BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 0D6- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung trịn, độ dài cung trịn a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian rađian cịn viết tắt rad Vì tính thơng dụng đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo cung góc b) Độ dài cung tròn Quan hệ độ rađian: a ( £ a £ 2p) a0 ( £ a £ 360) Cung trịn bán kính R có số đo , có số đo có độ dài l thì: pa a a l = Ra = R = 180 p 180 ỉ 180 p ữ rad = ỗ rad ữ , 10 = ỗ ỗ ữ 180 ốp ứ c bit: Góc cung lượng giác a) Đường trịn định hướng: Đường tròn định hướng đường tròn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ gọi chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ chiều âm) b) Khái niệm góc, cung lượng giác số đo chúng Ou, Ov cắt đường v Cho đường tròn định hướng tâm O hai tia + tròn U V Tia Om cắt đường tròn M , tia Om chuyển động V theo chiều(âm dương) quay quanh O điểm M chuyển động theo chiều đường tròn M O m Tia Om chuyển động theo chiều từ Ou đến trùng với tia Ov ta nói tia Om qt góc lượng giác tia đầu U u Ou , Ov ( ) Ou , tia cuối Ov Kí hiệu Điểm M chuyển động theo từ điểm U đến trùng với điểm V Ð ta nói điểm M vạch nên cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối V Kí hiệu UV Tia Om quay vòng theo chiều dương ta nói tia Om quay góc 360 (hay ), quay hai 0 vịng ta nói quay góc 2.360 = 720 (hay 4p ), quay theo chiều âm phần tư vịng ta nói p 25 quay góc - 90 (hay ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vịng) nói quay góc 25 50p 3600 7 )… (hay ( Ou, Ov) số đo cung lượng giác UV Ta coi số đo góc lượng giác c) Hệ thức Sa-lơ Với ba tia Ou, Ov , Ow tùy ý ta có: Ð Sđ ( Ou, Ov) + Sđ ( Ov , Ow) = Sđ ( Ou, Ow) + k 2p ( k ẻ Â ) S ( Ou, Ov) - S điện thoại Sđ ( Ou, Ow) = Sđ ( Ow , Ov) + k 2p ( k ẻ Â ) Trang -1- BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC B- CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN Dạng toán Mối liên hệ độ rad Phương pháp áp dụng a Dùng cơng thức: 180 Trong đó: số đo radian góc cung a số đo độ góc cung Chú ý: Có thể dùng máy tính bỏ túi tính nhanh Lưu ý Câu Đổi góc có số đo 60 30 sang radian Lời giải tham khảo 60 30 60,5 Áp dụng công thức đổi độ rad : 60,5. 121. 180 360 1.1 Đổi góc có số đo 108 sang radian Lời giải ………………………………… ………………………………… …………………………………………………… … …………………………………………………… … …………………………………………………… … 1.2 Đổi góc có số đo 60 40 sang radian Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 1.3Đổi góc có số đo 120 sang radian 1.4 Đổi góc có số đo 110 20 sang radian Lời giải ………………………………… ………………………………… …………………………………………………… … …………………………………………………… … …………………………………………………… … Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Số điện thoại Trang -2- BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Lưu ý Câu Đổi góc có số đo sang độ Lời giải tham khảo 180 180 a 30 2.1 Đổi góc có số đo 5,34 sang độ Lời giải ………………………………… ………………………………… …………………………………………………… … …………………………………………………… … …………………………………………………… … …………………………………………………… … …………………………………………………… … …………………………………………………… … 5 sang độ 2.3 Đổi góc có số đo Lời giải ………………………………… ………………………………… …………………………………………………… … …………………………………………………… … …………………………………………………… … 2.2Đổi góc có số đo sang độ Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 2.4 Đổi góc có số đo 11, sang độ Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Dạng toán Bài toán lên quan đến góc cung lượng giác Chú ý: Số điện thoại Trang -3- BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Số đo cung lượng giác có dạng: k 2 ; k Số đo góc ln đưa dạng: k 2 ; k cho gọi số đo hình học góc Lưu ý k 2 Câu Tìm giá trị k để cung thỏa mãn 10 11 Lời giải tham khảo 10 11 10 k.2 11 19 21 k 2 2 19 21 k 4 k 5 7 k 2 k , tìm góc a thỏa a k 2 k 1.1 Cho Tìm giá trị k để a 19; 27 1.2 Cho mãn a Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… k 2 1.3 Tìm giá trị k để cung thỏa mãn 10 11 Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 137 Tìm 1.5 Biết góc lượng giác có số đo Ou, Ov số đo dương nhỏ góc Lời giải ………………………………… ………………………………… Số điện thoại Trang -4- a Ox, Oy 22o30 ' k 360o Với k Ox, Oy 1822o30 ' ? nhiêu 1.4.Cho bao Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 1.6 Biết góc lượng giác có số đo 2018 Tìm số đo hình học Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Dạng toán Câu hỏi liên quan đến độ dài cung Phương pháp áp dụng Với đường trịn bán kính R, ta có: l Cung có độ dài l có số đo radian là: R Cung có số đo radian có độ dài là: R πRR Chú ý: Đường trịn có số đo radian là: R = 2 Câu Một đường trịn có bán kính 15 cm Tìm độ dài cung trịn có góc tâm 30 Lưu ý Lời giải tham khảo a l R R 180 Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có a 30 5 l R 15 180 180 Nên: 1.1Cho đường trịn có bán kính 6cm ,tìm số đo ( rad ) cung có độ dài cm 1.2 Cung trịn bán kính 8, 43 cm Tìm độ dài cung có số đo 3,85 rad Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 10 R cm 1.3Một đường trịn có bán kính Tìm độ dài cung đường tròn Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 1.4 Một đường trịn có bán kính R 10 cm Tính độ o dài cung 40 đường tròn Số điện thoại Trang -5- Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 1.5Một đường trịn có bán kính 20 cm Tìm độ dài 1.6 Một đường trịn có bán kính 6cm , tìm độ dài cung đường tròn cung đường trịn có số đo 15 (tính gần đến hàng phần trăm) Lời giải Lời giải ………………………………… ………………………………… ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Dạng tốn Biểu diễn cung lên đường trịn lượng giác Chú ý: Một góc lượng giác có số đo a (hay rad) góc lượng giác tia đầu, tia cuối với có số đo dạng a k 360 (hay a 2k ), k số nguyên, góc ứng với giá trị k Hai góc(cung) lượng giác có số đo x m 2 y n2 biểu diễn đường trịn lượng giác có điểm cuối trùng k 2 có nghiệm m, n, k Lưu ý Câu Chọn điểm làm điểm đầu cung lượng giác Nếu cung(góc) lượng giác có A 0;1 đường trịn lượng giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo điểm dầu Để tìm vị trí 25 điểm cuối cung(góc) ta tìm số đo hình học cung(góc) cho từ tìm vị trí điểm Lời giải tham khảo cuối biểu diễn cung(góc) lượng 25 giác Cung AM có số đo , ta có: AM 25 6 4 A 1;0 Vậy điểm M biểu diễn cung lượng giác cho nằm góc phần tư thứ 1.1 Có điểm M đường trịn định 1.2 Có điểm M đường tròn định Số điện thoại Trang -6- BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Ð k AM ,k Z 3 hướng gốc A thoả mãn sđ ? Lời giải Ð hướng gốc A thoả mãn sđ Lời giải AM k ,k Z ? ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 1.3 Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng): 5 25 19 , 3, , Tìm cung có điểm cuối trùng Lời giải 1.4 Cho góc lượng giác có số đo 6 11 9 31 Hỏi số ; ; ; số số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối OA, OB ? với góc lượng giác Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 1.5Trên đường tròn lượng giác gốc A 1;0 cho OA, OB ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Ox, Ou 5 m 2 , 1.6 Cho hai góc lượng giác : 7 13 5 Ox, Ov n 2 4 4 cung có số đo: ; ; ; Tìm cung m Z ; , n Z có điểm cuối trùng nhau? Hỏi hai góc lượng giác nói có tia cuối trùng Lời giải hay không? Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… Số điện thoại Trang -7- ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Dạng tốn Tốn thực tế, ứng dụng liên mơn Lưu ý Câu 1.Trong 20 giây bánh xe xe gắn máy quay 60 vịng.Tính Chu vi đường trịn bán kính độ dài qng đường xe gắn máy vòng phút, biết R là: 2 R bán kính bánh xe gắn máy 6,5 cm (lấy 3,1416 ) Lời giải tham khảo a l R R 180 nên Theo công thức tính độ dài cung trịn ta có 60.180 540 Trong phút bánh xe quay 20 vòng, bánh xe lăn được: l 6,5.540.2 6,5.540.2.3,1416 cm 22054 cm 1.1 Một đồng hồ treo tường, kim dài 10,57 cm kim phút dài 13,34 cm Tìm độ dài mũi kim vạch lên cung tròn 30 Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 1.3Một bánh xe có 72 Tính số đo góc(độ) mà bánh xe quay di chuyển 10 Lời giải 1.2 Một xe ô tô có đường kính bánh xe 120cm Tính xem km, bánh xe quay vòng Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 1.4 Bánh xe đạp người xe đạp quay vòng giây Hỏi giây, bánh xe quay góc độ Lời giải ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Số điện thoại Trang -8- ………………………………… ………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… BÀI TẬP TỰ LUYỆN MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN Bài 2p 3p 5p 9p 7p 13p 3p 15p p , , , , , ,, 2, , 3 15 Đổi số đo cung sau độ, phút, giây: Bài Đổi số đo góc sau radian Bài Đổi số đo độ cung trịn sau thành số đo radian (chính xác đến phần nghìn): 21030', 75054', 12036' , 15030', - 105045'30'', 27038'49'' ( rad) : 900, 360, 150, - 720, 2700, 2400, 5400, - 7500, 210 Bài ( rad) 2,5p Đổ số đo radian cung trịn sau số đo độ (chính xác đến phút): p Bài Điền giá trị thích hợp vào ô trống 00 150 300 450 600 750 900 1200 1500 1800 p 16 p p 5p 12 p 2p 3p 5p p 4p Radian 7p p 12 - 5p Độ p 2p 3p 1350 - 500 8100 TÍNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Bài Bài 10( cm) Một đường trịn có bán kính Tính độ dài cung có số đo 2p p 3p 7p 13p 3p , , , , , - 2p, , 450, ( rad) , 750 18 Kim đồng hồ dài 30 phút Số điện thoại 7( cm) Trang -9- , kim phút dài 10( cm) Tính quãng đường kim phút, kim BÀI GIẢNG :CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Bài Bài 55( cm) 40( km/h) Bánh xe có đường kính (tính lốp) Nếu xe chạy với vận tốc giây bánh xe quay bao nhiều vòng ? 1,75( m) 1,26( m) Kim phút kim đồng hồ lớn nhà Bưu Điện Hà Nội theo thứ tự dài 15 Hỏi phút, mũi kim phút mũi kim vạch cung trịn có độ dài mét ? BIỂU DIỄN NGỌN CUNG LƯỢNG GIÁC Bài 10 0 0 Biểu diễn góc sau lên đường trịn lượng giác gốc A: 30 , - 45 , 120 , - 120 , 330 , 7p 4p 15p 2010p 6300, 7500, - 12500, , , - 7500, 11250, , 4 Bài 11 p p p k2p, kp, k , k , k , ( k Î ¢ ) Xác định điểm cuối cung có số đo: Bài 12 Xác định điểm họ nghiệm sau đường trũn lng giỏc vi k ẻ Â 1/ x = kp 2/ 3/ x = 4kp 5/ 7/ 9/ x =- 4/ p + k2p x= kp x= p k3p + 4 6/ 8/ 10/ Ð Bài 13 Cho hai điểm M N cho 1/ M trùng với N Bài 14 sđ AM = x= p + k2p x= p + kp x =- p + kp x= p k2p + 3 x= p kp + p ¼ = kp s AN v 798 vi k ẻ Â Tỡm k ẻ Ơ : 2/ M i xng với N qua tâm O 35p mp Hai góc lượng giác có số đo radian với m số nguyên có tia đầu tia cuối hay không ? Số điện thoại Trang -10-