Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 76 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
A.TÍCH PHÂN PHẦN 1: TĨM TẮT LÝ THUYẾT I.Ngun hàm 1.Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K, F'(x) = f(x), với x K Định lý Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f(x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f(x) f (x)dx = F(x) + C , F(x) nguyên hàm f(x), C số d Bảng nguyên hàm Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp kdx=kx + C,k R x dx = Nguyên hàm hàm số hợp u=u(x) kdu=ku + C,k R x +1 + C( −1) 1+ u du = + u +1 + C( −1) dx = ln x + C(x 0) x dx x =2 x +C x x e dx = e + C du = ln u + C(x 0) u du u =2 u+C u u e du = e + C ax a dx = lna + C(0 a 1) cosxdx = sinx + C au a du = lna + C(0 a 1) cosudu = sinu+ C sinxdx = − cosx + C sinudu = − cosu+ C x dx dx 2 cos x = tanx + C; sin x u = − cot x + C du dx 2 cos u = tanu+ C; sin x = − cotu+ C Ngồi cịn số cơng thức thường gặp k (ax + b) dx = (ax + b)k +1 + C,(a 0,k −1); a k +1 dx = eax + b + C; a sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C e ax + b 1 cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C Một số tính chất nguyên hàm Định lý Nếu F(x), G(x) tương ứng nguyên hàm f(x), g(x) a f '(x)dx = f (x) + C ax + b dx = a ln ax + b + C,a f (x) g(x)dx = f (x)dx g(x)dx = F(x) G(x) + C ; c a.f (x)dx = a f (x)dx=aF(x)+C(a 0) b Một số phương pháp đổi nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f(u) liên tục cho f[u(x)] xác định K Khi F nguyên hàm f, tức f (u)du = F(u) + C f[u(x)]dx = F[u(x)] + C b Phương pháp tích phân phần Một số dạng thường gặp: Dạng P(x).eax + bdx, P(x)sin(ax + b)dx, P(x) cos(ax + b)dx Cách giải: Đặt u = P(x), dv = eax + bdx (dv = sin(ax+b)dx, dv = cos(ax+b)dx) Dạng P(x) ln(ax + b)dx Cách giải: Đặt u = ln(ax+b), dv = P(x)dx II Tích phân Định nghĩa Cho hàm f(x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F(x) nguyên hàm f(x) hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân f(x) từ a đến b ký hiệu b b a a f (x)dx Trong trường hợp a < b f (x)dx tích phân f [a;b] Tính chất Cho hàm số f(x), g(x) liên tục K a,b,c ba số thuộc K a • f (x)dx = • a • b c b a a c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx b b • b a a b f (x)dx = − f (x)dx b b a a k.f (x)dx = k f (x)dx b • [f (x) g(x)]dx = f (x)dx g(x)dx a a a Một số phương pháp tính tích phân • Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số b u(b) a u(a) f[u(x)]u'(x)dx = f (u)du Trong f(x) hàm số liên tục u(x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm hợp f[u(x)] xác định J; a, b J Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách 1: Đặt ẩn phụ u = u(x) (u hàm x) Cách 2: Đặt ẩn phụ x = x(t) (x hàm số t) Đối với nguyên hàm nói chung tích phân nói riêng cần ý số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ sau : Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t mẫu Hàm f (x, (x)) Đặt t = (x) Hàm f (x, n (x), m (x)) Hàm f (x) = Đặt t = mn (x) a sin x + b cos x c sin x + d cos x + e Đặt t = tan x Hàm lẻ với sinx Đặt t = cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t = sin x Hàm chẵn với sinx cosx t = tan x x = a sin t, − t x = a cos t, t a2 − x2 a ,− t ;t x = sin t 2 a , t ; t x = cos t x = a tan t, − t x = a cot t, t x2 − a2 x2 + a2 a+x a−x a−x a+x Đặt x = a cos 2t (x − a)(b − x) Đặt x = a + (b − a)sin t Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u(x), v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a,b hai số thuộc K b b b u(x)v '(x) dx = u(x)v(x) − v(x)u '(x) dx a a a Ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng • Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a ;b] diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = b f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b S = f (x) dx a • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b b S = f (x) − g(x) dx a Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn ta phải "phá" dấu giá trị tuyệt đối b a a b b b a a • Nếu f (x) 0; x [a; b ] S = f (x) dx = f (x)dx • Nếu f (x) 0; x [a; b ] S = f (x) dx = −(f (x))dx Chú ý: Muốn "phá" dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu biểu thức f(x) Thường có hai cách làm sau: - Cách 1: Dùng định lí "dấu nhị thức bậc nhất", định lý "dấu tam thức bậc hai" để xét dấu biểu thức f(x); phải giải bất phương trình f (x) 0,f (x) đoạn [a;b] - Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) đoạn [a;b] để suy dấu f(x) đoạn Nếu đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía "trên" trục hồnh f (x) 0; x [a; b ] Nếu đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía "dưới" trục hồnh f (x) 0; x [a; b ] b b a a - Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu [a;b] ta có S = f (x) dx = f (x)dx • Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox b điểm a, b V = S(x)dx Trong S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng a vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x [a; b] S(x) hàm liên tục • Tính thể tích khối trịn xoay • Hàm số y = f(x) liên tục không âm [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên khối trịn xoay Thể b tích V tính công thức V = f (x)dx a • Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y), trục tung hai đường thẳng y = c, y = d quay d quanh trục tung tạo nên khối trịn xoay Thể tích V tính cơng thức V = g (y)dy c PHẦN 2: BÀI TẬP MINH HỌA Dạng 1: Tích phân hàm hữu tỷ x2 dx x − 7x + 12 Bài 1: Tính tích phân I = Hướng dẫn: I = (1 + 16 − )dx = (x + 16 ln x − − ln x − ) = + 25ln − 16 ln x −4 x −3 dx x + x3 1 1 x =− + + Hướng dẫn: Ta có x (x + 1) x x x +1 1 3 2 I = − ln x − + ln(x + 1) = − ln + ln + 2x 2 1 Bài 2: Tính tích phân I = Bài 3: Tính tích phân I = xdx (x + 1)3 Hướng dẫn: x x +1 −1 = = (x + 1) −2 − (x + 1) −3 I = (x + 1) −2 − (x + 1) −3 dx = Ta có: 3 (x + 1) (x + 1) Bài 4: Tính nguyên hàm I = (x − 1) dx (2x + 1) x −1 Hướng dẫn: Ta có: f (x) = 2x + x7 Bài 5: Tính tích phân I = dx (1 + x )5 x −1 x −1 I= +C 2x + 2x + ' (t − 1)3 1 dt = 21 t 2 Hướng dẫn: Đặt t = + x dt = 2xdx I = Bài 6: Tính tích phân I = x (1 − x )6 dx −dt t t8 Hướng dẫn: Đặt t = − x dt = −3x dx dx = I = t (1 − t)dt = − = 3x 30 168 Bài 7: Tính tích phân I = x (1 − x )6 dx −dt t t8 Hướng dẫn: Đặt t = − x dt = −3x dx dx = I = t (1 − t)dt = − = 3x 30 168 x 2001 dx Bài 8: Tính tích phân I = 1002 (1 + x ) Hướng dẫn: Ta có: I = x 2000 2xdx Đặt t = + x dt = 2xdx 2000 2 (1 + x ) (1 + x ) (t − 1)1000 1 I = 1000 dt = 1 − 21 t t 1 t 2 1000 1 d 1 − = 1001 t 2002.2 1+ x2 +1 dx Bài 9: Tính tích phân I = x + x2 +1 1 1+ 2 x +1 1 x = Hướng dẫn: Ta có Đặt t = x − dt = 1 + dx x − x +1 x2 + −1 x x x dt du Đặt t = tan u dt = I = du = cos u t +1 0 Dạng 2: Tích phân hàm vơ tỷ x Bài 1: Tính nguyên hàm I = dx 3x + 9x − x Hướng dẫn: Ta có I = dx = x(3x − 9x − 1)dx = 3x 2dx − x 9x − 1dx 3x + 9x − Lại có I1 = 3x dx = x + C1 I= I = x 9x − 1dx = I= 1 2 2 9x − 1d(9x − 1) = (9x − 1) + C2 18 27 (9x − 1) + x + C 27 Bài 2: Tính ngun hàm I = Hướng dẫn: Ta có Lại có: I = x x2 + x 1+ x x x2 + x 1+ x x dx = dx x2 1+ x x dx + x 1+ x x dx 1+ x x dx 3 2 2 Đặt t = + x x t − = x x x = (t − 1) x dx= t(t − 1)dt 4 4 (t − 1)dt = t + t + C = + x x − + x x + C1 9 Đối với I = x 1+ x x dx = d(1 + x x ) = + x x + C2 1+ x x 3 4 Vậy I = + x x + C 9 Bài 3: Tính tích phân I = 3 Hướng dẫn: x −3 x +1 + x + dx 2t − 8t dt = (2t − 6)dt + 6 dt = −3 + 6ln Đặt t = x + 2tdu = dx I = t +1 t + 3t + 1 Bài 4: Tính tích phân I = 2x + x − x +1 dx x + = t x = t − dx = 2tdt 2 4t 54 2(t − 1) + (t − 1) − I= 2tdt = 2 (2t − 3t )dt = − 2t = t 1 1 Hướng dẫn: Đặt Bài 5: Tính tích phân I = x x2 + 3x + dx Hướng dẫn: Đặt t = 3x + dx = 3tdt t2 − 1 +1 4 2tdt t − 100 I = = t − t + ln = + ln 9 t + 27 t −1 2 t Bài 6: Tính tích phân I = (x − 1)3 2x − x dx 2x − x dx = (x − 2x + 1) 2x − x (x − 1)dx Hướng dẫn: I = (x − 1) 0 15 2x3 − 3x + x Đặt t = 2x − x I = − Bài 7: Tính tích phân I = x − x +1 dx Hướng dẫn: 1 1+ x − 1+ x2 1+ x − 1+ x2 1 1+ x2 dx = dx = + dx − −1 (1+ x)2 − (1+ x2 ) −1 −1 2x dx 2x −1 x Ta có: I = 1 1 + I = + 1 dx = ln x + x −1 = −1 x 2 + I2 = −1 1+ x2 dx Đặt t = + x t = 1+ x 2tdt = 2xdx I = 2x Vậy I = Bài 8: Tính tích phân I = − x2 dx x t 2dt 2(t − 1) = − x2 xdx Đặt t = − x t = − x tdt = −xdx x Hướng dẫn: Ta có: I = t(−tdt) I = = − t 0 t2 t −2 t − dt = (1+ t − 4)dt = t + ln t + 3 Bài 9: Tính tích phân I = x (1+ Hướng dẫn: Đặt + + x = t I = 2t − 16 + Bài 10: Tính tích phân I = dx 42 36 − dt = −12 + 42ln t t dx (1 + x ) 3 Hướng dẫn: Đặt t = + x I = 3 2− = − + ln + + x )2 (2 + + x )2 0 + x3 t2 dt = t (t − 1) dt t (t − 1) 3 = dt t t 1− t = dt 3 t 1− t 3 − 2 t3 = dt t4 3dt u 1 Đặt u = − du = I = du = u du = 30 3 t t 2 Bài 11: Tính tích phân I = − − u3 1 1 = u3 = 0 x4 dx 1 x − x x +1 Hướng dẫn: Đặt t = x + 3 (t − 1)2 t − 2t + 1 19 4+ I = dt = dt = t dt + dt = + ln 2 2 t − − t2 − 2 t −2 27 Bài 12: tính tích phân I = x −2 x+ x2 dx Hướng dẫn: t3 − 2t 5 Đặt t = x I = dt = 1 − + − dt = 5 − + ln − t t + t + 1 12 t(t + 1) (x Bài 13: Tính tích phân I = + x ) − x dx −2 Hướng dẫn: I = (x −2 + x ) − x dx = x 2 −2 − x dx + x − x dx = A + B −2 + Tính A = x − x dx Đặt t = -x Tính A = − x dx Đặt x = 2sint Tính B = 2 −2 + Tính B = x −2 Vậy: I = 2 Bài 14: Tính tích phân I = (3 − ) − x dx 2x 4 − x dx Hướng dẫn: I = dx − 2x 2x 2 2 3 + Tính I = dx = x −4dx = 21 16 2x + Tính I = − x2 dx Đặt x = 2sint dx = 2costdt 2x cos tdt 1 12 I2 = = cot t dt = − cot t.d(cot t) = sin t 8 8 sin t 2 Vậy: I = 6 (7 − 3) 16 Bài 15: Tính tích phân I = x − 1dx x u = x − du = dx Hướng dẫn: Đặt x2 − v = x dv = dx 3 x x x2 − − x dx = − x − + dx 2 2 x −1 x −1 2 3 dx = − x − 1dx − = − − ln x + x − x2 − 2 I= − ln( + 1) + ln2 Dạng 3: Tích phân hàm lượng tam giác 8cos2 x − sin2x − dx Bài 1: Tính nguyên hàm I = sinx − cosx Hướng dẫn: (sinx − cosx)2 + 4cos2x dx = (sinx − cosx − 4(sinx + cosx) dx = 3cosx − 5sinx + C sinx − cosx cot x − t − 2tan2x dx Bài 2: Tính nguyên hàm I = sin4x I= Bài 5: Cho số phức z1;z thỏa mãn z1 = 1;z z − (1 − i) − + 2i số thực Tìm số phức z1;z cho P = z − (z1 z + z1z ) đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn: Gọi z1 = a + bi;z = c + di; (a;b;c;d ) M(a; b), N(c; d) biểu diễn cho z1;z hệ tọa độ Oxy z1 = a + b = a + b = M thuộc đường trịn (T) có tâm O, bán kính R = z = c − di; = z z − (1 − i) − + 2i = (c − di) (c − 1) + (d + 1)i + − 6i = c(c – 1) + d(d+1) + +[c(d + 1) – d(c – 1) – 6]i số thực c(d + 1) − d(c − 1) − = c + d − = N thuộc đường thẳng : x + y − = Ta có d(O; ) nên (T) khơng có điểm chung z1 z2 = ac + bd + (bc − ad)i; z1z = ac + bd + (−bc + ad)i z1 z + z1z = 2(ac + bd) P = c2 + d2 − 2(ac + bd) = (c − a)2 + (b − d)2 − = MN2 − (vì a + b = ) Gọi H hình chiếu vng góc O : x + y − = H(3;3) 2 ; Đoạn OH cắt đường tròn (T) I 2 Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường tròn (T), ta có: MN ON − OM OH − OI = IH = − Đẳng thức xảy M I; N H P (3 − 1)2 − = 18 − Đẳng thức xảy z1 = Vậy P đạt giá trị nhỏ 18 − z1 = 2 + i; z = + 3i 2 2 + i; z = + 3i 2 PHẦN 3: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho số phức z = a + bi Tìm mệnh đề mệnh đề sau A z + z = 2bi B z − z = 2a C z.z = a − b Câu Tìm số phức liên hợp số phức z = a + (a – b)i A z = a + (b − a)i B z = a − bi C z = a + (a − b)i D z = z D z = a − bi Câu Cho số phức z = a + bi Tìm phần thực số phức z 2 2 A a + b B a − b C a + b D a – b Câu Tìm số phức liên hợp số phức: z = – 3i A z = − i B z = −1 + 3i C z = + 3i D z = −1 − 3i Câu Tìm mơđun số phức: z = + 3i A 13 B C D Câu Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng phức Oxy B Số phức z = a + bi có mơđun a + b2 a = b = C Số phức z = a + bi = D Số phức z = a + bi có số phức đối z' = a – bi Câu Tìm điểm biểu diễn số phức z = – 2i mặt phẳng Oxy A (1; -2) B (-1; -2) C (2; -1) Câu Với giá trị x, y để số phức sau nhau: x + 2i = – yi A x = 2; y = B x = -2; y = C x = 3; y = Câu Với giá trị x, y (x+ y) + (2x – y)i = – 6i A x = -1; y = B x = -1; y = -4 C x = 4; y = -1 Câu 10 Cho hai số phức z = a + bi z' = a' + b'i Tìm phần thực số phức zz' A a + a' B aa' C aa' – bb' Câu 11 Cho số phức z = 2016 – 2017i Tìm điểm biểu diễn số phức đối z A (2016; 2017) B (-2016; -2017) C (-2016; 2017) Câu 12 Cho số phức z = ( ) D (2; 1) D x = 3; y = -2 D x = 4; y = D 2bb' D (2016; -2017) 2 + 3i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực –7, phần ảo 2i B Phần thực 7, phần ảo C Phần thực –7 phần ảo D Phần thực phần ảo 2i Câu 13 Cho số phức z = – 3i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực 46 phần ảo –9i B Phần thực –46 phần ảo –9i C Phần thực 46 phần ảo –9i D Phần thực –46 phần ảo –9 Câu 14 Tính mơđun số phức z = (1 + i) A z = 2 Câu 15 Cho số phức z = − A − − i 2 B z = () + i Tìm số phức z 2 i B − + 2 C z = D z = −2 C + 3i D −i Câu 16 Cho hai số phức z = + 3i z' = – 2i Tính mơđun số phức z + z' A z + z ' = 10 B z + z ' = 2 C z + z ' = D z + z ' = 10 Câu 17 Cho hai số phức z = – 4i z' = – 2i Tính mơđun số phức z – z' A z − z ' = B z − z ' = C z − z ' = D z − z ' = Câu 18 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 2z − iz = + 5i A z = + 4i B z = – 4i C z = – 3i D z = + 3i Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 − i)z = − 9i Tìm mơđun z A 13 B 82 C z = + 3i D z = −1 − 3i Câu 20 Tìm mơ đun số phức: z = + 3i A 13 B C D 13 Câu 21 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng phức Oxy B Số phức z = a + bi có mơđun a + b2 a = b = C Số phức z = a + bi = D Số phức z = a + bi có số phức đối z' = a – bi Câu 22 Tìm số phức nghịch đảo số phức z = − 3i A z −1 = + i 2 B z −1 = + i 4 C z −1 = + 3i D z−1 = −1 + 3i Câu 23 Tìm tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z = a + A y = x B y = 2x C y = -x D y = -2x Câu 24 Tìm tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z = + bi với b A x = B y = C y = x D y = x + Câu 25 Cho số phức z = a + a i với a Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức liên hợp z A Đường thẳng y = 2x B Đường thẳng y = -x +1 C Parabol y = x D Parabol y = −x Câu 26 Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = có hình dạng nào? A Đường thẳng B Đường tròn C Đoạn thẳng D Hình vng Câu 27 Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 2i = có hình dạng nào? A Đường thẳng B Đường trịn C Đoạn thẳng D Hình vng Câu 28 Cho hai số phức z = a + bi z' = a' + b'i Tìm điều kiện a, b, a', b' để z + z' số thực a,a ' b + b ' = A a + a ' = b, b ' B a + a ' = b = b ' C a + a ' = b + b ' = D Câu 29 Cho hai số phức z = a + bi z' = a' + b'i Tìm điều kiện a, b, a', b' để z + z' số ảo a,a ' b + b ' = A a + a ' = b, b ' B a + a ' = b = b ' C a + a ' = b + b ' = D Câu 30 Cho hai số phức z = a + bi z' = a' + b'i Tìm điều kiện a, b, a', b' để z.z' số thực A aa' + bb' = B aa' – bb' = C ab' + a'b = D ab' – a'b = Câu 31 Cho hai số phức z = a + bi z' = a' + b'i Tìm điều kiện a, b, a', b' để z.z' số thực A aa' + bb' = B aa' – bb' = C ab' + a'b = D ab' – a'b = Câu 32 Cho hai số phức z = a + bi z' = a' + b'i Tìm điều kiện a, b, a', b' để z.z' số ảo A aa' = bb' B aa' = -bb' C a' + a' = b + b' D a' + a' = Câu 33 Cho (x + 2i) = yi (x, y ) Tìm giá trị x y A x = y = x = –2 y = –8 B x = y = 12 x = –3 y = –12 C x = y = x = –1 y = –4 D x = y = 16 x = y = –16 Câu 34 Cho (x + 2i) = 3x + yi (x, y ) Tìm giá trị x y A x = y = x = –1 y = –2 B x = –1 y = –4 x = y = 16 C x = y = x = y = –4 D x = y = x = y = Câu 35 Tìm số phức z, biết: (3 − i)z − (2 + 5i)z = −10 + 3i A z = – 3i B z = + 3i C z = –2 + 3i Câu 36 Tìm số phức z, biết: (2 − i) z − (5 + 3i)z = −17 + 16i A z = + 4i B z = – 4i C z = –3 + 4i Câu 37 Tìm số phức z biết z = phần thực lớn phần ảo đơn vị A z1 = + 3i, z = + 4i C z1 = + 3i, z = −3 − 4i D z = –2 – 3i D z = –3 – 4i B z1 = −4 − 3i, z = −3 − 4i D z1 = −4 − 3i, z = + 4i Câu 38 Tìm số phức z biết z = 20 phần thực gấp đôi phần ảo A z1 = + i, z = −2 − i C z1 = −2 + i, z = −2 − i B z1 = − i, z = −2 + i D z1 = + 2i, z = −4 − 2i Câu 39 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z số thực âm A Trục hoành (trừ gốc tọa độ O) B Đường thẳng y = x (trừ gốc tọa độ O) C Trục tung (trừ gốc tọa độ O) D Đường thẳng y = –x (trừ gốc tọa độ O) Câu 40 Cho số phức z thỏa mãn: z + = Tìm mơđun z A 26 B C D Câu 41 Tìm môđun số phức z = + i − (2 + 3i)(1 − i) A B C D –2 Câu 42 Cho x, y số thực Hai số phức z = + i z = (x + 2y) – yi nào? A x = 5, y = –1 B x = 1, y = C x = 3, y = D x = 2, y = –1 Câu 43 Cho x, y số thực Số phức: z = + xi + y + 2i nào? A x = 2, y = B x = –2, y = –1 C x = 0, y = D x = –1, y = –2 Câu 44 Cho x số thực Số phức: z = x(2 – i) có mơ đun nào? A x = B x = C x = –1 D x = − Câu 45 Cho số phức: z = + i Tính giá trị biểu thức z.z A B C Câu 46 Cho hai số phức: z1 = + 2i, z = −2 − i Tính giá trị biểu thức z1.z A B C 25 Câu 47 Cho số phức z có phần ảo gấp hai phần thực z + = D D Tính mơ đun z D A 26 B C Câu 48 Cho z có phần thực số nguyên z − 2z = −7 + 3i + z Tính mơ đun số phức: w = − z + z2 A w = 37 B w = 457 C w = 425 D w = 445 Câu 49 Cho z có phần thực số nguyên z − 3z = −11 − 6i + z Tính mơ đun số phức: w = + z − z2 A w = 23 B w = C w = 443 D w = 445 Câu 50 Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Biết tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: z − + i = đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn A Có tâm (-1; -1) bán kính B Có tâm (1; -1) bán kính C Có tâm (-1; 1) bán kính D Có tâm (1; -1) bán kính Câu 51 Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Biết tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: + z = − i đường thẳng Viết phương trình đường thẳng A –4x + 2y + = B 4x + 2y + = C 4x – 2y – = D 2x + y + = Câu 52 Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Biết tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: z + z + = hai đường thẳng Viết phương trình đường thẳng 7 x = B x = − x = − 2 2 7 C x = x = − D x = − x = 2 2 Câu 53 Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Biết tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: z + z + − i = hai đường thẳng Viết phương trình đường thẳng A x = 1+ 1− −1 − 1− y = B y = y = 2 2 1+ 1+ −1 − −1 + C y = y = − D y = y = 2 2 Câu 54 Tìm số phức z thỏa mãn: z − (2 + i) = 10 z.z = 25 A y = A z = + 4i z = B z = -3 + 4i z = -5 C z = – 4i z = D z = + 5i z = Câu 55 Gọi z1 z nghiệm phương trình z − 2z + = Tính P = z14 + z24 A P = 14 B P = -14 C P = 14i D P = -14i Câu 56 Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm pt: z + 2z + = Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z1 A M(-1; 2) B M(-1; -2) C M(−1; − 2) D M(−1; − i) Câu 57 Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn z − 3z + = Tìm mơ đun số phức: = 2z − + 14 A B 17 C 24 D Câu 58 Gọi z1 z nghiệm phương trình z − 2z + = Tính F = z1 + z A 10 B C D Câu 59 Cho số phức z thỏa mãn: (3 + 2i)z + (2 − i) = + i Tính hiệu phần thực phần ảo số phức z A B C D 1+ i 1− i + Câu 60 Cho số phức z = Trong kết luận sau kết luận đúng? 1− i 1+ i A z B z số ảo C Mơ đun z D z có phần thực phần ảo 2016 i Câu 61 Biểu diễn dạng z = a + bi số phức z = số phức nào? (1 + 2i) −3 4 + i − i C 25 25 25 25 (2 − 3i)(4 − i) Câu 62 Tìm điểm biểu diễn số phức z = + 2i A (1; -4) B (-1; -4) C (1; 4) Câu 63 Tìm nghiệm phương trình i.z + 2017 – i = A + 2017i B – 2017i C –1 – 2017i A + i 25 25 B D −3 − i 25 25 D (-1; 4) D –2017 + i z +1 Câu 64 Cho số phức z = x + yi (x, y R) Tìm phần ảo số phức z −1 −2x −2y xy x+y A B C D 2 2 2 (x − 1) + y (x − 1) + y (x − 1) + y (x − 1) + y = 1− i Câu 65 Trong C, giải phương trình z +1 A z = – i B z = + 2i C z = – 3i D z = +2i Câu 66 Cho phương trình z + bz + c = Giả sử phương trình có nghiệm z = + i Tìm giá trị b c (b, c số thực) A b = 3, c = B b = 1, c = C b = 4, c = D b = -2, c = Câu 67 Cho phương trình z + az + bz + c = Giả sử z = + i z = hai nghiệm Tìm giá trị a, b, c (a, b, c số thực) a = −4 A b = c = −4 a = B b = c = a = C b = c = a = D b = −1 c = Câu 68 Số phức sau số thực − 2i + 2i + 2i − 2i − 2i + 2i + 2i − 2i + + + + B z = C z = D z = − 4i − 4i − 4i + 4i − 4i + 4i − 4i + 4i Câu 69 Gọi z1 z nghiệm phương trình z − 4z + = Gọi M, N điểm biểu diễn z1 z mặt phẳng phức Tính độ dài MN A z = A MN = B MN = C MN = −2 D MN = Câu 70 Gọi z1 z nghiệm phương trình z − 4z + = Gọi M, N, P điểm biểu diễn z1 , z số phức k = x + iy mặt phẳng phức Tìm tập hợp điểm P mặt phẳng phức để tam giác MNP vng P A Đường thẳng có phương trình y = x − B Đường trịn có phương trình x − 2x + y2 − = C Đường trịn có phương trình x − 2x + y2 − = , khơng chứa M, N D Đường trịn có phương trình x − 2x + y2 − = , không chứa M, N Câu 71 Gọi z1 z nghiệm phương trình z + A P = B P = Câu 72 Biết số phức z thỏa mãn phương trình z + = −1 Tính giá trị P = z13 + z 23 z C P = D P = 1 = Tính giá trị P = z 2016 + 2016 z z A P = B P = C P = D P = Câu 73 Gọi z1 z nghiệm phương trình z − 2z + 10 = Gọi M, N, P điểm biểu diễn z1 , z số phức k = x + iy mặt phẳng phức Tìm số phức k để tam giác MNP A k = + 27 hay k = − 27 B k = + 27i hay k = − 27i C k = 27 − i hay k = 27 + i D Một đáp số khác i + i + i 2010 + i 2011 + i 2012 Câu 74 Tìm phần thực phần ảo z = 2013 2014 2015 2016 2017 i +i +i +i +i 2008 2009 A 0; -1 B 1; C -1; D 0; Câu 75 Gọi z1 z nghiệm phương trình z − 4z + = Gọi M, N điểm biểu diễn z1 z mặt phẳng phức Tính độ dài MN C MN = −2 D MN = Câu 76 Gọi z1 z nghiệm phương trình z − 4z + = Gọi M, N điểm biểu diễn A MN = B MN = z1 z mặt phẳng phức Tính độ dài MN A MN = B MN = C MN = −2 D MN = Câu 77 Gọi z1 , z , z ba nghiệm phương trình z − = Tính M = z1 + z 2 + z32 A M = B M = C M = D M = Câu 78 Tìm số phức z cho z − (3 + 4i) = biểu thức P = z + − z − i đạt giá trị lớn A + i B + 2i C + 5i Câu 79 Cho số phức z có tập nghiệm biểu diễn trục hồnh Nếu z = D + 3i z '+ tập điểm biểu diễn z' z '− phần hình A Trục tung B Đường trịn C Trục hồnh D Hình trịn Câu 80 Cho hình vng ABCD có tâm H A, B, C, D, H điểm biểu diễn cho số phức a, b, c, d, h Tính mơđun số phức b biết a = −2 + i;h = + 3i số phức b có phần ảo dương A 2 B 26 C Câu 81 Tìm mơđun số phức z thỏa mãn: (1 – 2i)(z +1) + 4i(i – 1) = – 21i A z = B z = C z = D D z = Câu 82 Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn zz = đường trịn có tâm I Tìm I A I(0; 0) B I(1; 0) C I(-1; 1) D I(0; 1) Câu 83 Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z − 2iz − = Tính mơđun số phức = (z1 − 2)(z − 2) A = B = Câu 84 Cho số phức z = x + yi; x, y T = (z − 2) + (4 − z) A 21007 2021 C = D = thỏa mãn z = 18 + 26i Tìm giá trị biểu thức 2012 B −21007 C Câu 85 Cho số phức z = – 4i Xác định bậc số phức z A − i, − + i B i C −2 + i, − − i 1007 D −21006 D 2i Câu 86 Cho số phức z thỏa mãn phương trình (1 + 2i).z =1 – 2i Tìm phần ảo số phức = 2iz + (1 − 2i)z C 5 Câu 87 Cho số phức z thỏa mãn z = z Khẳng định đúng? A B D A Phần thực z lớn B z nhận giá trị số thực số ảo C Chỉ có số phức ảo z thỏa mãn z = z D z = 1+ i Câu 88 Cho z = , tính z + z + z + z 1− i A B C Câu 89 Cho số phức tùy ý z Xét số phức = Mệnh đề A số thực, số thực C số thực, số ảo i D −i − z2 + z z −1 () 2005 = z3 − z + z +z z −1 () B số ảo, số thực D số ảo, số ảo () Câu 90 Kí hiệu z1 , z , z3 , z bốn nghiệm phức phương trình z () − z − = Tính tổng T = z1 + z + z3 + z A B + C + 2 D + 2 Câu 91 Điểm M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình 3(z + 1) = 4z + i(7 − i) Tìm tọa độ điểm M A M(-2; 1) B M(-2; -1) C M(2; 1) D M(1; 2) 1− i = 5−i 1+ i C 2 Câu 92 Tính mơđun số phức = z + z , với (2 + i).z + A B D Câu 93 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn z − i = z − z + 2i A Đường tròn tâm I 0;1 Bán kính R = C Đường trịn tâm I ;1 Bán kính R = x2 B Parabol y = y2 D Parabol x = Câu 94 Cho số phức z thỏa mãn: z − + 3i = Tìm số phức z có mơđun nhỏ + i 5 Câu 95 Giải phương trình 2z2 − 3z + = (1 i) (1 i) A B 6 A z = + 3i B z = C z = + C i (1 i) D z = – 4i D (1 i) Câu 96 Cho số phức z thỏa mãn z = , biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (2 − i)(z + 2) − đường trịn Tính chu vi đường trịn A 2 B 3 C 6 D 4 Câu 97 Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C ba điểm biểu diễn số phức z1 , z , z Biết z1 = z = z3 Trong khẳng định sau đây, khẳng định A Trọng tâm tam giác ABC điểm biểu diễn số phức z1 + z + z3 B Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp gốc tọa độ O C Tam giác ABC có trọng tâm gốc tọa độ O D Tam giác ABC tam giác Câu 98 Cho số phức w, z, u có biểu diễn hình học thỏa mãn: w năm góc phần tư thứ (I), z nằm góc phần tư thứ (II), u nằm chiều âm trục thực Khẳng định sau ? A u = z.w; u = z – w C u = z.w; u = z + w B z = u.w; u = z + w D z = u.w; u = z – w Câu 99 Cho số phức z thỏa mãn z + i − = z − 2i Tìm giá trị nhỏ z A B C D Câu 100 Cho hai số phức w z thỏa mãn w – + 2i = z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(-2; 3), bán kính r = Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w A Đường trịn, tọa độ tâm (-3; 5) bán kính B Đường thẳng song song trục tung C Đường thẳng song song trục hồnh D Đường trịn, tọa độ tâm (-1; 1) bán kính Câu 101 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z + − 3i A Đường trịn tâm I(1; 3), bán kính R = C Hình trịn tâm I(-1; 3), bán kính R = B Đường trịn tâm I(-1; 3), bán kính R = D Hình trịn tâm I(-1; 3), bán kính R = 2 z = 10 Câu 102 Tìm phần thực số phức z biết: z + z A 10 B 10 C D -5 Câu 103 Cho số phức z1 = + 2i; z = −3 + i; z3 = − i Đặt số phức z = z1z 2z3 = a + bi, (a,b R) Tính tổng a + b A -10 B 10 C -40 D 40 + 4i − 2(1 − i)3 Câu 104 Tìm số phức = 2.z1.z , biết z1 = − 3i + (1 − i) ; z = 1+ i A = 18 − 74i B = 18 − 75i C = 18 + 74i D = 18 + 75i Câu 105 Hình vẽ sau biểu diễn dạng hình học số phức z w Ở z nằm góc phần tư thứ (I) w nằm góc phần tư thứ (II) Số phức số phức sau nằm góc phần tư thứ (III) ? A w − z B z D − w C 2iz Câu 106 Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức: + 2i; (1 – i)(1 + 2i); + 6i Tính 3−i diện tích tam giác ABC A B C 5 D 13 − D Câu 107 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 3i = Tìm giá trị nhỏ z 13 − 2 13 Câu 108 Tìm số phức z có mơđun lớn thỏa mãn điều kiện z(1 + i) − + 2i = A A z = + 3i Câu 109 Cho số phức B C B C thỏa mãn D Tìm tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức A B Câu 110 Trên tập hợp số phức cho phương trình C (*) Gọi D nghiệm phương trình (*) Tìm mơđun số phức A B C Câu 111 Cho số phức z thỏa mãn: A B D Tìm số phức C D Câu 112 Tìm số phức z thỏa mãn A z = – i B z = + i Câu 113 Cho số phức z thỏa mãn: A Câu 114 Gọi C z = + 4i D z = Tính mơđun z B A C D hai nghiệm phức phương trình B Tính C T = D T = Câu 115 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện A Đường tròn tâm I(2, 1) bán kính B Đường trịn tâm I(2, 1) bán kính C Đường trịn tâm I(1, -2) bán kính D Đường trịn tâm I(1, -2) bán kính Câu 116 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện A Đường tròn tâm I(2, 1) bán kính 25 C Đường trịn tâm I(1, -2) bán kính 25 B Đường trịn tâm I(2, 1) bán kính 25 D Đường trịn tâm I(1, -2) bán kính Câu 117 Tìm modul số phức z, biết A B C D Xác định phần thực, phần ảo số Câu 118 Cho số phức phức z A Phần thực số phức z 10, phần ảo số phức z B Phần thực số phức z -10, phần ảo số phức z C Phần thực số phức z 4, phần ảo số phức z -10 D Phần thực số phức z 4, phần ảo số phức z 10 Câu 119 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện: A Đường trịn tâm I(5, 0) bán kính 25 C Đường trịn tâm I(5, 0) bán kính Câu 120 Tìm phần thực, phần ảo số phức B Đường tròn tâm I(0, 5) bán kính 25 D Đường trịn tâm I(0, 5) bán kính biết: A Phần thực số phức z , phần ảo số phức z B Phần thực số phức z , phần ảo số phức z C Phần thực số phức z , phần ảo số phức z D Phần thực số phức z , phần ảo số phức z Tính mơđun Câu 121 Cho số phức z thỏa mãn: A B C D Tìm phần thực, phần ảo Câu 122 Cho số phức z thỏa mãn: A Phần thực số phức z 15, phần ảo số phức z 17 B Phần thực số phức z 15, phần ảo số phức z -17 C Phần thực số phức z 15, phần ảo số phức z -17i D Phần thực số phức z -15, phần ảo số phức z -17 Câu 123 Cho số phức z thỏa mãn: A số thực B C Câu 124 Cho số phức z thỏa mãn: A Câu 125 Gọi Tìm số phức liên hợp z D B Tìm modul số phức z C D hai số phức thỏa mãn Hãy tính giá trị biểu thức A B C D Tìm phần thực, phần ảo Câu 126 Cho số phức z thỏa mãn: A Phần thực số phức z , phần ảo số phức z B Phần thực số phức z , phần ảo số phức z C Phần thực số phức z , phần ảo số phức z D Phần thực số phức z , phần ảo số phức z Câu 127 Cho số phức z thỏa mãn: Tìm modul A B C D Câu 128 Tìm số phức w = – 3i + z có modul lớn Biết z số phức cho A z = – 4i B z = + 4i Câu 129 Cho số phức z thỏa mãn: A Câu 130 Gọi biểu thức A C Tìm modul W biết B C hai số phức thỏa mãn B D D C Hãy tính giá trị D Câu 131 Gọi A, B hai điểm biểu diễn số phức thỏa mãn Tính diện tích tam giác OAB A B C D Câu 132 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 3z + – i biết z số phức thỏa mãn điều kiện có hình dạng nào? A Hình trịn B Đường thẳng Câu 133 Cho tập hợp số phức z thỏa mãn: A Giá trị nhỏ modul z C Đường tròn D Parabol Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn modul z , giá trị lớn modul z B Giá trị nhỏ modul z , giá trị lớn modul z C Giá trị nhỏ modul z 2, giá trị lớn modul z D Giá trị nhỏ modul z 2, giá trị lớn modul z Câu 134 Cho số phức thỏa mãn Hãy tính A P = B P = C P = -1 D P = -2 Câu 135 Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn modul A Giá trị nhỏ modul z , giá trị lớn modul z B Giá trị nhỏ modul z , giá trị lớn modul z C Giá trị nhỏ modul z , giá trị lớn modul z D Giá trị nhỏ modul z Câu 136 Cho số phức z thỏa mãn , giá trị lớn modul z Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn modul A Giá trị nhỏ modul z 1, giá trị lớn modul z B Giá trị nhỏ modul z 0, giá trị lớn modul z C Giá trị nhỏ modul z 4, giá trị lớn modul z D Giá trị nhỏ modul z 1, giá trị lớn modul z Câu 137 Cho tập hợp số phức z thỏa mãn: A Giá trị nhỏ modul z B Giá trị nhỏ modul z Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn modul z , giá trị lớn modul z , giá trị lớn modul z C Giá trị nhỏ modul z 2, giá trị lớn modul z D Giá trị nhỏ modul z 2, giá trị lớn modul z Câu 138 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ cho hình dạng ? A Một phần hình trịn B Một phần hypebol có C Một phần đường thẳng D Một phần đường trịn Câu 139 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + mặt phẳng tọa độ cho: A Đường tròn tâm I(-1, 1) bán kính C Đường trịn tâm I(-1, 1) bán kính Câu 140 Cho số phức A thỏa mãn B B Đường tròn tâm I(1, 1) bán kính D Đường trịn tâm I(1, 1) bán kính số thực Tìm modul z C D ... 20 11 20 11 4 024 20 11 8046 20 11 Đặt t = cotx I = t (1 + t )tdt = t + t 20 11 + C 4 024 8046 20 11 4 024 20 11 8046 20 11 = cot x+ cot 20 11 x + C 4 024 8046 Bài 12: Tính tích phân I = sin2 x (2 −... t = x + 3 (t − 1 )2 t − 2t + 1 19 4+ I = dt = dt = t dt + dt = + ln ? ?2 ? ?2 t − − t2 − 2 t ? ?2 27 Bài 12: tính tích phân I = x ? ?2 x+ x2 dx Hướng dẫn: t3 − 2t 5 Đặt t =... = 2 I= = += 2 3 Bài 13: Tính tích phân I = sin2x (2 + sinx) dx Hướng dẫn: I = 2 sin2x sinxcosx dx = 0 (2 + sinx )2 0 (2 + sinx )2 dx 1 t ? ?2 2 3 dt = − dt = lnt + = 2ln