CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH A Phương pháp giải + Để làm được bài toán này ta có thể sử dụng định lý Ta lét, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông + C[.]
Trang 1CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH A Phương pháp giải
+ Để làm được bài tốn này ta có thể sử dụng định lý Ta-lét, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông
+ Các bước suy luận để chứng minh:
- Giả sử cần chứng minh: AB AC AD.AE
- Ta lập sơ đồ: AB AC AD AE ABAEABE~ ADCAD AC
- Khi đó bước đầu tiên ta sẽ chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ rồi chứng minh được hệ thức hình học đề bài đã ra
+ Ngồi ra có những bài tốn ta sẽ khơng trực tiếp ra được hệ thức cần chứng minh mà cần phải chứng minh từng vế của hệ thức bằng với một hệ thức thứ ba
B Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến
Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C Tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D Chứng minh rằng BD.BE = BC.BF
Hướng dẫn giải
+ Có ACB nhìn đường kính AB nên ACB90
+ Có Ax là tiếp tuyến, F thuộc Ax nên FAB900+ Xét tam giác FAB và tam giác ACB có:
B chung
900
ACB FAB
Trang 22.
AB BFBC BF ABBC BA
(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (1) + Có ADB nhìn đường kính AB nên ADB900
+ Có Ax là tiếp tuyến, E thuộc Ax nên EAB900+ Xét tam giác EAB và tam giác ADB có:
ˆ
B: chung
900
ADB EAB
Suy ra hai tam giác EAB và ADB đồng dạng theo trường hợp góc - góc 2.BEABBE BD ABBA BD (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) Từ (1) và (2) suy ra BC BF BE BD AB2 (đpcm)
Ví dụ 2 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI =
2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E Chứng minh hệ thức: AM2 AE AC
Hướng dẫn giải
+ Có AMB nhìn đường kính AB nên AMB900
+ Xét tam giác AMB có AMB90 ; MI AB (MN vng góc với AB tại I ) có: 2
AM AI AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
Trang 3 900
ACB AIE
BAC : Chung
Suy ra hai tam giác AEI và tam giác ABC đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc
.AEAIAE AC AI ABAB AC (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AM2 AE AC.C Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đường tròn O cà dây CD A là điểm chính giữa cung CD M thuộc CD, dây AN
qua M
a, Chứng minh AC2 AM AN.b, Chứng minh AD DN DM AN
Bài 2: Cho tam gisc đều ABC nội tiếp (O) D là điểm trên cung nhỏ BC CD và AB kéo dài
cắt nhau ở M, BD và AC kéo dài cắt nhau ở N Chứng minhAB2 BM CN.
Bài 3: Cho đường trịn (O) có đường kính AB Qua A kẻ tiếp tuyến xy Một điểm Mthuộc Ax, nối BM cắt (O) tại C Chứng minh MA2 MB MC.
Bài 4: Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường trịn (O; R) Kẻ MH vng góc với AB
(H thuộc AB ), MH cắt đường tròn tại N Trên tia đối BA lấy điểm C MC cắt đường tròn tại D ND cắt AB tại E Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau:
2
NB NE ND và AC BE BC AE
Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngồi đường tròn Qua M kẻ
tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm) Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D ) Gọi I là trung điểm của dây CD Kẻ AH vng góc với MO tại H Chứng minh OH OM R 2
Bài 6 Cho đường tròn (O R, ) hai dây cung AB và CD vng góc với nhau tại I (C thuộc cung nhỏ AB) Kẻ đường kính BE của đường trịn (O)
a) Chứng tỏ rằng AC DE
b) Chứng minh hệ thức IA2 IB2 IC2 ID2 4 R2
Bài 7 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung BC không chứa A ta lấy
điểm P bất kì (P khác B và P khác C) Các đoạn PA và BC cắt nhau tại Q
a) Giả sử D là một điểm cố định trên đoạn PA sao cho PD PB Chứng minh rằng tam giác
PDB đều
Trang 4c) Chứng minh hệ thức 1 1 1
PQ PB PC
Bài 8 Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O) Các tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại A và B cắt nhau tại điểm M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB, cắt đường tròn (O) tại C MC cắt đường tròn (O) tại E Các tia AE và MB cắt nhau tại K Chứng minh
rằng MK2 AK EK và MK KB
Bài 9 Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy điểm D trên cạnh AC AC2DC làm tâm vẽ đường tròn tiếp xúc với BC tại E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF cắt AD tại I và cắt AE tại K Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BF tại N
a) Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh hệ thức IFBF.
IK BK
Bài 10 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và
cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa A và E) Tia phân giác của góc DBE cắt DE tại I Chứng minh rằng
a) BD CD.