (định ký Talét đảo) + Chứng minh tương tự ta có: PQ //ED ( ) + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AH = AQ AC = AM AB ⇒ AQ AD = AM AE hay lý Talét đảo) ⇒ AQ AB = AM AC mà AQ AM = ⇒ MQ //ED AD AE AB AD = AC AE (vì HAC HAB ∆DAB ∽ ∆EAC ta có: (g.g)) A D (định ( 1) ( ) Kết hợp với , ta có: M N Q M P Q , , thẳng hàng , , thẳng hàng (tiên đề Ơclít) M N P Q Do , , , thẳng hàng Q E P M N C B H Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng cho • Nếu qua điểm M nằm ngồi đường thẳng a có đường thẳng vng góc với a chúng trùng Cho điểm M đường thẳng a Đường thẳng qua M vng góc với a Bài 6: Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm ngồi đường trịn (O) • cho OA = R Từ A vẽ tiếp tuyến AB đường tròn (O) (B tiếp điểm) 1) Chứng minh tam giác ABO vng B tính độ dài AB theo R 2) Từ B vẽ dây cung BC (O) vng góc với cạnh OA H Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh tam giác ABC 4) Từ H vẽ đường thẳng vng góc với AB D Đường trịn đường kính AC cắt cạnh DC E Gọi F trung điểm cạnh OB Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng Hướng dẫn giải 1) Ta có: · ABO = 900 (AB tiếp tuyến của(O) B) ⇒ ∆ABO vuông B ⇒ AB + OB = OA2 (Đ/L Pytago) AB = OA2 − OB = ( R ) − R = R − R = 3R 2 ⇒ 2) Ta có ∆BOC cân O (OB = OC = R) Mà OH đường cao ( BC ⊥ OA H) ⇒ OH đường phân giác ∆BOC ⇒ · · BOA = COA Chứng minh ∆AOC = ∆AOB (c-g-c) ⇒ · · ACO = ABO ⇒ AB = R · ABO = 900 Mà ⇒ (AB tiếp tuyến của(O) B) · ACO = 900 ⇒ AC ⊥ OC ⇒ Mà C thuộc (O) ⇒ AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh ∆ABC cân A ( 1) Xét ∆ABO vng 0, có · Sin ABO = ⇒ OB R = = OA R · BAO = 300 Ta có: AO tia phân giác góc BAC (T/c tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ · · BAC = BAO = 2.300 = 600 (2) Từ (1) (2) suy ∆ABC 4) Gọi I giao điểm AF HD Áp dụng hệ Talet để I trung điểm HD Gọi K trung điểm BD Chứng minh KI đường trung bình ∆BHD ⇒ KI // HB Mà HB ⊥ OA H (gt) ⇒ KI ⊥ AH Chứng minh I trực tâm ∆AHK ⇒ AI đường cao ∆AHK ⇒ AF ⊥ HK (3) Chứng minh HK đường trung bình ∆BDC ⇒ HK // CD (4) Từ (3) (4) ⇒ AF ⊥ CD Ta có: ∆AEC nội tiếp đường trịn đường kính AC ⇒ ∆AEC vuông E ⇒ AE ⊥ CD Mà AF ⊥ CD Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng quy đường: trung tuyến, phân giác, đường cao tam giác Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm cạnh AC Đường trịn đường kính MC cắt BC N Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC D 1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp Xác định tâm O đường tròn 2) Chứng minh DB phân giác góc ADN 3) Chứng minh OM tiếp tuyến đường trịn đường kính MC 4) BA CD kéo dài cắt P Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng Hướng dẫn giải · · BAC = BDC = 90o a) (gt) nên tứ giác BADC nội tiếp đường tròn tâm O trung điểm BC ·ADB = BDN · ( = ·ACB ) b) (hai góc nội tiếp chắn cung đường tròn ngoại tiếp tứ giác BADC, NMDC) nên DB phân giác góc AND c) OM ⊥ AC (OM đường trung bình tamgiác ABC) nên suy MO tiếp tuyến đường trịn đường kính MC d) MN ⊥ BC (góc MNC nội tiếp nửa đường trịn đường kính MC) PM ⊥ BC (M trực tâm tam giác PBC) Suy P, M, N thẳng hàng Bài 8: Tuyển sinh 10 Hà Nam 15 – 16 10 Cho đường tròn (O) điểm A nằm đường tròn Gọi d tiếp tuyến (O) A Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), kẻ tiếp tuyến DB (O) (B điểm, B không trùng với A) a) Chứng minh tứ giác AOBD nội tiếp b) Trên tia đối tia BA lấy điểm C Kẻ DH vng góc với OC (H thuộc OC) Gọi I giao điểm AB OD Chứng minh OH.OC = OI OD c) Gọi M giao điểm DH với cung nhỏ AB (O) Chứng minh CM tiếp tuyến (O) d) Gọi E giao điểm DH CI Gọi F giao điểm thứ hai đường tròn đường kính OD đường trịn ngoại tiếp tam giác OIM Chứng minh O, E, F thẳng hàng Hướng dẫn giải a) DA DB tiếp tuyến (O) nên · · OBD = OAD = 90o · · OBD + OAD = 180o Xét tứ giác AOBD có , mà hai góc vị trí đối diện nên tứ giác AOBD nội tiếp b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có DA = DB DO tia phân giác ABD Do tam giác ABD cân D có DO đường phân giác nên đồng thời đường trung trực Xét ∆OIC ∆OHD có · DOC · · OIC = OHD = 90o ; chung nên ∆OIC ” ∆OHD (g.g) OI OC = ⇒ OH OC = OI OD(1) OH OD c) Xét tam giác AOD vuông A có AI đường cao nên Mà OM = OA (là bán kính (O) ) (3) ⇒ Từ (1), (2) (3) suy OM2 = OH OC OM OC = OH OM OA2 = OH OD (2) 12 b) Có AN ⊥ EB, EC ⊥ AB , EC giao AN F nên F trực tâm tam giác AEB ⇒ BF ⊥ EA Mà BD ⊥ EA ⇒ B, D, F thẳng hàng + Tứ giác ADFC có hai góc đối 90o nên tứ giác nội tiếp, suy · · DCF = DAF Tương tự ta có: · · NCF = NBF · · DAF = NBF · · DCF = NCF Mà (cùng phụ với góc AEB) => Suy CF phân giác góc DCN Tương tự ta có DF phân giác góc NDC Vậy F tâm đường tròn nội tiếp tam giác DCN c) Gọi J giao (I) với đoạn AB ( · · FAC = CEB = 90o − ·ABE Có => ) => tam giác FAC đồng dạng với tam giác BEC(g-g) FC AC = => CF ×CE = BCAC BC EC ( · · FJC = FEA = 180o − ·AJF Vì AEFJ tứ giác nội tiếp nên => ∆CFJ ” ∆  CAE (g-g) => ) CF CJ = ⇒ CF ×CE = CA.CJ CA CE BC AC = CA.CJ Suy ⇒ BC = CJ ⇒ C trung điểm BJ (vì J ≠ B) Suy J điểm cố định Có IA = IJ nên I thuộc đường trung trực AJ, đường cố định Một số tập Bài 1: Cho tam giác ABC vng A Đường trịn (O) đường kính AB cắt đường trịn (O’) đường kính AC D, M điểm cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) N, cắt BC E Chứng minh O, N, O’thẳng hàng Hướng dẫn giải » + sdCM ¼ sdAD · AEB = Xét (O’) có: đường trịn) A ( góc có đỉnh bên N O B D O' C E M 13 ¼ » + sd MD ¼ sdADM sd AD · BAM = = 2 · · BAM = AEB ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Suy ⇒ tam giác ABE cân B nên BN vừa đường cao vừa trung tuyến ⇒ NA = NE OA = OB, O’A = O’C ⇒ NO, NO’ đường trung bình tam giác ACE, ABE nên O’N // CE, NO // EB O, N, O’ thẳng hàng Bài 2: Hai đường tròn ( O; R ) ( O '; r ) tiếp xúc ngồi BC hai đường kính qua C đường tròn đường tròn ( O) ( O) C ( R > r) ( O ') gọi AC DE dây cung vuông góc với AB trung điểm M AB Tia DC cắt ( O ') đường tròn điểm thứ F a) Tứ giác ADBE hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng c) DB cắt đường tròn đồng quy ( O ') điểm thứ hai G Chứng minh DF, EG AB d) Chứng minh MF tiếp tuyến ( O ') Hướng dẫn giải a) Tứ giác ADBE hình thoi AM = MB; MD = ME b) Ta có BE / / DA Nối BF ta có ·ADF = BFD · = 900 ⇒ BF / / DA DE ⊥ AB Như BE / / DA 14 BF / / DA mà qua B có đường thẳng song song với DA điểm B, F, E phải thẳng hàng c) Ta có CG vng góc với DB, mặt khác EC vng góc với DB Nhưng qua C tồn đường vng góc với DB nên E, C , G phải thẳng hàng DF, EG, AB phải đồng quy điểm C, trực tâm tam giác EDB d) Nhận thấy · MFO ' = 900 · µ MEF =F · ' BF = F µ O mà · · ' BF = 900 MEF +O nên µ +F µ = 900 F , suy Vậy MF tia tiếp tuyến đường tròn tâm O’ Bài 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB có điểm M Trên AC < CB đường kinh AB lấy điểm C cho Trên nửa mặt phằng bờ AB có chứa điểm M, người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB; đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP AM; E giao điểm CQ BM a) Chứng minh tứ giác ACMP, CDME nội tiếp b) Chứng minh hai đường thẳng AB, DE song song c) Chứng minh ba điểm P,M, Q thẳng hàng d) Ngồi điểm M ra, đường trịn ngoại tiếp tam giác DMP, EMQ cịn điểm chung khơng? Vì sao? Lời giải: a) Tứ giác ACMP có Tứ giỏc CDME cú àA = M ả = 900 =M ¶ = 90 C nên nội tiếp nên nội tiếp 15 b) Do tứ giác ACMP CDME nội tiếp nên · · MPC = MCE mà song với DE c) Do ( phụ với góc · · MBQ = MAC ( phụ ·ABM · MCP ) ) nên · · MAC = MPC · · MAC = MDE · · · MAC = MDE = MCQ , · · MDE = MCE Vậy AB song nên · · MCQ = MBQ · CMQ = 900 Suy tứ giác CMQB nội tiếp Vậy P, M, Q thẳng hàng d) Trên nửa mặt phẳng bờ MC không chứa điểm D , kẻ tia tiếp tuyến Mt đường tròn ngoại tiếp tam giác DMP suy ·AMt = MPD · · · BMt = MQC mà · MQC phụ với · MPC nên Suy Mt tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EMQ Do hai đường trịn ngoại tiếp tam giác DMP EMQ tiếp xúc Vậy có điểm M điểm chung hai đường trịn nói Nhận xét Bạn chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DMP, EMQ Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB=2R điểm C đường trịn (C khơng trùng với A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC; P giao điểm AC, BM Tia BC cắt tia AM, Ax N Q a) Chứng minh tam giác ABN cân b) Tứ giác APNQ hình gì? Vì sao? c) Gọi K điểm cung AB khơng chứa C Hỏi xảy ba điểm Q, M, K thẳng hàng khơng? Vì sao? d) Xác định vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với đường tròn (O) Hướng dẫn giải 16 ABN a) Tam giác có đường cao BM đồng thời đường phân giác nên tam giác ABN cân B ⊥ ⇒ b) Vì P trực tâm tam giác ABN nên NP AB NP // AQ, APNQ hình thang c) Nếu Q , M , K thẳng hàng từ tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn, ta có QM đường phân giác góc AQB Mặt khác , BM phân giác góc ABQ nên AM phân giác góc BAQ, vơ lý Vậy ba điểm Q , M , K không thẳng hàng d) Tại điểm M, kẻ tiếp tuyến yMy’ với (O) cho My MA phía với đường thẳng MQ Ta có đường trịn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (O) yMy’ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ M Điều tương đương với · · · · · · · · NQM = NMy ' ⇔ NQM = AMy ⇔ NQM = ABM ⇔ NQM = MBC ⇔ MB = MQ ⇔ BC = NQ Mà ( ∆MNC cân) AB2 = BC.BQ ⇔ AB2 = BC.( BN + NQ ) ⇔ 4R2 = BC.( 2R + BC ) ⇔ BC = R ( ) 5− 17 BC = R Vậy ( ) 5− đường trịn ngoại tiếp ∆MNQ tiếp xúc với (O) Bài 5: Cho tam giác vng ABC nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AB Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AC a) Chứng minh tam giác ABD cân b) Đường thẳng vng góc với AC A cắt đường tròn (O) E Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF= AE Chứng minh ba điểm D, B, F thẳng hàng c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tiếp xúc với đường tròn (O) Hướng dẫn giải BC ⊥ DA ,CA = CD ∆ABD a) Xét có nên BC vừa đường cao vừa đường trung tuyến, ∆ABD b) cân B · CAE = 900 trịn (O) ⇒ nên CE đường kính đường C, O, E thẳng hàng Ta có CO đường trung bình tam giác ABD ⇒ CO//DB ⇒ CE// BD Tương tự, OE đường trung bình ⇒ OE//BF ⇒ ∆ABF CE//BF Suy B, D, F thẳng hàng ( theo tiên đề Owclit) c) Theo tính chất đường trung bình mà ⇒ ∆ABD ; ∆ABF OC = ta có 1 DB;OE = BF 2 OC = OE ⇒ BD = BF = AB B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF OB = AB – OA ⇒ BA bán kính Mà nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tiếp xúc với đường tròn (O) A 18 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông C BC < CA Gọi I điểm AB IB < IA Kẻ đường thẳng d qua I vuông góc với AB Gọi giao điểm d với AC, BC F E Gọi M điểm đối xứng với B qua I a) Chứng minh tam giác IME đồng dạng với tam giác IFA IE IF = IA IB b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE N Chứng minh F, N, B thẳng hàng · BCA = 900 c) Cho AB cố định, C thay đổi cho Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua hai điểm cố định tâm đường tròn nằm đường thẳng cố định Hướng dẫn giải a) Ta có IE đường trung trực BM ⇒ ∆EBM Mà cân M µ =F µ B 1 µ =M ¶ ⇒B 1 ( phụ với ⇒ ∆IME ” ∆IFA ( g g ) ⇒ µA ) IM IE = ⇒ IE.IF = IA.IM IF IA ⇒ IE.IF = IA.IB b) Ta có · · ECF = 900 ⇒ ENF = 900 19 ∆BAE Xét ⇒ B, F , N có EI, AC đường cao cắt F nên BF ⊥ EA mà FN ⊥ EA thẳng hàng µ =µ E A1 Ta có suy tứ giác AMFE nội tiếp Từ suy đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF qua hai điểm A, M cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường trung trực AM cố định Bài 7: Cho tam giác (O) CE tam giác ABC ABC nhọn nội tiếp đường tròn H cắt Vẽ đường kính BH / / FC b) Chứng minh tứ giác OM ⊥ BC c) Vẽ d) Gọi G M BHCF hình bình hành Chứng minh H,M ,F trọng tâm tam giác Chứng minh S AHG = S AGO ABC thẳng hàng Hướng dẫn giải D ACF D ACF Ta có: nội tiếp đường trịn đường kính vng C BH ⊥ AC , FC ⊥ AC ⇒ BH / / FC BH / / FC b) (câu a) Chứng minh tương tự câu a) Có: CH / / FB Tứ giác Và Các đường cao a) Chứng minh a) (O; R ) BHCF CH / / FB có BH / / FC nên hình bình hành AF AF BD đường trịn 20 c) OM ^ BC Þ M (gt) trung điểm Tứ giác BHCF HF điểm ⇒ H,M ,F M trung điểm BC nên M trung ABC có AM đường trung tuyến, AHF AM có AM , AG = AM G trọng tâm (gt) đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM , AM AG = Þ G hình bình hành, thuộc đoạn thẳng Tam giác (Định lý đường trịn vng góc dây cung) thẳng hàng d) Tứ giác Þ G BC trọng tâm tam giác giác AHF Þ HO HO đường trung tuyến tam qua Hai tam giác Do AHF G , HG = 2GO AHG, AGO S AHG = 2S AGO AH ABC tam giác a) Chứng minh ABC BC A,O, E 2 AB + BD + CD + AC cắt đường tròn cắt đường tròn (O) (O) HG , HG = 2GO BCED theo hình thang cân R D (khác điểm thẳng hàng b) Chứng minh tư giác c) Tính đến có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn đường thẳng song song với A có chung đường cao vẽ từ Bài 8: Cho tam giác Đường cao E A (O; R ) ) Từ (khác D ) D vẽ 21 Hướng dẫn giải BC / / DE a) ⇒ AD ⊥ DE AD ⊥ BC (gt), (gt) ·ADE = 900 Þ AE đường kính đường trịn Þ A,O, E b) Vẽ OM thẳng hàng OM ⊥ BC ( M ∈ BC ) cắt DE / / BC DE (gt) có OM ⊥ BC ⇒ M ON ⊥ DE ⇒ N MN c) AE (O) N ON ⊥ DE , tứ giác trung điểm trung điểm BCDE hình thang BC DE trục đối xứng hình thang cân BE = CD ( BCED hình thang cân) đường kính nên D ABE vng E · ABE = 900 , theo định lí Py-ta-go có: AB + BE = OE AB + CD = (2 R ) AB + CD = R Chứng minh tương tự có: Ta có: AC + BD = 4R AB + BD + CD + AC = 8R 22 Bài 9: Cho hai đường tròn kính AC và (O ¢) A cắt B Vẽ đường AD a) Chứng minh b) Đường thẳng E,F nằm (O) d B,C , D thẳng hàng di động qua A cắt (O),(O ¢) E,F ( E,F khác 2) Xác định vị trí lớn · ABC = 900 d để chu vi tam giác BEF lớn nhất, diện tích tam giác (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Þ AB ^ BC Suy B,C , D b) 1) Xét · · BEF = ACD Þ thẳng hàng D ACD có: (hai góc nội tiếp chắn cung (hai góc nội tiếp chắn cung D BEF ” D ACD AB đường tròn đường tròn ( kí hiệu CV = chu vi) CV (BEF ) BE CV (ACD ) = Þ CV (BEF ) = BE CV (ACD) AC AC Do đó: Û BE AB D BEF ” D ACD Do 2) * AB ^ BD D BEF · · BEF = ACD A D BEF ∽ D ACD Hướng dẫn giải Tương tự có , ) 1) Chứng minh a) A CV (BEF ) lớn Û BE lớn đường kính đường trịn (O) , CV (ACD) AC khơng đổi (O) ) (O Â) ) BEF 23 Ã ị BAE = 900 Û d ^ AB Vậy d D BEF ” D ACD Þ SBEF = SBEF A vng góc với Þ * SACD AC SBEF SACD A chu vi tam giác , AC không đổi Û BE Û BE lớn lớn đường kính đường trịn · Û BAE = 900 Û d ^ AB d vng góc với Bài 10: Trên cạnh trịn tâm O đường kính P CD đường kính CD lớn ỉBE ữ ữ =ỗ ỗ ữ ỗ ữ ốAC ứ BE Vậy BEF SACD BE lớn AB AB A Gọi A diện tích tam giác hình vng AM (O) E ABCD BEF lớn M , lấy điểm giao điểm đường tròn tâm Hai đường tròn cắt điểm thứ hai N Tia Chứng minh rằng: a) Ba điểm b) E , N ,C thẳng hàng CA ⊥ MP Hướng dẫn giải a) Ta có Dễ thấy Nên D giao điểm thứ AEMD · END = 900 hình chữ nhật , vẽ đường ED (O) (O ¢) đường kính (góc nội tiếp chắn nửa cung đường trịn) (O) DN (O ¢) cắt BC 24 Mặt khác CD đường kính · DNC = 900 nên (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · Þ END + DNC = 1800 Ta có AEMD Þ AECM E , N ,C thẳng hàng hình chữ nhật D CBE BCE = CDP (1) D CDP có (hai góc phụ với góc CB = DC ; B = C = 900 Do đó: hay ba điểm hỡnh ch nht ằ = CM ẳ ị EB Xột (O Â) ) (gt) D CBE = D DCP ị EB = CP DPC (g.c.g) (2) Từ (1) (2) Þ CM = CP Þ CA Vậy hay D PCM cân có A B CA ^ MP hai tiếp tuyến), (O) M C nằm đường tròn E đường phân giác đồng thời đường cao Bài 11: Cho đường tròn ( , CA D , điểm , hai tiếp tuyến điểm đường tròn tâm (O) Các tia AC BC Chứng minh ba điểm (O) D,O, E thẳng hàng Hướng dẫn giải M cắt đường trịn MA bán kính (O) MB MA 25 Trong đường trịn (O) ta có: Mặt khác đường tròn 1· · ABC = AMC 1· · ABD = AOD (M ) (góc nội tiếp nửa góc tâm chắn cung) · · Þ AMC = AOD (1) Tương tự ta có: Do MA có: MB · · BMC = BOE (2) tiếp tuyến (O) nên: · · MAO = MBO = 900 Hay · · MAO = MBO = 1800 · · Þ AMB + AOB = 1800 Hay · · · AMC + BMC + AOB = 1800 Từ (1), (2) (3) ta có: Vậy ba điểm Bài 12: Gọi D,O, E M (3) AOD + BOE + AOB = 1800 thẳng hàng điểm đường tròn ngoại tiếp hình chiếu M đường thẳng BC Chứng minh rằng: a) Các điểm b) Các điểm M , B, P , R R, P ,Q thuộc đường tròn thẳng hàng Hướng dẫn giải a) · · BRM + BPM = 900 + 900 = 1800 Þ Tứ giác RBPM nội tiếp , CA D ABC ; P ,Q, R 26 Þ Các điểm M , P , B,C thuộc đường tròn b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp · · Þ MPQ + MCQ = 1800 Mà Và · · RBM = RPM · · RBM = MCQ Do đó: Ta có: (tứ giác (tứ giác RBPM ABMC nôi tiếp) nội tiếp) · · RPM = MCQ · · · · RPM + MPQ = MCQ + MPQ = 1800 Þ R, P ,Q thẳng hàng ... hình thang BC DE trục đối xứng hình thang cân BE = CD ( BCED hình thang cân) đường kính nên D ABE vuông E · ABE = 90 0 , theo định lí Py-ta-go có: AB + BE = OE AB + CD = (2 R ) AB + CD = R Chứng minh. .. COA Chứng minh ∆AOC = ∆AOB (c-g-c) ⇒ · · ACO = ABO ⇒ AB = R · ABO = 90 0 Mà ⇒ (AB tiếp tuyến của(O) B) · ACO = 90 0 ⇒ AC ⊥ OC ⇒ Mà C thuộc (O) ⇒ AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh ∆ABC... Chứng minh KI đường trung bình ∆BHD ⇒ KI // HB Mà HB ⊥ OA H (gt) ⇒ KI ⊥ AH Chứng minh I trực tâm ∆AHK ⇒ AI đường cao ∆AHK ⇒ AF ⊥ HK (3) Chứng minh HK đường trung bình ∆BDC ⇒ HK // CD (4) Từ (3)