BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH A Phương pháp giải Để giải được bài toán về điểm cố định ta có thể chứng minh theo các cách sau + Chứng minh khoảng cách từ một điểm cố định đến một điểm cố định khác[.]
Trang 1BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH A Phương pháp giải
Để giải được bài tốn về điểm cố định ta có thể chứng minh theo các cách sau:
+ Chứng minh khoảng cách từ một điểm cố định đến một điểm cố định khác thuộc đường thẳng là không đổi
+ Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường thẳng cố định
+ Để chứng minh điểm nằm trên đường tròn cố định ta cần chứng minh nó là điểm cuối hay trung điểm của một cung cố định
B Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) ln thay đổi và ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng và sắp
xếp theo thứ tự đó Kẻ AM, AN là hai tiếp tuyến với (O) I là trung điểm của BC AO cắt MN tại H và (O) tại P và Q (P nằm giữa A và O) BC cắt MN tại K
a) Chứng minh A, M, I, O, N thuộc cùng một đường tròn
b) Chứng minh tíchch AB.AC = AH.AO và K cố định khi (O) thay đổi
Hướng dẫn giải
a) + Xét tứ giác AMON có AMO ANO 900 900 1800mà hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác AMON nội tiếp đường tròn hay 4 điểm A,M,O,N cùng thuộc một đường trịn đường kính AO (1)
+ Trong đường trịn (O) có I là trung điểm của BC OI BC OIA900Suy ra điểm I thuộc đường trịn đường kính AO (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A,M,O,N, I cùng thuộc một đường tròn b) Xét tam giác AMB và tam giác ACM có:
Trang 2AMB ACM (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB) Suy ra hai tam giác AMB và ACM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc
AMABACAM (các cạnh tương ứng tỉ lệ) 2 3AMAB AC
+ Có OM ON( R),AM AM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra AO là đường trung trực của MN
Suy ra AO vuông góc với MN tại H
+ Xét tam giác AMO vng tại M có đường cao MH: 2
AMAB AC
(hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4) +Từ (3) và (4) suy ra A B \cdot A C=A H \cdot A O(5) + Xét tam giác AHK và tam giác AIO
90
AHK AIO
OAI : chung
Suy ra tam giác AHK và tam giác AlO đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (6)AHAKAH AO AK AIAIAO Từ (5) và (6) suy ra AK AI AB AC AKAB ACAI
Vì A,B,C cố định nên AB,AC,BC không đổi
Mà I là trung điểm của BC nên I cố định hay Al không đổi
Suy ra không đổi Suy ra AK không đổi hay K cố định (vì A cố định)
Ví dụ 2 Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB cố định Trên cùng một nửa mặt phẳng
bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên nửa đường trịn, lấy điểm C bất kì Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N
a) Tứ giác CMON là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh tích OM.OD + ON.OE khơng đổi
Trang 3a) + Có DA và DC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D Suy ra DA = DC
lại có OAOC
suy ra DO là đường trung trực của AC Suy ra Do vng góc với AC mà M là giao điểm của OD và AC Suy ra OMC900
+ Tương tự ta cũng có ONC900
+ Có DC và DA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra OD là phân giác của AOC EC và EB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E suy ra OE là phân giác của COD
Có AOC COD 1800Suy ra 000180 90 902
DOC EOC MON
+ Xét tứ giác OMCN có OMC ONC MON 900Suy ra tứ giác OMCN là hình chữ nhật
b) + Xét tam giác AOD vng tại A có AM vng góc với DO Suy ra AO2 OM ON OM ON R 2(1)
+ Xét tam giác OBE vng tại B có BN vng góc bới OE Suy ra OB2 ON OE ON OE R 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM OD ON OE 2R2
Do R không đổi nên OM.OD + ON.OE không đổi
C Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC
(A khác B và C), vẽ BE vng góc với AC, CF vng góc với AB (E thuộc AC và F thuộc AB) Gọi H là giao điểm của BE và CF Chứng minh rằng:
Trang 4b, BF.BA + CE.CA = BC2
c, Đường thẳng đi qua H và vng góc với EF ln đi qua một điểm cố định
Bài 2: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R), điểm A trên cung lớn BC (A
không trùng với B, C và A khơng là điểm chính giữa cung) Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu vng góc của B và C trên đường kính AA' a) Chứng minh rằng tứ giác BHEA nội tiếp và HE AC
b) Chứng minh HE.AC = HF.AB
c) Khi A di động,chứng minh tâm đường trịn ngồi tiếp tam giác HEF cố định
Bài 3: Cho đường tròn tâm O và điểm M cố định không đổi Qua M vẽ cát tuyến bất kì cắt
(O) tại A và B Chứng minh rằng tích MA.MB khơng đổi (xét hai trường hợp M nằm trong đường trịn và M nằm ngồi đường tròn)
Bài 4: Cho I là một điểm cố định trong đường tròn (O; R) Kẻ hai dây AB và CD vng góc
với nhau tại I Chứng minh AB2 CD2 không đổi khi AB thay đổi
Bài 5: Cho ba điềm A,C, B thằng hành theo thứ tự đó Vẽ tia Cx vng góc với AB Trên tia Cx lấy hai điểm D,E sao cho CE CA 3
CB CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C Chứng minh rằng: Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyền trên đoạn thẳng ABz
Bài 6: Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) nằm ngồi đường trịn I là điểm di động trên
(d) Đường trịn đường kính OI cắt (O) tại M, N Chứng minh đường tròn đường kính OI ln đi qua một điềm cố định khác O và đường thẳng MN luôn đi qua một điềm cố định
Bài 7: Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định C là một điềm chuyền động trên đường
tròn và M là trung điềm của AC Chứng minh rằng đường thằng kẻ từ M vuông góc với BC ln đi qua một điềm cố định
Bài 8: Cho tam giác ABC và hai điềm M, N thứ tự chuyền động trên hai tia BA, CA sao cho BM CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 9: Cho đường tròn (O; R) và dây cung ABR 3 Điềm P khác A và B Gọi C;R 1
là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A.Gọi (D; R 2 ) là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại B Các đường tròn C;R và 1D;R cắt nhau tại 2
M khác P Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đường thẳng PM luôn đi qua một điềm cố
định