CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A Kiến thức cần nhớ Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta có các cách sau Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90 Hai đường thẳng đó chứa h[.]
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A Kiến thức cần nhớ Để chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau, ta có cách sau: - Hai đường thẳng cắt tạo góc 90 - Hai đường thẳng chứa hai tia phân giác hai góc kề bù - Hai đường thẳng chứa hai cạnh tam giác vng - Tính chất từ vng góc đến song song : Có đường thẳng thứ vừa song song với đường thẳng thứ vừa vng góc với đường thẳng thứ hai - Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng Tính chất : Mọi điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng - Sử dụng tính chất trực tâm tam giác - Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy tam giác cân - Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình vng, hình thoi - Sử dụng tính chất đường kính dây cung đường trịn - Sử dụng tính chất tiếp tuyến đường trịn B Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai đường trịn O1 O2 cắt A B Đường thẳng O1 A cắt O2 C , đường thẳng O2 A cắt O1 D , đường thẳng qua B song song với AD cắt O1 E Chứng minh DE song song với AC O2C vng góc với CD Hướng dẫn giải Tứ giác ABED nội tiếp O2 AB BED ACB AO2 B AO2O1 90 O2 AB 90 BED ABC AO2C 90 O2 AC 90 O1 AD Theo giả thiết, BE song song AD DE song song O1 A O1 AD BED ABC 90 BED ABC ACB tam giác ABC cân A AB AC Tứ giác O1DCO2 có CAO2 DAO1 (đối đỉnh) Mà tam giác ADO1 tam giác ACO2 cân AO1D AO2C CO1D DO2C tứ giác O1DCO2 nội tiếp Mặt khác AO2O1 90 BED O1DA O1 AD BED DO2O1 O1DO2 90 BED BED 90 DO1O2 90 DCO2 90 O2C vng góc với CD Ví dụ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn AC BD cắt P,AD BC cắt Q thỏa mãn PQ vng góc với AC E trung điểm AB Chứng minh PE vng góc với BC Hướng dẫn giải Gọi K giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC đường tròn ngoại tiếp tam giác QBD Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, giao điểm đường tròn (ABCD) đường tròn (AQC) A C , giao điểm (ABCD) đường tròn (QBD) B D Q,P,K thẳng hàng DQK DBK ADB ACB QDB ACQ tam giác QAC tam giác QBD đồng dạng (g.g) QAC QBD Theo giả thiết ta có QP vng góc với AC, 90o AQP QAP PBK QBD KBQ 90o hay KB vng góc với BC Gọi H trực tâm tam giác QAC AH vng góc với QC,QP vng góc với AC H nằm BK Theo tính chất trực tâm tam giác PH PK Theo giả thiết, EA EB PE song song với KB PE vuông góc với BC Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC Tiếp tuyến B C với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt P Gọi D điểm đối xứng B qua AC, E điểm đối xứng C qua AB,O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE Chứng minh AO vng góc với BC Hướng dẫn giải Theo giả thiết tiếp tuyến B C cắt P PB PC D điểm đối xứng B qua AC, E điểm đối xứng C qua AB CD CB BCD 2ACB BE BC CBE 2ABC PBC PCB BAC PCD PCB BCD BAC 2ACB, PBE 360o PBC CBE 360o BAC 2ABC ABC BCA CAB BAC 2ABC BAC 2ACB PBE PCD tam giác PBE tam giác PCD (c.g.c) PE PD tam giác PDE cân P PDE PED hai tam giác cân PBC,PED đồng dạng (g.g) PBC PED Gọi K giao điểm PB đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE BKD PED PBC BC song song với KD BAC BKD Theo giả thiết CB CD AC vng góc với BD AB AD BAC CAD BAD 2BAC 2BKD A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DKB O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PDK O A nằm trung trực DK AO vng góc DK Mà DK song song BC AO vng góc với BC C Bài tập tự luyện Bài Cho đường tròn tâm O dây cung AB M điểm AB Đường tròn O1 qua A, M tiếp xúc với O , đường tròn tâm O2 qua M, B tiếp xúc với O Hai đường tròn O O cắt điểm điểm thứ hai N Chứng minh tam giác MON vuông Bài Giả sử A,B C ba điểm thuộc đường tròn (O) cho tiếp tuyến A đường · · tròn cắt tia BC D Tia phân giác BAC cắt đường tròn M, tia phân giác ADC cắt AM I Chứng minh AM DI Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường phân giác tam giác kẻ từ A, B, C cắt I cắt đường tròn (O) theo thứ tự D, E F a) Chứng minh CI ED b) Gọi M giao điểm AC DE Chứng minh IM / / BC c) Gọi K điểm đối xứng với I qua D Chứng tỏ K tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC Bài Cho đường tròn tâm O dây AB Trên hai cung AB ta lấy điểm M N Hai tia AM NB cắt C, hai tia AN MB cắt D Chứng minh · ACN · ADM AB CD Bài Cho hình thang ABCD nội tiếp đường trịn (O) đường kính AB,E giao điểm hai đường chéo AB CD Đường trịn tâm B bán kính BE cắt (O) P Q ( P phía với C bờ AB ) Đường thẳng qua E vng góc với BD cắt CD M Chứng minh PM vng góc với DQ Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) P điểm cung BC khơng chứa A D H hình chiếu P AD BC Gọi M N trung điểm AC, DH Chứng minh PN vng góc với NM Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B C với đường tròn (O) cắt P Gọi M trung điểm BC, D E hình chiếu P AD AC Chứng minh AM vng góc với DE Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường thẳng AI cắt BC D cắt đường tròn (O) E Gọi K L tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE CDE, P điểm đối xứng I qua KL Chứng minh PB vng góc với PC ...1 ABC AO2C 90 O2 AC 90 O1 AD Theo giả thi? ??t, BE song song AD DE song song O1 A O1 AD BED ABC 90 BED ABC ACB tam giác ABC cân A... PED hai tam giác cân PBC,PED đồng dạng (g.g) PBC PED Gọi K giao điểm PB đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE BKD PED PBC BC song song với KD BAC BKD Theo giả thi? ??t CB... O , đường tròn tâm O2 qua M, B tiếp xúc với O Hai đường tròn O O cắt điểm điểm thứ hai N Chứng minh tam giác MON vuông Bài Giả sử A,B C ba điểm thuộc đường tròn (O) cho tiếp