Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết

VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official Chủ đề Góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn Dạng 2 Chứng minh hai đường thẳng vuông[.]

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Chủ đề: Góc có đỉnh bên bên ngồi đường trịn Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc, chứng minh hệ thức A Phương pháp giải + Ta thường sử dụng kiến thức số đo góc có đỉnh bên bên ngồi đường trịn, góc nội tiếp, góc tạo tiếp tuyến dây cung để chứng minh góc - Các góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung - Tính số đo góc cụ thể + Chứng minh hai đường thẳng vng góc cách: - Chứng minh góc tạo hai đường thẳng 90 - Từ song song đến vng góc - Đường trung trực, đường cao,… B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi P, Q, R giao điểm tia phân giác góc A, B, C với đường tròn Chứng minh: AP ⊥ QR Hướng dẫn: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ta có: BAP  CAP ( AP tia phân giác góc BAC ) Mà BAP,CAP góc nội tiếp chắn cung BP CP  BP  PC Tương tự AQ  CQ, AR  BR Gọi S giao điểm AP QR Khi đó: ASQ góc có đỉnh nằm đường trịn chắn cung AQ RP  ASQ   sñ AQ  sđPR  1 Vì sđ AQ  sñ AC , sñPR  sñBP  sñBR  sñBC  sñ AB 2   sñ AQ  sñ PR  1 1   sñ AC  sñ BC  sñ AB  2 2   ASQ    sñ AC  sñ BC  sñ AB   360  90  AP  QR Vậy AP  QR Ví dụ 2: Các điểm A1,A2,A3,….A19,A20 xếp theo thứ tự đường trịn (O) chia đường trịn thành 20 cung nhau.Chứng minh dây A1A8 vng góc với dây A3A16 Hướng dẫn giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Gọi giao điểm A1A8 A3A16 M Vì đường tròn chia thành 20 cung nên số đo cung : 360° : 20 = 18° Ta có: sđ A1 A3  2.18  36 sđ A8 A16  8.18  144 Vì A1MA3 góc có đỉnh bên đường trịn (O) nên: A1MA3  sñ A1 A3  sñ A8 A16 36  144   90 2 Suy A1A8  A3A16 Vậy dây A1A8 vng góc với dây A3A16 Ví dụ 3: Qua điểm A nằm bên ngồi đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC AMN cho hai đường thẳng BN CM cắt điểm S nằm bên tròn đường tròn Chứng minh A  BSM  2CMN Hướng dẫn giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Góc A góc có đỉnh bên ngồi đường trịn (O) chắn hai cung NC BM A  sñ NC  sñ MB  Góc BSM góc có đỉnh bên đường tròn (O) chắn hai cung NC BM  BSM   sñ NC  sñ MB  A  BSM       1 sñ NC  sñ MB  sñ NC  sđ MB  sđ NC (1) 2 Ta có CMN góc nội tiếp chắn cung NC  CMN  sñ NC (2) Từ (1) (2) suy A  BSM  2CMN Ví dụ 4: A, B, C ba điểm thuộc đường tròn (O) cho tiếp tuyến A cắt tia BC D.Tia phân giác góc (BAC) cắt đường trịn M, tia phân giác góc D cắt AM I Chứng minh DI ⊥ AM Hướng dẫn giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ta có BAM  CAM (AM tia phân giác BAC )  BM  CM Gọi N giao điểm BD AM Ta có: AND    sđ AC  sđBM (góc có đỉnh năm bên đường trịn chắn hai cung AC , BM )  AND    1 sñ AC  sñCM  sñ AM 2 Ta lại có: DAM  sđ AM (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AM)  AND  DAM Suy tam giác AND cân D Tam giác AND cân D có DI tia phân giác nên DI đường cao Suy ra: DI ⊥ AM hay DI ⊥ AM Ví dụ 5: Cho đường trịn tâm O dây cung AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung BC nhỏ, lấy điểm N Các đường thẳng CN, DN cắt AB E,F Tiếp tuyến N (O) cắt AB I Chứng minh a) Tam giác IEN, IFN cân Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com b) AI  Facebook: Học Cùng VietJack AE  AF Hướng dẫn giải a) Ta có: IND  sđ ND ( góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung chắn cung ND)     1 sñBN  sñ AD  sđBN  sđDB  sđDN (góc có đỉnh nằm bên 2 đường tròn) IFN   IND  IFN  IFN cân I + Gọi H giao CD AB Xét tam giác vng EHC, có: IEN  DCN  90 Ta lại có: FNI  INE  90 (hai góc phụ nhau) Mà DCN  FNI (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung DN ) Suy IEN  INE  IEN cân I b) Từ a ta có: IN=IF=IE Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack AE+AF=AF+IE+IF+AF=AF+IF+IF+AF=2AI  AI  AE  AF C Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB E F hai điểm dây AB Gọi C D tương ứng giao điểm ME, MF đường trịn (O) Tính tổng EFD  ECD A 360 C 270 B 180 D 90 Hướng dẫn giải: Đáp án B Ta có M điểm cung nhỏ AB  sđ MA  sñ MB (1) EFD      1 sñ AD  sñ MB  sñ AD  sđ MA (góc có đỉnh nằm bên đường 2 tròn chắn hai cung MB AD ) ECD  sđ MD (góc nội tiếp chắn cung MD) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack     1 1 sñ AD  sñ MA  sñ MD  sñ AD  sñ MA  sñ MD  360  180 2 2 Câu 2: Trên đường tròn (O; R) đặt liên tiếp dây cung: AB = BC = CD < R AB cắt CD E Tiếp tuyến B D với đường tròn (O) cắt F Biểu thức đúng:  EFD  ECD  A EB BC  FB BD B EB.BC=FB.BD C EB BC  FD BD D EB.BD=FD.BC Hướng dẫn giải Đáp án A   sđ AD  sđBC (góc có đỉnh năm bên ngồi đường trịn chắn hai cung AD BC) (1) Ta có: AED  BFD    sđBAD  sđBCD (góc có đỉnh nằm ngồi đường tròn chắn cung AD ) Mà AB=CB=CD  AB  BC  CD Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com  BFD    Facebook: Học Cùng VietJack  sñ BAD  sñ BC  sñCD sñ BAD  sñ AB  sñ BC  sñ AD  sñ BC (2)     Từ (1) (2)  AED  BFD Ta có: CBD góc nội tiếp chắn cung CD FBC , ABx góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BC , AB Mà AB  BC  CD  CBD  FBC  ABx Mà ABx  EBF (hai góc đối đỉnh)  CBD  FBC  EBF  EBC  FBD Xét EBC FBD , ta có: AED  BFD EBC  FBD  EBC  FBD( g  g) EB BC  FB BD Câu 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường nh AB, C điểm t y nửa đường tròn.Tiếp tuyến (O) A cắt tia BC D.Tia phân giác góc BAC cắt dây BC M cung BC N DAM tam giác A.Tam giác vu ng B.Tam giác vu ng cân Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack C.Tam giác cân D.Tam giác Hướng dẫn giải Đáp án C Vì AM phân giác BAC  CAN  BAN  CN  BN     1 sñ AC  sñ NB  sđ AC  sđCN  sđ AN ( góc có đỉnh nằm 2 đường trịn chắn cung AC, BN) Ta có: AMC  Ta lại có: DAM  sđ AN ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AN)  DAM  DMA  ADM cân D Câu 4: Trên đường tròn (O) lấy ba cung liên tiếp AB BC CD cho số đo chúng 45 Gọi I giao điểm hai tia AB DC, H giao điểm hai dây AC BD Khẳng đ nh sau đúng? A IBC tam giác vuông B IBC tam giác cân C IBC tam giác vu ng cân D A,B,C Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Hướng dẫn giải Đáp án C Ta có AB=BC=CD  AB  BC  CD  AC  BD ADC góc nội tiếp chắn AC BAD góc nội tiếp chắn BD  ADC  BAD (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)  IAD cân I  IA  ID Mà AB=CD  IB  IC  IBC cân I Ta lại có BIC    sđ AD  sđ BC ( góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn chắn cung AD, BC) Mặt khác sñ AD  360  sñ ABCD  360  3sđ BC (vì AB  BC  CD )  BIC      1 sñ AD  sñBC  360  4sñBC   360  4.45   90 2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  IBC vuông cân Câu 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trog đường tròn tâm O; M điểm cung nhỏ AC (M hác A C) cho CAM  30 Góc hai đường thẳng AC BM là: A.45 B.60 C.65 D.90 Hướng dẫn giải Đáp án D Gọi giao điểm BM AC H Ta có: CAM  sđ MC ( góc nội tiếp chắn cung MC)  sñ MC  2CAM  2.30  60 Ta lại có: ABC  ACB  60 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  sñ AB  ACB  2.60  120 ( góc nội tiếp chắn cung AB)  CHM    1 sñCM  sñ AB   60  120   90 2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official