Đang tải... (xem toàn văn)
LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A Lý thuyết 1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng 1 1 Nhắc lại về thứ tự trên tập hợp số Trên tập hợp số thực, khi thực hiện so sánh hai[.]
LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A Lý thuyết Liên hệ thứ tự phép cộng 1.1 Nhắc lại thứ tự tập hợp số Trên tập hợp số thực, thực so sánh hai số a b, xảy ba trường hợp sau: +) Số a số b, ký hiệu a b +) Số a nhỏ số b, ký hiệu a b +) Số a lớn số b, ký hiệu a b Khi biểu diễn số thực trục số (theo phương ngang) điểm biểu diễn số nhỏ bên trái điểm biểu diễn số lớn 1.2 Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a b (hay a b , a b , a b ) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Ví dụ: Bất đẳng thức 2 Vế trái 2 , vế phải 1.3 Liên hệ thứ tự phép cộng Với ba số a, b c, ta có: +) Nếu a b a c b c ; Nếu a b a c b c +) Nếu a b a c b c ; Nếu a b a c b c Ví dụ: 2018 2019 2018 2017 2019 2017 Vậy: Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Liên hệ thứ tự phép nhân 2.1 Liên hệ thứ tự phép nhân với số dương Với ba số a, b c , ta có: +) Nếu a b ac bc ; Nếu a b ac bc +) Nếu a b ac bc ; Nếu a b ac bc Ví dụ: 3 3 Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho 2.2 Liên hệ thứ tự phép nhân số âm Với ba số a, b c , ta có: +) Nếu a b ac bc ; Nếu a b ac bc +) Nếu a b ac bc ; Nếu a b ac bc Ví dụ: 3 3 Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho 2.3 Tính chất bắc cầu thứ tự Với ba số a, b c ta thấy: +) Nếu a b b c a c (tính chất bắc cầu) +) Nếu a b b c a c (tính chất bắc cầu) Tương tự dấu hc B Các dạng tập: Dạng 1: So sánh Phương pháp: Áp dụng tính chất liên hệ thứ tự phép cộng; liên hệ thứ tự phép nhân để thực so sánh Bài 1: Cho a b Hãy so sánh a) 4a 4b b) 5b 5a c) 3b 3a d) 2a 2b Giải a) Theo ta có a b , nhân hai vế bất đẳng thức với 4 ta được: a b 4 a 4 b 4a 4b 1 Cộng vào hai vế bất đẳng thức 1 với , ta được: 4a 4b 4a 4b Vậy 4a 4b b) Theo ta có a b nhân hai vế bất đẳng thức với 5 ta được: a b 5 a 5 b 5a 5b 1 Cộng vào hai vế bất đẳng thức 1 với , ta được: 5a 5b 5a 5b Vậy 5a 5b c) Theo ta có a b nhân hai vế bất đẳng thức với ta được: 1 a b 3a 3b Cộng vào hai vế bất đẳng thức 1 với 1 , ta được: 3a 3b 3a 3b Vậy: 3a 3b d) Theo ta có a b nhân hai vế bất đẳng thức với ta được: 1 a b 2a 2b Cộng vào hai vế bất đẳng thức 1 với 3 , ta được: 2a 2b 2a 2b Vậy: 2a 2b Bài 2: Cho m n Chứng minh rằng: a) 2m 2n b) 4m 4n c) m n d) 2m 2n Giải a) Theo ta có m n , nhân hai vế bất đẳng thức với ta được: 1 m n 2m 2n Cộng vào hai vế bất đẳng thức 1 với 1, ta được: 2m 2n 2m 2n ®pcm b) Theo ta có m n , nhân hai vế bất đẳng thức với ta được: 1 m n 4m 4n Cộng vào hai vế bất đẳng thức 1 với 2, ta được: 4m 4n 4m 4n 2 Ta có bất đẳng thức ,cộng hai vế với 4n ta được: 4n 4n 3 Từ 3 theo tính chất bắc cầu ta suy ra: 4m 4n ®pcm c) Theo ta có m n , cộng hai vế bất đẳng thức với ta được: 1 m n m 1 n 1 Ta có bất đẳng thức 1, cộng hai vế với n ta 2 n 1 n 1 Từ 1 theo tính chất bắc cầu ta suy ra: m n ®pcm d) Theo ta có m n , nhân hai vế bất đẳng thức với -2 ta được: m n 2m 2n 1 Cộng vào hai vế bất đẳng thức 1 với 2, ta được: 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2 Ta có bất đẳng thức , cộng hai vế với 2m ta được: 2m 2m 3 Từ 3 theo tính chất bắc cầu ta suy ra: 2m 2n ®pcm Bài 3: Cho n m Chứng minh rằng: a) 2n2 2mn b) 3mn 3m2 c) n2 m2 d) 3n3 3m3 Giải a) Theo ta có n m , nhân hai vế bất đẳng thức với 2n ta được: n m 2n.n 2n.m 2n2 2mn ®pcm b) Theo ta có n m , nhân hai vế bất đẳng thức với -3n ta được: n m 3m.n 3m.m 3mn 3m2 ®pcm c) Theo ta có n m , nhân hai vế bất đẳng thức với m ta được: n m m.n m.m mn m2 1 Nhân hai vế bất đẳng thức n m với n ta được: n m n.n m.n n2 mn 2 Từ 1 theo tính chất bắc cầu ta suy ra: n2 m2 ®pcm d) Theo ta có n m , nhân hai vế bất đẳng thức với 3m2 ta được: n m 3m2 n 3m2 m 3m2 n 3m3 1 Nhân hai vế bất đẳng thức n m với 3n ta n m 3n.n 3n.m 3n2 3mn Nhân hai vế bất đẳng thức với m ta 3n2 3mn 3mn2 3m2 n 2 Nhân hai vế bất đẳng thức n m với 3n2 ta được: n m 3n2 n 3n2 m 3n3 3n2 m Từ 1 , 3 theo tính chất bắc cầu suy ra: 3n3 3m3 ®pcm 3