CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A Phương pháp giải + Chứng minh một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó + Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba + Chứng minh[.]
CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A Phương pháp giải + Chứng minh điểm đồng thời thuộc ba đường thẳng + Chứng minh giao điểm hai đường thẳng nằm đường thẳng thứ ba + Chứng minh giao điểm hai đường thẳng thứ thứ hai trùng với giao điểm hai đường thẳng thứ hai thứ b + Sử dụng tính chất đồng quy ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực tam giác + Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt B Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Các đường thẳng AO AO’ cắt (O) C D cắt (O’) E F Chứng minh AB, CD, EF đồng quy Hướng dẫn giải + Có ADC nhìn đường kính AC nên ADC 90 + Có AEF nhìn đường kính AF nên AEF 900 + Có ABC nhìn đường kính AC nên ABC 900 + Có ABF nhìn đường kính AF nên ABF 900 + Có ABC ABF 900 900 1800 Suy điểm E, B, F thẳng hàng + Xét tam giác CAF có đường cao AB, CD, EF nên AB, CD, EF đồng quy Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AD Gọi M điểm di động cung nhỏ AB (M không trùng với điểm A B) Gọi K giao điểm AB MD, H giao điểm AD MC Chứng minh ba đường thẳng AM, BD, HK đồng quy Hướng dẫn giải + Gọi I giao điểm AM DB + Có ABD AMD 900 (2 góc nội tiếp đường trịn đường kính AD) Suy AB DM hai đường cao tam giác IAD K trực tâm tam giác nên IK vng góc với AD (1) + Có AC AB (tam giác ABC đều) nên hai cung AC AB AMC ADB Góc AMH kề bù với góc HMI nên HMI HDI 1800 Suy tứ giác IMHD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính ID IMD IHD 900 Suy IH vng góc với AD(2) Từ (1) (2) suy I, H, K thẳng hàng Hay ba đường thẳng AM,BD HK đồng quy I C Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A cạnh AC lấy M vẽ đường trịn đường kính MC tâm O Đường thẳng BM cắt đường tròn O D Đường thẳng AD cắt đường tròn O S Gọi E giao điểm BC đường tròn O Chứng minh: BA , EM , CD đồng quy Bài 2: Cho nửa đường trịn O, đường kính AB = R, bán kính OC vng góc AB M điểm cung nhỏ BC, AM cắt CO N a) Chứng minh tứ giác BMN nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AM.AN = 2R2 c) Kéo dài BN cắt nửa đường tròn K.Chứng minh ba đường thẳng AC, BM, ON đồng quy Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Từ M điểm nửa đường trịn (O) (M khơng điểm cung AB) vẽ tiếp tuyến cắt Ax, By điểm C, D a) Chứng tỏ AC + BD = CD b) Chứng minh tam giác COD vuông c) Tia BM cắt Ax P, tia AM cắt By Q Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B, đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh: a, Hai tam giác ABC EBD đồng dạng với b, Tứ giác ADEC tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn c, AC // FG d, Các đường thẳng AC, DE BF đồng quy